理学数值积分与数值微分公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1 1页页第第4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分4.1 数值积分概论数值积分概论4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式4.3 复合求积公式复合求积公式4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.6 高斯求积公式高斯求积公式4.7 多重积分多重积分4.8 数值微分数值微分第1页第1页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2 2页页进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会碰进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会碰到被积函数到被积函数f(x)下列一些情况：下列一些情况：原函数原函数对定积分对定积分被积函数被积函数已知，在高等数学中可用牛顿已知，在高等数学中可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式4.1 数值积分概论数值积分概论 实际问题当中经常要计算积分，有些数值办法，实际问题当中经常要计算积分，有些数值办法，如微分方程和积分方程求解，也都和积分计算相联如微分方程和积分方程求解，也都和积分计算相联系系.第2页第2页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3 3页页（4）f(x)本身没有解析表示式，其函数关系由表格本身没有解析表示式，其函数关系由表格或图形给出，列如为试验或测量数据或图形给出，列如为试验或测量数据.（2）f(x)原函数不能用初等函数形式表示，比如原函数不能用初等函数形式表示，比如（3）f(x)原函数即使可用初等函数形式表示，但其原函数即使可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相称复杂，比如原函数表示形式相称复杂，比如（1）f(x)复杂，求原函数困难，列如复杂，求原函数困难，列如第3页第3页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4 4页页 以上以上 4种情况都不能用牛顿种情况都不能用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式以便地计算该函数定积分，满足不了实际需要，以便地计算该函数定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分数值计算问题；另外，因此，有必要研究定积分数值计算问题；另外，对一些函数求导问题，其求导、微分也相称复杂，对一些函数求导问题，其求导、微分也相称复杂，也有必要研究求导、微分数值计算问题。本章主也有必要研究求导、微分数值计算问题。本章主要简介数值求积分和数值求微分办法。要简介数值求积分和数值求微分办法。第4页第4页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5 5页页 由积分中值定理由积分中值定理,对连续函数对连续函数f(x),在区间在区间a,b内至少存在一点内至少存在一点，使，使只要对平均高度只要对平均高度 f()提供一个提供一个近似算法近似算法,便可相便可相应地取得一个数值求积办法应地取得一个数值求积办法.即所谓矩形公式即所谓矩形公式.4.1.14.1.1 数值求积基本思想数值求积基本思想数值求积基本思想数值求积基本思想 第5页第5页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6 6页页 比如比如,用区间用区间a,b两端点函数值两端点函数值 f(a)与与f(b)算算术平均值作为术平均值作为f()近似值近似值,可导出求积公式可导出求积公式这便是人们所熟知梯形公式这便是人们所熟知梯形公式.假如改用区间假如改用区间a,b中点中点 c=(a+b)/2 处函数值处函数值f(c)近似代替近似代替f(),则又可导出所谓则又可导出所谓(中中)矩形公式矩形公式第6页第6页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第7 7页页 普通地普通地,在区间在区间a,b上适当选取点上适当选取点xk(k=0,1,n),然后用然后用 f(xk)加权平均值作为加权平均值作为f()近近似值似值,可得到更为可得到更为普通求积公式普通求积公式 其中：点其中：点xk叫求积节点叫求积节点,系数系数Ak叫求积系数叫求积系数.Ak仅与仅与节点节点xk选取相关选取相关,而与被积函数而与被积函数 f(x)无关无关.求积公式截断误差为求积公式截断误差为 R(f)又称为求积余项又称为求积余项.这类数值积分办法通常称为机械求积，其特点是这类数值积分办法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值计算，这就避开了牛将积分求值问题归结为函数值计算，这就避开了牛-莱公式寻求原函数困难莱公式寻求原函数困难.