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2019年中考数学真题分类训练——专题八：二次函数
一、选择题
1．（2019山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为

A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2 D．y=-x2
【答案】B
2．（2019舟山）小飞研究二次函数y=–（x–m）2–m+1（m为常数）性质时，有如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；
④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
3．（2019杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，
函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1
【答案】C
4．（2019温州）已知二次函数y=x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【答案】D
5．（2019天津）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
6．（2019衢州）二次函数y=（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是
A．（1，3） B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】A
7．（2019临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
8．（2019湖州）已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
9．（2019遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是

A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
10．（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
11．（2019济宁）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是
A． B．
C． D．
【答案】D
12．（2019福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（，
y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是
A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y3<y1
【答案】D
13．（2019兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是
A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2
【答案】A
14．（2019河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为
A．-2 B．-4 C．2 D．4
【答案】B
二、填空题
15．（2019广安）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米．
【答案】10
16．（2019济宁）如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是__________．

【答案】或
17．（2019凉山州）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_________．
【答案】
18．（2019安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交
于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是__________．
【答案】a>1或a<-1
19．（2019哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是__________．
【答案】8
三、解答题
20．（2019凉山州）已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．
解：的图象与x轴交于两点，
∴，
∵，
∴或．
21．（2019湖州）已知抛物线与轴有两个不同的交点．
（1）求的取值范围；
（2）若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由．
解：（1），
由题意，得，
∴，
∴的取值范围是．
（2），理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，∴．
22．（2019威海）在画二次函数的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：

乙写错了常数项，列表如下：

通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数的表达式；
（2）对于二次函数，当__________时，的值随的值增大而增大；
（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
解：（1）由甲同学的错误可知c=3，
由甲同学提供的数据，当x=-1时，y=6；当x=1时，y=2，
有，∴，∴a=1，
由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；
由乙同学提供的数据，可知c=-1，
当x=-1时，y=-2；当x=1时，y=2，
有，∴，
∴a=1，b=2，∴y=x2+2x+3．
（2）y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∴抛物线开口向上，
∴当x≥-1时，y的值随x的值增大而增大．故答案为：≥-1．
（3）方程ax2+bx+c=k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4（3-k）>0，
∴k>2．
23．（2019宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
解：（1）根据题意得，．
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
24．（2019潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）
解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元，
今年的批发销售总额为万元，
∴，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
，
整理得，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当元时，取最大值，
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．
25．（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元，根据题意可得
，
解得：．
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．
（2）设钢笔单价为元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元，
①当30≤b≤50时，
，
w=b（-0.1b+13）+6（100-b），
∵当时，W=720，当b=50时，W=700，
∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5．
②当50＜b≤60时，
a=8，
，
∵，
∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元，
∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．
26．（2019梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
解：（1）由题意，y=（x-5）（100-×5）=-10x2+210x-800，
故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，
解得，x1=8，x2=13，
∵-10<0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．
（3）∵每件文具利润不超过80%，
∴，得x≤9，
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，
∵对称轴为x=10.5，
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，
∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．
27．（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．

解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），
根据题意得，解得，
∴y=-200x+1200，
当10<x≤12时，y=200，
故y与x的函数解析式为：y=．
（2）由已知得：W=（x-6）y，
当6≤x≤10时，
W=（x-6）（-200x+1200）=-200（x-）2+1250，
∵-200<0，抛物线的开口向下，
∴x=时，取最大值，
∴W=1250，
当10<x≤12时，W=（x-6）•200=200x-1200，
∵y随x的增大而增大，
∴x=12时取得最大值，W=200×12-1200=1200，
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．
28．（2019成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=x+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

解：（1）设函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），由图象可得，
，
解得，
∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．
（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w=yp=（-500x+7500）（x+），即w=-250（x-7）2+16000，
∴当x=7时，w有最大值为16000，
此时y=-500×7+7500=4000（元）．
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
29．（2019武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：

注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
解：（1）①依题意设y=kx+b，
则有，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．
②该商品进价是50-1000÷100=40，
设每周获得利润w=ax2+bx+c，
则有，
解得，
∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，
∵对称轴x=，
∴①当<65时（舍），②当≥65时，x=65时，w求最大值1400，
解得：m=5．
30．（2019杭州）设二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x时，y．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0<x1<x2<1时，求证：0<mn．
解：（1）乙求得的结果不正确，理由如下：
当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1=0，x2=1，
∴y═x（x﹣1）=x2﹣x，
当x时，y，
∴乙求得的结果不正确；
（2）对称轴为x，
当x时，函数的最小值是；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m=x1x2，n=1﹣x1﹣x2+x1x2，
∴mn=[][]，
∵0<x1<x2<1，
∴0，0，
∴0<mn．
31．（2019金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y=﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

