2013年青海省中考数学试卷（含解析版）.pdf

2013 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题小题 15 空，每空空，每空 2 分，共分，共 30 分）分）1（4 分）7+4 的倒数是 ；（2a2b）2=2（4 分）分解因式：x3y2x2y2+xy3=；分式方程的解是 3（2 分）2013 年 4 月青海省著名品牌商品推介会签约总金额达 7805000000元，该数据用科学记数法表示为 元 4（4 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图 1 所示，则化简的结果是 ；不等式组的解集是 5（2 分）在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是 6（2 分）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 C、D 分别落在点C、D的位置上，EC 交 AD 于 G，已知EFG=56，那么BEG=7（2 分）中国象棋一方棋子按兵种不同分布如下：1 个“帅”、5 个“兵”、“士、象、马、车、炮”各 2 个，将一方棋子反面朝上放在棋盘上，随机抽取一个棋子是“兵”的概率为 8（2 分）如图，BC=EC，1=2，添加一个适当的条件使ABCDEC，则需添加的条件是 （不添加任何辅助线）9（2 分）如图，在O 中直径 CD 垂直弦 AB，垂足为 E，若AOD=52，则DCB=10（2 分）如图，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90，得到AOB若点 A 的坐标为（a，b），则点 A的坐标为 11（2 分）如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离 CD=6米，他与积水的距离 BC=1 米，他的眼睛距离地面 AB=1.5 米，则旗杆的高度 DE=米 12（2 分）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第 n 个图案中正三角形的个数为 （用含 n 的代数式表示）二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题给出的四个选分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）号的表格内）13（3 分）下列计算正确的是（）Aa2a3=a6 B C D 14（3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D 15（3 分）在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 tanB 的值为（）A B C D 16（3 分）在同一直角坐标系中，函数 y=2x 与的图象大致是（）A B C D 17（3 分）几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖面包车的租价为 240 元，出发时又增加了 4 名同学，结果每个同学比原来少分担了 10 元车费设原有人数为 x 人，则可列方程（）A B C D 18（3 分）如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是（）A B C D 19（3 分）数学老师布置了 10 道选择题作为课堂练习，课代表将全班答题情况绘制成如图 10 所示的条形统计图，根据此图可知，每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为（）A8，8 B9，8 C8，9 D9，9 20（3 分）如图在直角ABC 中，ACB=90，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B 为圆心，以的长为半径作圆，将直角ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）A B C D 三、三、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 21 题题 5 分，第分，第 22 题题 7 分，第分，第 23 题题 7 分，共分，共 19分）分）21（5 分）|+（）1（2013）03tan30 22（7 分）先化简再求值：，其中 a=3+，b=3 23（7 分）如图，已知ABCD，过 A 作 AMBC 于 M，交 BD 于 E，过 C作 CNAD 于 N，交 BD 于 F，连结 AF、CE求证：四边形 AECF 为平行四边形 四、四、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 24 题题 9 分，第分，第 25 题题 8 分，第分，第 26 题题 9 分，共分，共 26分）分）24（9 分）如图，线段 AB、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBC，DCBC，垂足分别为 B、C，从 B 点测得 D 点的仰角 为 60，从 A 点测得D 点的仰角 为 30，已知甲建筑物的高度 AB=34m，求甲、乙两建筑物之间的距离 BC 和乙建筑物的高度 DC（结果保留根号）25（8 分）为了进一步了解某校九年级学生的身体素质，体育老师从该年级各班中随机抽取 50 名学生进行 1 分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如图表 表：组别 次数 x 频数 频率 第 1 组 80 x100 4 0.08 第 2 组 100 x120 6 0.12 第 3 组 120 x140 18 0.36 第 4 组 140 x160 a b 第 5 组 160 x180 10 0.2 合计 50 1（1）求表中 a 和 b 的值：a=；b=（2）请将频数分布直方图补充完整：（3）若在 1 分钟内跳绳次数大于等于 120 次认定为合格，则从全年级任意抽测一位同学为合格的概率是多少？（4）今年该校九年级有 320 名学生，请你估算九年级跳绳项目不合格的学生约有多少人？26（9 分）如图，已知ABC 内接于O，AC 是O 的直径，D 是的中点，过点 D 作直线 BC 的垂线，分别交 CB、CA 的延长线 E、F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 EF=8，EC=6，求O 的半径 五、五、（本大题共（本大题共 2 小题，第小题，第 27 题题 8 分，第分，第 28 题题 13 分，共分，共 21 分）分）27（8 分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）探究 1：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 边 BC、CD 上，AEBF于点 O，小芳看到该图后，发现 AE=BF，这是因为EAB 和FBC 都是ABF 的余角，就会由 ASA 判定得出ABEBCF小芳马上联想到正方形的对角线也是互相垂直且相等的（如图 2），是不是在一般情况下，正方形内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，也会相等呢？