第7页第7页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第8 8页页4.1.24.1.2 代数精度概念代数精度概念代数精度概念代数精度概念 定义定义1 假如求积公式假如求积公式(1)对所有次数不超出对所有次数不超出m多项式都准确成立；多项式都准确成立；(2)至少对一个至少对一个m+1次多项式不准确成立，次多项式不准确成立，则称则称该公式含有该公式含有m次代数精度次代数精度.数值求积方法近似方法，为要确保精度，我们自然希望求积公式能对“尽也许多”函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度概念.第8页第8页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第9 9页页 解解 当当 f(x)=1时时,此时公式准确成立。此时公式准确成立。验证梯形公式验证梯形公式含有一次代数精度。含有一次代数精度。当当 f(x)=x时，时，公式也准确成立。公式也准确成立。当当 f(x)=x2 时，时，公式对公式对x2不准确成立不准确成立.故梯形公式代数精度为故梯形公式代数精度为1次次.第9页第9页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1010页页 对于求积公式对于求积公式 给定给定n+1个互异求积节点个互异求积节点 x0,x1,xn-1,xn,令求积公式对令求积公式对 f(x)=1,x,xn 准确成立准确成立,即得即得求解该方程组即可拟定求积系数求解该方程组即可拟定求积系数Ak,所得到求积公式所得到求积公式至少含有至少含有n 次代数精度次代数精度.第10页第10页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1111页页 例1 确定求积公式中待定系数，使其代数精度尽也许高，并指明求积公式所含有代数精度.解解 令令 f(x)=1,x,x2 代入公式两端并令其相等，得代入公式两端并令其相等，得 解得解得第11页第11页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1212页页得得求积公式求积公式为为令令 f(x)=x3，得，得令令 f(x)=x4，得，得故故求积公式求积公式含有含有3 3次次代数精度代数精度.第12页第12页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1313页页例 2 给定形如 求积公式，试确定系数，使公式含有尽也许高代数准确度。第13页第13页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1414页页 假如我们事先选定求积节点假如我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间，譬如，以区间a,b等距分点作为节点，这时取等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组即求解方程组即可拟定求积系数可拟定求积系数Ak，而使求积公式至少含有，而使求积公式至少含有 n次代次代数精度数精度.本章第本章第2节简介这样一类求积公式，梯形公节简介这样一类求积公式，梯形公式是其中一个特例式是其中一个特例.如为了结构出上面求积公式，原则上是一个拟如为了结构出上面求积公式，原则上是一个拟定参数定参数xk和和Ak代数问题代数问题.第14页第14页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1515页页4.1.34.1.3 插值型求积公式插值型求积公式插值型求积公式插值型求积公式设给定一组节点设给定一组节点且已知且已知f(x)在这些节点上函数值在这些节点上函数值 f(xk),则可求得则可求得f(x)拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式(由于由于Ln(x)原函数易求原函数易求)其中其中lk(x)为插值基函数为插值基函数,取取由上式拟定系数公式称为由上式拟定系数公式称为插值型求积公式插值型求积公式。即即则则 f(x)Ln(x)第15页第15页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1616页页由插值余项定理由插值余项定理,其求积余项为其求积余项为其中其中=(x)假如求积公式是插值型，按照插值余项式子，假如求积公式是插值型，按照插值余项式子，对于次数不超出对于次数不超出n多项式多项式f(x)，其余项，其余项 R(f)等于零，等于零，因而这时求积公式至少含有因而这时求积公式至少含有n次代数精度次代数精度.第16页第16页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1717页页 反之，假如求积公式至少含有反之，假如求积公式至少含有n次代数精度，次代数精度，则它必定是插值型则它必定是插值型.事实上，这时求积公式对于事实上，这时求积公式对于插值基函数插值基函数 lk(x)应准确成立，即有应准确成立，即有注意到注意到lk(xj)=kj，上式右端事实上即等于，上式右端事实上即等于Ak，因，因而下面式子成立而下面式子成立.第17页第17页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1818页页 定理定理1 含有含有n+1个节点数值求积公式个节点数值求积公式该公式至少含有该公式至少含有n次代数精度次代数精度充要条件充要条件为为:它是插值它是插值型求积公式。