曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

一、曲线积分与路径无关定义一、曲线积分与路径无关定义二、曲线积分与路径无关条件二、曲线积分与路径无关条件三、二元函数全微分求积三、二元函数全微分求积四、小结四、小结第1页第1页一、曲线积分与路径无关定义一、曲线积分与路径无关定义假如对于区域假如对于区域 G 内任意指定两点内任意指定两点 A、B 以及以及 G 内内从点从点 A 到点到点 B 任意两条曲线任意两条曲线 L1，L2 有有GyxoBA第2页第2页二、曲线积分与路径无关条件二、曲线积分与路径无关条件定理定理 2 2证证充足性充足性在在 G 内任取一条闭曲线内任取一条闭曲线 C。C 所围闭区域为所围闭区域为 D。第3页第3页证证充足性充足性在在 G 内任取一条闭曲线内任取一条闭曲线 C。C 所围闭区域为所围闭区域为 D。G 是单连通，因此，是单连通，因此，于是，在于是，在 D 内内应用格林公式，有应用格林公式，有即，即，在在 G 内曲线积分内曲线积分与路径无关。与路径无关。必要性必要性用反证法用反证法假设假设在在 G 内存在使内存在使点点 M0，第4页第4页必要性必要性用反证法用反证法假设假设在在 G 内存在使内存在使点点 M0，即即不妨设不妨设由于由于P，Q 含有一阶连续偏导数，含有一阶连续偏导数，因此在因此在 G 内必有内必有点点 M0 一个小邻域一个小邻域 D,在在 D内内应用格林公式，有应用格林公式，有第5页第5页于是，于是，因此在因此在 G 内必有内必有点点 M0 一个小邻域一个小邻域 D,在在 D内内应用格林公式，有应用格林公式，有矛盾。矛盾。因此，因此，在在 G 内恒有内恒有第6页第6页两条件缺一不可两条件缺一不可相关定理相关定理阐明阐明：定理定理 2 2第7页第7页L与路径无关与路径无关第8页第8页解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。则则 P，Q 在全平面上有在全平面上有连续一阶偏导数，且连续一阶偏导数，且全平面是单连通域。全平面是单连通域。第9页第9页取一简朴路径：取一简朴路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。全平面是单连通域。第10页第10页解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。则则 P，Q 在全平面上有连续在全平面上有连续一阶偏导数，且一阶偏导数，且全平面是单连通域。全平面是单连通域。第11页第11页因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简朴路径：取一简朴路径：L1+L2.第12页第12页三、二元函数全微分求积三、二元函数全微分求积定理定理3 3证略证略第13页第13页第14页第14页解解例例3 验证：在验证：在 xoy 面内，面内，是某个函数是某个函数u(x,y)全微分，并求出一个这样函数。全微分，并求出一个这样函数。这里这里且且在整个在整个 xoy 面内恒成立。面内恒成立。即，即，因此，在因此，在 xoy 面内，面内，是某个函数是某个函数u(x,y)全微分。全微分。第15页第15页四、小结四、小结与与 路路 径径 无无 关关 四四 个个 等等 价价 命命 题题条条件件等等价价命命题题作业：作业：184页页 4，6 (1)，(3)，第16页第16页