很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之外，还可以通过平移的方法把图 3 转化为图 1，得到 GH=EF，该方法更加简捷；（2）探究 2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形 ABCD，如图4 所示，GHEF 于点 O，她发现 GH=2EF，请你替她完成证明；（3）探究 3：如图 5 所示，让 8 个全等正方形组成矩形 ABCD，GHEF 于点O，请你猜想 GH 和 EF 有怎样的数量关系，写在下面：28（13 分）如图，已知抛物线经过点 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 A，O，D，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P 使得以点 P，M，A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2013 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题小题 15 空，每空空，每空 2 分，共分，共 30 分）分）1（4 分）7+4 的倒数是；（2a2b）2=4a4b2【考点】17：倒数；19：有理数的加法；47：幂的乘方与积的乘方【分析】根据倒数和幂的乘方和积的乘方的运算法则求解【解答】解：7+4=3，倒数为；（2a2b）2=4a4b2 故答案为：；4a4b2【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则 2（4 分）分解因式：x3y2x2y2+xy3=xy（xy）2；分式方程的解是x=1【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；B3：解分式方程【分析】先提取公因式 xy，再根据完全平方公式进行二次分解；方程两边都乘以（x2），把分式方程转化为整式方程，然后求解，再进行验证即可【解答】解：x3y2x2y2+xy3，=xy（x22xy+y2），=xy（xy）2；方程两边都乘以（x2），把分式方程转化为整式方程得，x3+x2=3，解得 x=1，检验：当 x=1 时，x20，所以，x=1 是原方程方程的解 故答案为：xy（xy）2；x=1【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 3（2 分）2013 年 4 月青海省著名品牌商品推介会签约总金额达 7805000000元，该数据用科学记数法表示为7.805109元【考点】1I：科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 7805000000 用科学记数法表示为：7.805109 故答案为：7.805109【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4（4 分）已知实数 a 在数轴上的位置如图 1 所示，则化简的结果是1；不等式组的解集是x1 【考点】29：实数与数轴；CB：解一元一次不等式组【分析】根据数轴得到 0a1，由此可以计算绝对值和二次根式；不等组的解集是两个不等式解集的交集【解答】解：如图所示，0a1，则=1a+a=1；，不等式（1）的解集为：x1 不等式（2）的解集为：x6，所以，原不等式组的解集为：x1 故答案是：1；x1 【点评】本题考查了实数与数轴，解一元一次不等式组根据图示得到 a 的取值范围是解答第一个空的关键 5（2 分）在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是x1【考点】E4：函数自变量的取值范围【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，列不等式求解【解答】解：根据题意得：x+10，解得，x1【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 6（2 分）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 C、D 分别落在点C、D的位置上，EC 交 AD 于 G，已知EFG=56，那么BEG=68 【考点】IK：角的计算；PB：翻折变换（折叠问题）【分析】根据平行线的性质求得CEF 的度数，然后根据折叠的性质可得FEG=CEF，进而求得BEG 的度数【解答】解：长方形 ABCD 中，ADBC，CEF=EFG=56，CEF=FEG=56，BEG=180CEFFEG=1805656=68 故答案是：68【点评】本题考查了折叠的性质，正确确定折叠过程中出现的相等的角是关键 7（2 分）中国象棋一方棋子按兵种不同分布如下：1 个“帅”、5 个“兵”、“士、象、马、车、炮”各 2 个，将一方棋子反面朝上放在棋盘上，随机抽取一个棋子是“兵”的概率为【考点】X4：概率公式【分析】让兵的个数除以棋子的总个数即为所求的概率【解答】解：共有 16 个棋子，其中有 5 个兵，抽到兵的概率是；故答案为：【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 8（2 分）如图，BC=EC，1=2，添加一个适当的条件使ABCDEC，则需添加的条件是A=D（不添加任何辅助线）【考点】KB：全等三角形的判定【专题】26：开放型【分析】先求出ACB=DCE，再添加A=D，由已知条件 BC=EC，即可证明ABCDEC【解答】解：添加条件：A=D；1=2，1+ECA=2+ECA，即ACB=DCE，在ABC 和DEC 中，ABCDEC（AAS）【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 9（2 分）如图，在O 中直径 CD 垂直弦 AB，垂足为 E，若AOD=52，则DCB=26 【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理【分 析】连 接 OB，先 根 据 直 径 CD 垂 直 弦 AB 得 出=，故 可 得 出BOE=AOE，由圆周角定理即可得出结论【解答】解：连接 OB，直径 CD 垂直弦 