型求积公式。总而言之，我们有结论为总而言之，我们有结论为 这时令这时令f(x)=1代入又有结论为代入又有结论为 结论结论 对插值型求积公式系数必有对插值型求积公式系数必有第18页第18页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第1919页页其中其中K为不依赖于为不依赖于f(x)待定参数，待定参数，4.1.44.1.4 求积公式余项求积公式余项求积公式余项求积公式余项求积公式求积公式Akf(xk)代数准确度为代数准确度为m,则求积公式余项则求积公式余项表示式为表示式为 当当 中，中，R(f)=0，当，当 时，即时，即 代入余项表示式中可得详细余项。代入余项表示式中可得详细余项。第19页第19页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2020页页因此，可得梯形公式余项为中矩形公式余项为例3 求例2中求积公式 余项。第20页第20页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2121页页其中其中h=max(xi-xi-1)，则称求积公式，则称求积公式Akf(xk)是是收敛收敛.4.1.54.1.5 求积公式收敛性与稳定性求积公式收敛性与稳定性求积公式收敛性与稳定性求积公式收敛性与稳定性 定义定义2 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，若中，若 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，由于计算中，由于计算f(xk)也许产也许产生误差生误差k，实际得到，实际得到 ，即，即 .记记假如对任给小正数假如对任给小正数0，只要误差，只要误差|k|充足小就有充足小就有它表明求积公式它表明求积公式Akf(xk)计算是计算是稳定稳定，由此给出，由此给出第21页第21页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2222页页 定义定义3 对任给小正数对任给小正数0，若存在，若存在0，只要，只要 就有就有成立，则称求积公式成立，则称求积公式Akf(xk)是是稳定稳定，第22页第22页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2323页页 证实证实 对任给对任给0，若取，若取=/(b-a),对所有对所有k都有都有故求积公式是稳定故求积公式是稳定.定理定理2 若求积公式若求积公式Akf(xk)中所有系数中所有系数Ak0，则此求积公式是稳定则此求积公式是稳定.则有则有第23页第23页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2424页页 4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通常取等距节点，即将积分区间通常取等距节点，即将积分区间a,b划分划分n等分，等分，即令步长即令步长h=(b-a)/n，且记，且记x0=a,xn=b，则节点记为，则节点记为xk=x0+kh(k=0,1,n)，然后作变换，然后作变换:t=(x-x0)/h,代代入求积系数公式，将会简化计算入求积系数公式，将会简化计算.第24页第24页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2525页页4.2.14.2.1 牛顿牛顿牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式柯特斯公式柯特斯公式设将积分区间设将积分区间a,b划分成划分成 n等分等分,步长步长h=求积节点取为求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,n),由此结构插值型由此结构插值型求积公式求积公式,则其求积系数为则其求积系数为引入变换引入变换 x=a+th,则有则有(k=0,1,n)(k=0,1,n)第25页第25页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2626页页记记(k=0,1,n)则则于是得求积公式于是得求积公式称为称为n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)公式公式,称称为为柯特斯系数柯特斯系数。显然显然,柯特斯系数与被积函数柯特斯系数与被积函数 f(x)和积分区间和积分区间a,b无关无关,且为容易计算多项式积分且为容易计算多项式积分.