解：（1）如图1中，当m=0时，二次函数的表达式y=﹣x2+2，函数图象如图1所示．

∵当x=0时，y=2，当x=1时，y=1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m=3时，二次函数解析式为y=﹣（x﹣3）2+5．如图2．

∵当x=1时，y=1，当x=2时，y=4，当x=4时，y=4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
由图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），
∴抛物线的顶点P在直线y=x+2上，
∵点P在正方形内部，则0<m<2，

如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2=1，
解得m或（舍弃），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2=2，
解得m=1或4（舍弃），
∴当m<1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
32．（2019台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（–2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当–5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
解：（1）将点（–2，4）代入y=x2+bx+c，
得–2b+c=0，
∴c=2b；
（2）m，n，
∴n. ，
∴n=2b–m2=–4m–m2；
（3）y=x2+bx+2b=（x）22b，
对称轴x，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2，当–5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b>0时，c>0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴–4≤x0，
当–5≤x≤1时，函数有最小值2b，
当–52时，函数有最大值1+3b，
当–21时，函数有最大值25–3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b2b=16，
∴b=6或b=–10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25–3b时，25–3b2b=16，
∴b=2或b=18，
∵2≤b≤4，
∴b=2；
综上所述b=2或b=6．
33．（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m>0，n>0，求m，n的值．

解：（1）令y=0，则，
解得x1=﹣2，x2=6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；
（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），
函数图象的对称轴为直线，
∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴，
∴n=1，
∴，
∴m，n的值分别为，1．
34．（2019宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

解：（1）把点P（﹣2，3）代入y=x2+ax+3中，
得3=（–2）2–2a+3，
解得a=2，
∴y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①把x=2代入y=x²+2x+3，求得y=11，
当m=2时，n=11；
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|<2，
∴﹣2<m<2，
∴2≤n<11．
35．（2019衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元）
…
190
200
210
220
…
y（间）
…
65
60
55
50
…
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．

（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
解：（1）如图所示：

（2）设y=kx+b，
将（200，60）、（220，50）代入，得：，
解得，
∴yx+160（170≤x≤240）；
（3）w=xy=x（x+160）x2+160x，
∴对称轴为直线x160，
∵a0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x=170时，w有最大值，最大值为12750元．
36．（2019舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p（t–h）2+0.4刻画．

（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25<t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
解：（1）把（25，0.3）代入p（t–h）2+0.4，
得0.3（25–h）2+0.4，
解得h=29或h=21，
∵25≤t≤37，
∴h=29．
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，
设m=kp+b，
把（0.2，0），（0.3，10）代入得，
解得，
∴m=100p–20．
②当10≤t≤25时，p，
∴m=100（）–20=2t–40；
当25≤t≤37时，p（t–29）2+0.4，
∴m=100[（t–29）2+0.4]–20（t–29）2+20，
∴m.
③当20≤t≤25时，增加的利润为：
600m+[100×30–200（30–m）]=800m–3000=1600t–35000，
当t=25时，增加的利润的最大值为1600×25–35000=5000（元）；
当25<t≤37时，增加的利润为：
600m+[100×30–400（30–m）]=1000m–9000=–625（t–29）2+11000，
∴当t=29时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．
37．（2019湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA=3，tan∠OAC，D是BC的中点．
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．

解：（1）∵OA=3，tan∠OAC，
∴OC．
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=AO=3．
∵D是BC的中点，
∴CDBC，
∴点D的坐标为（，）．
（2）①∵tan∠OAC，
∴∠OAC=30°，
∴∠ACB=∠OAC=30°．
设将△DBF翻折后，点B落在AC上的B'处，
则DB'=DB=DC，∠BDF=∠B'DF，
∴∠DB'C=∠ACB=30°，
∴∠BDB'=60°，
∴∠BDF=∠B'DF=30°．
∵∠B=90°，
∴BF=BD•tan30°．
∵AB，
∴AF=BF．
∵∠BFD=∠AFE，∠B=∠FAE=90°，
∴△BFD≌△AFE（ASA），
∴AE=BD，
∴OE=OA+AE，
∴点E的坐标为（，0）；
②动点P在点O时，
∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为yx2x，
∴E（，0），
∴直线DE：y，
∴F1（3，）；
当动点P从点O运动到点M时，
∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为yx2，
∴E（6，0），
∴直线DE：y，
∴F2（3，）；
∴点F运动路径的长为F1F2，
∵△DFG为等边三角形，
∴G运动路径的长为．