AB，=，BOE=AOE=52，DCB=BOE=26 答案为：26 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 10（2 分）如图，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90，得到AOB若点 A 的坐标为（a，b），则点 A的坐标为（b，a）【考点】R7：坐标与图形变化旋转【专题】16：压轴题【分析】根据旋转的性质“旋转不改变图形的大小和形状”以及直角三角形的性质解题【解答】解：由图易知 AB=AB=b，OB=OB=a，AB0=ABO=90，点 A在第二象限，A的坐标为（b，a）【点评】需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变 11（2 分）如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离 CD=6米，他与积水的距离 BC=1 米，他的眼睛距离地面 AB=1.5 米，则旗杆的高度 DE=9米 【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】先根据光的反射定律得出ACB=ECD，再得出 RtACBRtECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论【解答】解：根据光的反射定律，ACB=ECD，ACB=EDC，CD=6 米，AB=1.5 米，BC=1 米，RtACBRtECD，=，即=，解得 DE=9 故答案为：9【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键 12（2 分）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第 n 个图案中正三角形的个数为2n+2（用含 n 的代数式表示）【考点】38：规律型：图形的变化类【专题】16：压轴题；2A：规律型【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的【解答】解：由图可知：第一个图案有正三角形 4 个为 22第二图案比第一个图案多 2 个为 22+2=6 个第三个图案比第二个多 2 个为 23+2=8个那么第 n 个就有正三角形 2n+2 个【点评】本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第 n 个就有正三角形 2n+2 个这类题型在中考中经常出现 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题给出的四个选分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）号的表格内）13（3 分）下列计算正确的是（）Aa2a3=a6 B C D【考点】46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；75：二次根式的乘除法；78：二次根式的加减法【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二次根式的乘除法等运算，然后选择正确选项【解答】解：A、a2a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；B、3和 2不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C、a2a3=a1=（a0），计算正确，故本选项正确；D、=，原式计算错误，故本选项错误 故选：C【点评】本题考查了同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二次根式的乘除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键 14（3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形【专题】1：常规题型【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 故选：C【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 15（3 分）在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 tanB 的值为（）A B C D【考点】T1：锐角三角函数的定义【专题】24：网格型【分析】根据锐角三角函数的正切是对边比邻边，可得答案【解答】解：由正切是对边比邻边，得 tanB=，故选：B【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 16（3 分）在同一直角坐标系中，函数 y=2x 与的图象大致是（）A B C D【考点】F4：正比例函数的图象；G2：反比例函数的图象【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可【解答】解：y=2x 中的 20，直线 y=2x 经过第一、三象限 中的10，双曲线经过第二、四象限，综上所述，只有 D 选项符合题意 故选：D【点评】本题考查一次函数，正比例函数的图象注意，反比例函数中系数与图象位置之间关系 17（3 分）几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖面包车的租价为 240 元，出发时又增加了 4 名同学，结果每个同学比原来少分担了 10 元车费设原有人数为 x 人，则可列方程（）A B C D【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】设原有人数为 x 人，根据增加之后的人数为（x+4）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了 10 元车费，列方程【解答】解：设原有人数为 x 人，根据则增加之后的人数为（x+4）人，由题意得，10=故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可 18（3 分）如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是（）A B C D【考点】U3：由三视图判断几何体【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同，符合这些条件的只有C；故选：C【点评】本题考查了三视图的概念本题的关键是要考虑到俯视图中圆的直径与长方形的宽的关系 19（3 分）数学老师布置了 10 道选择题作为课堂练习，课代表将全班答题情况绘制成如图 