第26页第26页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2727页页n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840惯用柯特斯系数表惯用柯特斯系数表第27页第27页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2828页页 当当n=1时，柯特斯系数为时，柯特斯系数为这时牛顿这时牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们所柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们所熟悉熟悉梯形公式梯形公式，即，即第28页第28页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第2929页页 当当n=2时，柯特斯系数为时，柯特斯系数为相应牛顿相应牛顿-柯特斯公式为二阶求积公式，就是柯特斯公式为二阶求积公式，就是辛普森辛普森(simpson)公式公式(又称为抛物形求积公式又称为抛物形求积公式)，即，即第29页第29页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3030页页式中式中(k=0,1,2,3,4),h=(b-a)/4.n=4 时牛顿时牛顿-柯特斯公式就尤其称为柯特斯公式就尤其称为柯特斯公式柯特斯公式.其形式是其形式是 在柯特斯系数表中看到在柯特斯系数表中看到n 7时，柯特斯系数出现时，柯特斯系数出现负值，于是有负值，于是有第30页第30页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3131页页尤其地，假定尤其地，假定则有则有这表明在这表明在b-a1时，初始误差将会引起计算结果误差时，初始误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故增大，即计算不稳定，故n 7牛顿牛顿-柯特斯公式是不柯特斯公式是不用用.第31页第31页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3232页页由于牛顿由于牛顿-柯特斯公式对柯特斯公式对 f(x)=1准确成立准确成立,即即由此可得由此可得 设设 f(xk)有误差有误差 k,则计算误差为则计算误差为另一个写法：另一个写法：第32页第32页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3333页页只要只要f(xk)取得足够准确取得足够准确,初始数据误差对计算结果初始数据误差对计算结果影响不大影响不大,办法是稳定。办法是稳定。当当 全为正时全为正时,从而从而第33页第33页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3434页页当当 有正有负时有正有负时,由于由于而而 也许会很大也许会很大,f(xk)能够取得足够准能够取得足够准确确,但初始数据误差对计算结果影响会很大但初始数据误差对计算结果影响会很大,办法办法也许是不稳定。也许是不稳定。第34页第34页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3535页页4.2.24.2.2 偶数求积公式代数精度偶数求积公式代数精度偶数求积公式代数精度偶数求积公式代数精度 作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，n阶公式牛顿阶公式牛顿-柯特斯至柯特斯至少含有少含有n次代数精度实际代数精度能否进一步提升呢次代数精度实际代数精度能否进一步提升呢？先看辛普森公式，它是二阶牛顿先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，柯特斯公式，因此至少含有二次代数精度因此至少含有二次代数精度.进一步用进一步用f(x)=x3进行进行检查，按辛普森公式计算得检查，按辛普森公式计算得第35页第35页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3636页页另一方面，直接求积得这时有这时有S=I，即辛普森公式对不超出三次多项式均能，即辛普森公式对不超出三次多项式均能准确成立，又容易验证它对准确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不准确通常是不准确(如如取取a=0,b=1进行验证有，进行验证有，S=3/8I=1/5)，因此，辛普，因此，辛普森公式事实上森公式事实上含有三次代数精度含有三次代数精度.普通地，我们能够证实下述论断：普通地，我们能够证实下述论断：第36页第36页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3737页页 定理定理3 n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式代数精度至少为柯特斯公式代数精度至少为 证实证实 无论无论n为奇数或偶数，插值型求积公式都为奇数或偶数，插值型求积公式都至少含有至少含有n次代数精度次代数精度.因此我们证实因此我们证实n为偶数情形，为偶数情形，即对即对n+1次多项式余项为零次多项式余项为零.令令n=2k，设设其最高次系数为其最高次系数为1，则它，则它n+1阶导数为阶导数为第37页第37页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3838页页由余项公式由余项公式有有这里变换为这里变换为x=a+th，注意，注意xj=a+jh.下面我们证实下面我们证实第38页第38页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第3939页页作变换作变换u=t-k，则，则容易验证容易验证(u)为奇函数，即为奇函数，即(-u)=-(u)，而奇函数，而奇函数在对称区间上积分为零，因此在对称区间上积分为零，因此第39页第39页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4040页页 定理定理3阐明，当阐明，当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式对不超出对不超出n+1次多项式均能准确成立，因此，其代次多项式均能准确成立，因此，其代数精度可达到数精度可达到n+1.