黑龙江省龙东地区2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3分）中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业岗位．将数据180000用科学记数法表示为　 　．
2．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使四边形ABCD是平行四边形．

4．（3分）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是　 　．
5．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则m的取值范围是　 　．
6．（3分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为　 　．

7．（3分）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是　 　．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为　 　．

9．（3分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　 　．
10．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝　 　．

二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．b10÷b2＝b5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
12．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
14．（3分）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
15．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（　　）

A． B． C．4 D．6
17．（3分）已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
18．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（　　）

A． B． C． D．
19．（3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
20．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，期中x＝2sin30°+1．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求拋物线的解析式；
（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线NN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．

24．（7分）“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
（1）求本次调查中共抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是　 　；
（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？

25．（8分）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中a的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．
（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF+BH＝BD；
（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

27．（10分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故答案是：1.8×105．
2．【解答】解：在函数y＝中，有x﹣2≥0，解得x≥2，
故其自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
3．【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
4．【解答】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种，
∴摸出的2个球都是黄球的概率＝；
故答案为：．

5．【解答】解：解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
解不等式2x+1＞3，得：x＞1，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
6．【解答】解：∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠ADC，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故答案为60°．
7．【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是45cm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为5πcm，
∴＝5π，
解得：n＝150
故答案为150°．
8．【解答】解：
∵ABCD为矩形，
∴AB＝DC
又∵S△PAB＝S△PCD
∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，
连接AC，交MN与点P，此时PC+PD的值最小，
且PC+PD＝AC＝
故答案为：2
9．【解答】解：分两种情况：
①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，

连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3；
②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，

∴四边形CDEF是正方形，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，
∴△AEF∽△EBD，
∴＝，
设CD＝x，则EF＝DF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，
∴＝，
解得x＝，
∴CD＝，
综上所述，CD的长为3或，
故答案为：3或．
10．【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴AO12＝12+12＝，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝＝1，
同理可求：S3＝＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2019＝22017，
故答案为：22017．

二、选择题（每题3分，满分30分）
11．【解答】解：A、a2+2a2＝3a2，故此选项错误；
B、b10÷b2＝b8，故此选项错误；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故此选项错误；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项正确；
故选：D．
12．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、是中心对称图形，本选项正确；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：C．
13．【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故选：B．
14．【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：B．
15．【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
16．【解答】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：C．

17．【解答】解：＝1，
方程两边同乘以x﹣3，得
2x﹣m＝x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝m﹣3，
∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，
∴，
解得，m≤3，
故选：A．
18．【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3x，BC＝2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF＝AD＝＝x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB，
∴CF＝OE＝AB＝x．
∴tan∠EDC＝＝＝．
故选：A．

19．【解答】解：设一等奖个数x个，二等奖个数y个，
根据题意，得6x+4y＝34，
使方程成立的解有，，，
∴方案一共有3种；
故选：B．
20．【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；
②∵OC∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，
∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，
∴OC：BE＝1：3，故此小题结论正确；
③∵AB＝CD＝EC，
∴DE＝2AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AB＝BC，
∴DE＝2×，故此小题结论正确；
④∵△OCF∽△OAD，
∴，
∴，
∵OC：AC＝1：3，
∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，
∴，
∴，故此小题结论正确．
故选：D．
三、解答题（满分60分）
21．【解答】解：原式＝[﹣]•（x+1）
＝•（x+1）
＝，
当x＝2sin30°+1＝2×+1＝1+1＝2时，
原式＝1．
22．【解答】解：（1）如右图所示，
点A1的坐标是（﹣4，1）；
（2）如右图所示，
点A2的坐标是（1，﹣4）；
（3）∵点A（4，1），
∴OA＝，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：＝．

23．【解答】解：（1）将点A（3，0）、点B（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c，
可得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵C（0，﹣3），
∴S△DBC＝6×1＝3，
∴S△PAC＝3，
设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q，
则S△PAC＝6×AQ，
∴AQ＝1，
∴Q（2，0）或Q（4，0），
∴直线CQ为y＝x﹣3或y＝x﹣3，
当y＝3时，x＝4或x＝8，
∴P（4，3）或P（8，3）；
24．【解答】解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为15÷30%＝50（人）；
（2）3本人数为50×40%＝20（人），
则2本人数为50﹣（15+20+5）＝10（人），
补全图形如下：

（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有1200×＝600（人）．
25．【解答】解：（1）a＝×（10+5）＝900；

（2）小明的速度为：300÷5＝60（米/分），
小强的速度为：（900﹣60×2）÷12＝65（米/分）；

（3）由题意得B（12，780），
设AB所在的直线的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把A（10，900）、B（12，780）代入得：
，解得，
∴线段AB所在的直线的解析式为y＝﹣60x+1500（10≤x≤12）．
26．【解答】（1）证明：连接CF，如图①所示：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴CF⊥AB，
∵BH⊥AB，
∴CF∥BH，
∴∠CBH＝∠BCF，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝MC，
在△BMH和△CMF中，，
∴△BMH≌△CMF（ASA），
∴BH＝CF，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴BH＝AF，
∴AD＝DF+AF＝DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，
∴AD＝BD，
∴DF+BH＝BD；
（2）解：图②猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：
同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，
∴AD＝BD，
∴DF+BH＝BD；
图③猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：
同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，
∴AD＝BD，
∴DF+BH＝BD．

27．【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；

（2）根据题意得：
955≤15x+5（120﹣x）≤1000，
解得35.5≤x≤40，
∵x是整数，
∴x＝36，37，38，39，40．
∴有5种购买方案；

（3）W＝15x+5（120﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴W随x的增大而增大，
当x＝36时，W最小＝10×36+600＝960（元），
∴120﹣36＝84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
28．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵BC＞AB，
∴BC＝4，AB＝3，
∵OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点D的坐标为（﹣2，4）；

（2）设BP交y轴于点F，
如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，

∵CD∥AB，
∴△OBF∽△EPF，
∴＝，即＝，
∴OF＝，
∴S＝OF•PE＝••t＝；
如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，

∵OE∥AD，
∴△OBF∽△ABP，
∴＝，即＝，
∴OF＝，
∴S＝•OF•OA＝××2＝﹣t+2；
综上所述，S＝；

（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；
当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），
∵B（1，0），E（0，4），
∴BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，
①当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2，
则P（﹣2，2）；
②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝，
则P（﹣2，）；
③当BE＝PE时，17＝m2﹣8m+20，解得m＝4±，
则P（﹣2，4﹣）；
综上，P（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，4﹣）．

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