10 所示的条形统计图，根据此图可知，每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为（）A8，8 B9，8 C8，9 D9，9【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数【分析】根据众数和中位数的概念求解【解答】解：由图可得，答对 8 道题的人数最多，故众数为 8，共有 50 名同学，第 25 和 26 人答对题目数的平均数为中位数，即中位数为：=2 故选：B【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 20（3 分）如图在直角ABC 中，ACB=90，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B 为圆心，以的长为半径作圆，将直角ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）A B C D【考点】MO：扇形面积的计算【分析】根据勾股定理求出 AB，则得出圆的半径，分别求出三角形 ACB 和扇形 AEF 和扇形 BEM 的面积和，即可得出答案【解答】解：在 RtACB 中，C=90，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=10，即两圆的半径是 5，阴影部分的面积是 S=SACBS扇形 AEFS扇形 BEM=68=24 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，扇形的面积的应用，注意：圆心角是 n 度，半径是 r 的扇形的面积 S=三、三、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 21 题题 5 分，第分，第 22 题题 7 分，第分，第 23 题题 7 分，共分，共 19分）分）21（5 分）|+（）1（2013）03tan30【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【专题】11：计算题【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：原式=+51=4【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22（7 分）先化简再求值：，其中 a=3+，b=3【考点】6D：分式的化简求值【专题】11：计算题【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后把除法运算化为乘法运算后约分得到原式=，再把 a 和 b 的值代入后进行二次根式的混合运算【解答】解：原式=，当 a=3+，b=3，原式=【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 23（7 分）如图，已知ABCD，过 A 作 AMBC 于 M，交 BD 于 E，过 C作 CNAD 于 N，交 BD 于 F，连结 AF、CE求证：四边形 AECF 为平行四边形 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质【专题】14：证明题【分析】由条件可证明ABECDF，可证得 AE=CF，且 AECF，由平行四边形的判定可证得四边形 AECF 为平行四边形【解答】证明：在ABCD 中，ADBC，AB=CD，ABC=ADC，ABD=CDB，又AMBC，CNAD，BAM=DCN，在ABE 和CDF 中，ABECDF（ASA），AE=CF，AEB=CFD，AEF=CFE，AECF，四边形 AECF 为平行四边形【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即两组对边分别平行四边形为平行四边形，两组对边分别相等四边形为平行四边形，一组对边平行且相等四边形为平行四边形，两组对角分别相等四边形为平行四边形，对角线互相平分四边形为平行四边形 四、四、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 24 题题 9 分，第分，第 25 题题 8 分，第分，第 26 题题 9 分，共分，共 26分）分）24（9 分）如图，线段 AB、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBC，DCBC，垂足分别为 B、C，从 B 点测得 D 点的仰角 为 60，从 A 点测得D 点的仰角 为 30，已知甲建筑物的高度 AB=34m，求甲、乙两建筑物之间的距离 BC 和乙建筑物的高度 DC（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】作 AECD，用 BC 可以分别表示 DE，CD 的长，根据 CDDE=AB，即可求得 BC 的长，即可解题【解答】解：作 AECD，CD=BCtan=BC，DE=BCtan=BC，AB=CDDE=BC，BC=17m，CD=BCtan=BC=51m 答：甲、乙两建筑物之间的距离 BC 为 17m，乙建筑物的高度 DC 为 51m【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的 BC 的长是解题的关键 25（8 分）为了进一步了解某校九年级学生的身体素质，体育老师从该年级各班中随机抽取 50 名学生进行 1 分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如图表 表：组别 次数 x 频数 频率 第 1 组 80 x100 4 0.08 第 2 组 100 x120 6 0.12 第 3 组 120 x140 18 0.36 第 4 组 140 x160 a b 第 5 组 160 x180 10 0.2 合计 50 1（1）求表中 a 和 b 的值：a=12；b=0.24（2）请将频数分布直方图补充完整：（3）若在 1 分钟内跳绳次数大于等于 120 次认定为合格，则从全年级任意抽测一位同学为合格的概率是多少？（4）今年该校九年级有 320 名学生，请你估算九年级跳绳项目不合格的学生约有多少人？