正是基于这种考虑，当正是基于这种考虑，当n=2k与与n=2k+1时含有相同代数精度，因而在实用中常采用时含有相同代数精度，因而在实用中常采用n为偶数牛顿为偶数牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式柯特斯公式，如抛物形公式(n=2)等等.第40页第40页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4141页页从而可得辛普森公式余项为从而可得辛普森公式余项为 对于牛顿对于牛顿柯特斯求积公式，通常只用柯特斯求积公式，通常只用n=1,2,4时公式。设时公式。设 f(x)C4a,b，由插值余项表示式得，由插值余项表示式得则由辛普森公式及余项公式则由辛普森公式及余项公式4.2.3 辛普森公式余项辛普森公式余项第41页第41页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4242页页 关于柯特斯公式积分余项，这里不再详细推导，关于柯特斯公式积分余项，这里不再详细推导，仅给出结果下列仅给出结果下列 若若 f(x)C6a,b，则柯特斯公式余项为，则柯特斯公式余项为第42页第42页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4343页页 解解：由梯形公式得由梯形公式得由辛普森公式得由辛普森公式得 例题例题 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分式计算积分第43页第43页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4444页页由柯特斯公式得由柯特斯公式得积分准确值积分准确值第44页第44页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4545页页4.3 复合求积公式复合求积公式 从求积公式余项讨论中我们看到，被积函数所用插值多项式次数越高，对函数光滑性要求也越高.另一方面，插值节点增多(n增大)，在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特斯公式是不稳定，不也许通过提高阶办法来提高求积精度.第45页第45页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4646页页 为了提升精度，通常在实际应用中往往采用为了提升精度，通常在实际应用中往往采用将积将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次求积公式求积公式(梯形公式或抛物形公式梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分，然后再利用积分可加性，把各区间上积分加起来，便得到新求积公式，可加性，把各区间上积分加起来，便得到新求积公式，这就是复合求积公式基本思想这就是复合求积公式基本思想.为本节只讨论复合梯为本节只讨论复合梯形公式与复合辛普森公式。形公式与复合辛普森公式。第46页第46页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4747页页 将积分区间将积分区间a,bn等分等分,步步长长 xk=a+kh(k=0,1,n),则由定积分性质知则由定积分性质知,分点为分点为每个子区间上积分每个子区间上积分用低阶求积公式用低阶求积公式,然后把所有区间计算结果求和然后把所有区间计算结果求和,就就得到整个区间上积分得到整个区间上积分I近似值。近似值。所用办法所用办法:第47页第47页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4848页页4.3.14.3.1 复合梯形公式复合梯形公式复合梯形公式复合梯形公式每个子区间每个子区间xk,xk+1上积分用梯形公式上积分用梯形公式,得得将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n等分等分,则则第48页第48页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第4949页页 若若 f(x)C2a,b,其求积余项其求积余项Rn(f)为为称为称为复合梯形公式复合梯形公式.记记第49页第49页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5050页页当当n时，上式右端括号内两个和式均收敛到函数时，上式右端括号内两个和式均收敛到函数积分，因此复化梯形公式收敛积分，因此复化梯形公式收敛.另外，另外，Tn求积系数求积系数均为正，由定理均为正，由定理2知复合梯形公式是稳定知复合梯形公式是稳定.能够看出误差是能够看出误差是h2阶，且由误差公式得到，当阶，且由误差公式得到，当f(x)C2a,b 时，则有时，则有即复合梯形公式是收敛即复合梯形公式是收敛.