1、一、曲线积分与路径无关定义一、曲线积分与路径无关定义二、曲线积分与路径无关条件二、曲线积分与路径无关条件三、二元函数全微分求积三、二元函数全微分求积四、小结四、小结第1页一、曲线积分与路径无关定义一、曲线积分与路径无关定义假如对于区域假如对于区域 G 内任意指定两点内任意指定两点 A、B 以及以及 G 内内从点从点 A 到点到点 B 任意两条曲线任意两条曲线 L1,L2 有有GyxoBA第2页二、曲线积分与路径无关条件二、曲线积分与路径无关条件定理定理 2 2证证充分性充分性在在 G 内任取一条闭曲线内任取一条闭曲线 C。C 所围闭区域为所围闭区域为 D。第3页证证充分性充分性在在 G 内任取
2、一条闭曲线内任取一条闭曲线 C。C 所围闭区域为所围闭区域为 D。G 是单连通,所以,是单连通,所以,于是,在于是,在 D 内内应用格林公式,有应用格林公式,有即,即,在在 G 内曲线积分内曲线积分与路径无关。与路径无关。必要性必要性用反证法用反证法假设假设在在 G 内存在使内存在使点点 M0,第4页必要性必要性用反证法用反证法假设假设在在 G 内存在使内存在使点点 M0,即即不妨设不妨设因为因为P,Q 含有一阶连续偏导数,含有一阶连续偏导数,所以在所以在 G 内必有内必有点点 M0 一个小邻域一个小邻域 D,在在 D内内应用格林公式,有应用格林公式,有第5页于是,于是,所以在所以在 G 内必
3、有内必有点点 M0 一个小邻域一个小邻域 D,在在 D内内应用格林公式,有应用格林公式,有矛盾。矛盾。所以,所以,在在 G 内恒有内恒有第6页两条件缺一不可两条件缺一不可相关定理相关定理说明说明:定理定理 2 2第7页L与路径无关与路径无关第8页解解所以,积分与路径无关。所以,积分与路径无关。则则 P,Q 在全平面上有在全平面上有连续一阶偏导数,且连续一阶偏导数,且全平面是单连通域。全平面是单连通域。第9页取一简单路径:取一简单路径:L1+L2.所以,积分与路径无关。所以,积分与路径无关。全平面是单连通域。全平面是单连通域。第10页解解所以,积分与路径无关。所以,积分与路径无关。则则 P,Q
4、在全平面上有连续在全平面上有连续一阶偏导数,且一阶偏导数,且全平面是单连通域。全平面是单连通域。第11页所以,积分与路径无关。所以,积分与路径无关。全平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简单路径:取一简单路径:L1+L2.第12页三、二元函数全微分求积三、二元函数全微分求积定理定理3 3证略证略第13页第14页解解例例3 验证:在验证:在 xoy 面内,面内,是某个函数是某个函数u(x,y)全微分,并求出一个这么函数。全微分,并求出一个这么函数。这里这里且且在整个在整个 xoy 面内恒成立。面内恒成立。即,即,所以,在所以,在 xoy 面内,面内,是某个函数是某个函数u(x,y)全微分。全微分。第15页四、小结四、小结与与 路路 径径 无无 关关 四四 个个 等等 价价 命命 题题条条件件等等价价命命题题作业:作业:184页页 4,6 (1),(3),第16页