【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；X4：概率公式【分析】（1）用总数减去其他小组的频数即可求得 a 的值，用频数除以样本容量即可求得频数 b；（2）根据求得的第四小组的频数补全统计图即可；（3）用合格的人数除以总人数即可求得合格的概率；（4）用学生总数乘以不合格的频率即可求得不合格的人数【解答】解：（1）a=50461810=12；b=1250=0.24（2）直方图为：（3）全年级任意抽测一位同学为合格的概率为：P（合格）=10.080.12=0.80；（4）九年级跳绳项目不合格的学生约有 320（0.08+0.12）=64（人）【点评】此题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，能从统计图中获得有关信息，列出算式 26（9 分）如图，已知ABC 内接于O，AC 是O 的直径，D 是的中点，过点 D 作直线 BC 的垂线，分别交 CB、CA 的延长线 E、F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 EF=8，EC=6，求O 的半径 【考点】KQ：勾股定理；MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质【专题】152：几何综合题【分析】（1）要证 EF 是O 的切线，只要连接 OD，再证 ODEF 即可（2）先根据勾股定理求出 CF 的长，再根据相似三角形的判定和性质求出O的半径【解答】（1）证明：连接 OD 交于 AB 于点 G D 是的中点，OD 为半径，AG=BG AO=OC，OG 是ABC 的中位线 OGBC，即 ODCE 又CEEF，ODEF，EF 是O 的切线 （2）解：在 RtCEF 中，CE=6，EF=8，CF=10 设半径 OC=OD=r，则 OF=10r，ODCE，FODFCE，=，r=，即：O 的半径为 【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的判定和性质 五、五、（本大题共（本大题共 2 小题，第小题，第 27 题题 8 分，第分，第 28 题题 13 分，共分，共 21 分）分）27（8 分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）探究 1：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 边 BC、CD 上，AEBF于点 O，小芳看到该图后，发现 AE=BF，这是因为EAB 和FBC 都是ABF 的余角，就会由 ASA 判定得出ABEBCF小芳马上联想到正方形的对角线也是互相垂直且相等的（如图 2），是不是在一般情况下，正方形内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，也会相等呢？很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之外，还可以通过平移的方法把图 3 转化为图 1，得到 GH=EF，该方法更加简捷；（2）探究 2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形 ABCD，如图4 所示，GHEF 于点 O，她发现 GH=2EF，请你替她完成证明；（3）探究 3：如图 5 所示，让 8 个全等正方形组成矩形 ABCD，GHEF 于点O，请你猜想 GH 和 EF 有怎样的数量关系，写在下面：GH=8EF 【考点】LO：四边形综合题；S9：相似三角形的判定与性质【专题】2B：探究型【分析】（2）平移 FE 至 DE，平移 GH 至 AH，根据平移的性质可得：FE=DE，GH=AH，FEDE，GHAH，易证 RtBAHRtADE，然后运用相似三角形的性质就可解决问题（3）借鉴（2）中的解题经验可得=8，则有 GH=8EF【解答】（2）证明：平移 FE 至 DE，平移 GH 至 AH，如图 4 根据平移的性质可得：FE=DE，GH=AH，FEDE，GHAH，四边形 OPQR 为平行四边形 GHEF，即POR=90，平行四边形 OPQR 为矩形，AQE=PQR=90，QAE+QEA=90 又ADE+DEA=90，ADE=QAE 又DAE=ABH=90，RtBAHRtADE，=2，=2，GH=2EF （3）猜想：GH=8EF 解：平移 FE 至 DE，平移 GH 至 AH，如图 5 根据平移的性质可得：FE=DE，GH=AH，FEDE，GHAH，四边形 OPQR 为平行四边形 GHEF，即POR=90，平行四边形 OPQR 为矩形，AQE=PQR=90，QAE+QEA=90 又ADE+DEA=90，ADE=QAE 又DAE=ABH=90，RtBAHRtADE，=8，=8，GH=8EF 故答案为：GH=8EF 【点评】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，突出了对基本活动经验的考查 28（13 分）如图，已知抛物线经过点 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 A，O，D，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P 使得以点 P，M，A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）根据抛物线过 A（2，0）及原点可设 y=a（x2）x，然后根据抛物线 y=a（x2）x 过 B（3，3），求出 a 的值即可；（2）首先由 A 的坐标可求出 OA 的长，再根据四边形 AODE 是平行四边形，D 在对称轴直线 x=1 右侧，进而可求出 D 横坐标为：1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分PMACOB 和PMABOC 表示出 PM 和 AM，从而表示出点 P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得 t 的值，从而确定点 P 的坐标【解答】解：（1）根据抛物线过 A（2，0）及原点，可设 y=a（x2）（x0），又抛物线 y=a（x2）x 过 B（3，3），3（32）a=3，a=1，抛物线的解析式为 y=（x2）x=x22x；（2）若 OA 为对角线，则 D 点与 C 点重合，点 D 的坐标应为 D（1，1）；若 OA 为平行四边形的一边，则 DE=OA，点 E 在抛物线的对称轴上，点 E 横坐标为 1，点 D 的横坐标为 3 或1，代入 y=x22x 得 D（3，3）和 D（1，3），综上点 D 坐标为（1，1），（3，3），（1，3）（3）点 B（3，3）C（1，1），BOC 为直角三角形，COB=90，且 OC：OB=1：3，如图 1，若PMACOB，设 PM=t，则 AM=3t，点 P（23t，t），代入 y=x22x 得（23t）22（23t）=t，解得 t1=0（舍），；如图 2，若PMABOC，设 PM=3t，则 AM=t，点 P（2t，3t），代入 y=x22x 得（2t）22（2t）=3t，解得 t1=0（舍），t2=5，P（3，15）综上所述，点 P 的坐标为或（3，15）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法