事实上只要事实上只要f(x)Ca,b,则可得到收敛，由于只要把则可得到收敛，由于只要把Tn改写为改写为第50页第50页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5151页页4.3.24.3.2 复合辛普森公式复合辛普森公式复合辛普森公式复合辛普森公式每个子区间每个子区间xk,xk+1上积分用辛普森公式上积分用辛普森公式,得得 将积分区间将积分区间a,b 划分为划分为n等分等分,则则第51页第51页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5252页页称为称为复合辛普森公式复合辛普森公式.记记若若 f(x)C 4a,b,其求积余项为其求积余项为第52页第52页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5353页页 例例1 对于函数对于函数f(x)=sinx/x，给出，给出n=8函数表，试函数表，试用复合梯形公式和复合辛普森公式用复合梯形公式和复合辛普森公式 计算积分计算积分xf(x)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709 解解 将积分区间将积分区间0,1划分为划分为8等分，用复合梯形公式求得等分，用复合梯形公式求得而将积分区间而将积分区间0,1划分为划分为4等分，等分，用复合辛普森公式求得用复合辛普森公式求得第53页第53页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5454页页 比较上面两个计算结果比较上面两个计算结果T8与与S4，它们都需要提供，它们都需要提供9个点上函数值，然而精度却差别很大，同积分准确个点上函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值值I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算结果比较，应用复化梯形公式计算结果T8=0.9456909只有只有2位有效数字，而应用复合辛普森位有效数字，而应用复合辛普森公式计算结果公式计算结果S4=0.9460832却有却有6位有效数字位有效数字.为了利用余项公式预计误差，要求为了利用余项公式预计误差，要求f(x)=sinx/x高高阶导数，由于阶导数，由于因此有因此有第54页第54页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5555页页于是于是复合梯形公式误差为复合梯形公式误差为复合辛普森公式误差为复合辛普森公式误差为第55页第55页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5656页页4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.4.1 梯形法递推化梯形法递推化 上节简介复合求积办法可提升求积精度，实际计上节简介复合求积办法可提升求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半算时若精度不够可将步长逐次分半.设将区间设将区间 a,b分为分为n等分，共有等分，共有n+1个分点，假如将求积区间再个分点，假如将求积区间再分一次，则分点增至分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑积分值联系起来加以考虑.并注意到每个子区间并注意到每个子区间xk,xk+1通过二分只增长了一个分点通过二分只增长了一个分点第56页第56页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5757页页 设设h=(b-a)/n,xk=a+kh(k=0,1,n),在在xk,xk+1上用梯形公式得上用梯形公式得在在xk,xk+1上用复合梯形公式得上用复合梯形公式得因此因此第57页第57页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5858页页从从0到到n-1对对k累加求和得累加求和得 这就是递推复合梯形公式这就是递推复合梯形公式.从这一公式能够看出，将区间对分后，原复化从这一公式能够看出，将区间对分后，原复化梯形公式值梯形公式值Tn作为一个整体保留作为一个整体保留.只需计算出新分只需计算出新分点函数值，便可得出对分后积分值，不需重复计算点函数值，便可得出对分后积分值，不需重复计算原节点函数值，从而减少了计算量原节点函数值，从而减少了计算量.参见书参见书p110-例例5题题.第58页第58页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第5959页页4.4.24.4.2 理查森外推加速法与龙贝格算法理查森外推加速法与龙贝格算法理查森外推加速法与龙贝格算法理查森外推加速法与龙贝格算法 上面讨论阐明由梯形公式出发，将区间上面讨论阐明由梯形公式出发，将区间a,b逐逐次二分可提升求积公式精度，上述加速过程还可继续次二分可提升求积公式精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式余项展开，设下去，其理论依据是梯形公式余项展开，设若记若记Tn=T(h)，当区间，当区间a,b划分为划分为2n等分时，则有等分时，则有并且有并且有能够证实梯形公式余项可展开成级数形式，即能够证实梯形公式余项可展开成级数形式，即第59页第59页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6060页页 定理定理4 设设f(x)Ca,b，则有，则有式中式中I为积分值，系数为积分值，系数 k与与h 无关无关.误差量级为误差量级为O(h2).定理定理4表明表明T(h)I是是O(h2)阶，若阶，若h/2用代替用代替h,有有用用4乘此式，减去上式再除乘此式，减去上式再除3记为记为S(h)，则得，则得第60页第60页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6161页页改记为改记为这里系数这里系数k与与h无关。这种将计算无关。这种将计算I近似值误差阶由近似值误差阶由O(h2)提升到提升到O(h4)办法称为外推法，也称为理查森外办法称为外推法，也称为理查森外推算法。推算法。比较比较S(h)与与Sn可知可知,这样结构序列这样结构序列S(h),S(h/2),.就是就是复合辛普森公式序列复合辛普森公式序列Sn,S2n,.依据依据令令则又可进一步从余项展开式中消去则又可进一步从余项展开式中消去h4项项,从而有从而有第61页第61页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6262页页这样结构出这样结构出C(h)，其实就是柯特斯公式序列，它，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值与积分值I迫近阶为迫近阶为O(h6).如此推下去，每加速一如此推下去，每加速一次，误差量级便提升次，误差量级便提升2阶，速度较快，普通地，若记阶，速度较快，普通地，若记T0(h)=T(h)，则有，则有误差量级为误差量级为O(h6)误差量级为误差量级为O(h4)第62页第62页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6363页页如此继续下去，可得如此继续下去，可得用用m(h)作为作为I 近似值近似值,误差量级为误差量级为O(h2(m+1).通过通过m(m=1,2,)次加速后，余项便取下列形式用：次加速后，余项便取下列形式用：这种处理办法通常称为这种处理办法通常称为理查森理查森(Richardson)外推外推加速办法加速办法.第63页第63页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6464页页即即又称为又称为逐次分半外推加速求积法逐次分半外推加速求积法，简称，简称外推加速法外推加速法.也称为也称为龙贝格求积算法龙贝格求积算法.以以0(k)表示二分表示二分k次后求得梯形值次后求得梯形值,以以m(k)表表示序列示序列0(k)m次加速值次加速值，第64页第64页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6565页页 龙贝格求积算法计算过程龙贝格求积算法计算过程下列：下列：(1)取取k=0,h=b-a，求，求令令1k(k记区间记区间 a,b二分次数二分次数).(2)求值求值 ，按梯形递推公式计算，按梯形递推公式计算0(k).(3)求加速值，按加速公式逐一求出求加速值，按加速公式逐一求出数表第数表第k行其余各元素行其余各元素j(k-j)(j=1,2,k).(4)若若|k(0)-k-1(0)|(预先给定精度预先给定精度)，则终，则终止计算，并取止计算，并取k(0)I;不然令不然令k+1k转转(2)继续计算继续计算.第65页第65页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6666页页数表数表kT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)0T0(0)1T0(1)T1(0)2T0(2)T1(1)T2(0)3T0(3)T1(2)T2(1)T3(0)4T0(4)T1(3)T2(2)T3(1)T4(0)注意计算顺序，第注意计算顺序，第k步子区间长度为步子区间长度为h=(b-a)/2k.第66页第66页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6767页页 能够证实，假如能够证实，假如f(x)充足光滑，那么充足光滑，那么T数表每一数表每一列元素及对角线元素均收敛到所求积分值列元素及对角线元素均收敛到所求积分值I，即，即 对于对于f(x)不充足光滑函数也能够用龙贝格算法计不充足光滑函数也能够用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时也能够直接使用复合辛算，只是收敛慢一些，这时也能够直接使用复合辛普森公式计算普森公式计算.书本例书本例6.第67页第67页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第6868页页4.6 高斯求积公式高斯求积公式 由前面讨论已经知道，以由前面讨论已经知道，以a=x0 x11就很难就很难求解，故普通不通过解方程求解，故普通不通过解方程(6.2)求解求解xk及及Ak(k=0,1,n)，而从分析高斯点特性来结构高斯求，而从分析高斯点特性来结构高斯求积公式积公式.第71页第71页第四章第四章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 10/23/202410/23/2024第第7272页页 定理定理5 对插值型求积公式对插