2017年湖北省鄂州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2017年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．﹣1.010101
2．（3分）鄂州市凤凰大桥，坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上，是洋澜湖上在建的第5座桥梁，大桥长1100m，宽27m，鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案，并计划投资人民币2.3亿元，2015年开工，预计2017年完工．请将2.3亿元用科学记数法表示为（　　）
A．2.3×108 B．0.23×109 C．23×107 D．2.3×109
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．5x﹣3x=2 B．（x﹣1）2=x2﹣1 C．（﹣2x2）3=﹣6x6 D．x6÷x2=x4
4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（　　）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为﹣1＜x≤
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
6．（3分）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：
①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；
②小东和妈妈相遇后，妈妈回家速度为50m/min；
③小东打完电话后，经过27min到达学校；
④小东家离学校的距离为2900m．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：
①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a=　 　．
12．（3分）若y=+﹣6，则xy=　 　．
13．（3分）一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为　 　．
14．（3分）已知圆锥的高为6，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为　 　．
15．（3分）如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，点D为AC与反比例函数y=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为　 　．

16．（3分）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　 　．

三、解答题（17-20题每题8分，21-22题每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．

18．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

19．（8分）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为　 　；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有　 　人，补全条形统计图．
（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？
（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．

20．（8分）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

21．（9分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．

22．（9分）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：=；
（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长；
（3）若MA=6，sin∠AMF=，求AB的长．

23．（10分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

24．（12分）已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

2017年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．﹣1.010101
【解答】解：，0，﹣1.0101是有理数，
是无理数，
故选：B．

2．（3分）鄂州市凤凰大桥，坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上，是洋澜湖上在建的第5座桥梁，大桥长1100m，宽27m，鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案，并计划投资人民币2.3亿元，2015年开工，预计2017年完工．请将2.3亿元用科学记数法表示为（　　）
A．2.3×108 B．0.23×109 C．23×107 D．2.3×109
【解答】解：将2.3亿用科学记数法表示为：2.3×108．
故选：A．

3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．5x﹣3x=2 B．（x﹣1）2=x2﹣1 C．（﹣2x2）3=﹣6x6 D．x6÷x2=x4
【解答】解：A、原式=2x，不符合题意；
B、原式=x2﹣2x+1，不符合题意；
C、原式=﹣8x6，不符合题意；
D、原式=x4，符合题意，
故选：D．

4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：该几何体的左视图是：
．
故选：D．

5．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（　　）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为﹣1＜x≤
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
【解答】解：，
解①得x≤，
解②得x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤，
所以不等式组的正整数解为1，2，3
故选：A．

6．（3分）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵EC=EA．∠CAE=30°，
∴∠C=30°，
∴∠AED=30°+30°=60°．
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED=60°．
故选：D．

7．（3分）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：观察二次函数图象可知：m＞0，n＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限．
故选：C．

8．（3分）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：
①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；
②小东和妈妈相遇后，妈妈回家速度为50m/min；
③小东打完电话后，经过27min到达学校；
④小东家离学校的距离为2900m．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①当t=0时，y=1400，
∴打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；
②2400÷（22﹣6）﹣100=50（m/min），
∴小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；
③∵t的最大值为27，
∴小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；
④2400+（27﹣22）×100=2900（m），
∴小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：①②③④．
故选：D．

9．（3分）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：
①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，
∴＜0，故④错误；
∵OB=OC，
∴OB=﹣c，
∴点B坐标为（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b+1=0，
∴ac=b﹣1，故③正确；
∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，
∴2c=，
∴2=，
∴a=，故②正确；
∵ac﹣b+1=0，
∴b=ac+1，a=，
∴b=c+1
∴2b﹣c=2，故①正确；
故选：C．

10．（3分）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，是的FG=DE．

∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF=AD，∠AFG=∠ADF=90°，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG=AE，∠FAG=∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE=BG=BF+GF=BF+DE，
设BC=a，则AB=4+a，BF=4﹣a，
在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2=（4+a）2，解得a=1，
∴BC=1，BF=3，设BE=b，则DE=b﹣3，CE=4﹣（b﹣3）=7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2=b2，解得b=，
∴BG=BE=，
∴S△ABE=S△ABG=××4=．

解法二：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，
∴∠BCF=∠FDG，
∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC=DG，BF=FG，
∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，
∴AB=AG，∵BF=FG，
∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC=BH，AD=AH，
由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，
在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，
∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，
∴x=1，
∴BC=BH=TD=1，AB=5，
设AK=EK=y，DE=z，
∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，
∴42+z2=2y2①，
（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②
由②得到25﹣10y+2y2=17﹣8z+z2③，
①代入③可得z=④
④代入①可得y=（负根已经舍弃），
∴S△ABE=×5×=，
故选：D．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a=　a（b+3）（b﹣3）　．
【解答】解：原式=a（b2﹣9）
=a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．

12．（3分）若y=+﹣6，则xy=　﹣3　．
【解答】解：由题意可知：，
解得：x=，
∴y=0+0﹣6=﹣6，
∴xy=﹣3，
故答案为：﹣3

13．（3分）一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为　2　．
【解答】解：因为众数为3，可设a=3，b=3，c未知，
平均数=（1+3+2+2+3+3+c）=2，
解得c=0，
将这组数据按从小到大的顺序排列：0、1、2、2、3、3、3，
位于最中间的一个数是2，所以中位数是2，
故答案为：2．

14．（3分）已知圆锥的高为6，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为　8π　．
【解答】解：圆锥的主视图如右图所示，
直径BC=8，AD=6，
∴AC==2，
∴圆锥的侧面积是：=8π，
故答案为：8π．

15．（3分）如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，点D为AC与反比例函数y=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为　﹣4或﹣8　．

【解答】解：如图所示，过C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=60°，BC=2，
∴Rt△CBE中，CE=3，
又∵AB=4，
∴△ABC的面积=AB×CE=×4×3=6，
连接BD，OD，
∵直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，
∴点D将线段AC分成1：2的两部分，
当AD：CD=1：2时，△ABD的面积=×△ABC的面积=2，
∵AC∥OB，
∴△DOA的面积=△ABD的面积=2，
∴|k|=2，即k=±4，
又∵k＜0，
∴k=﹣4；
当AD：CD=2：1时，△ABD的面积=×△ABC的面积=4，
∵AC∥OB，
∴△DOA的面积=△ABD的面积=4，
∴|k|=4，即k=±8，
又∵k＜0，
∴k=﹣8，
故答案为：﹣4或﹣8．

16．（3分）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　2≤m≤8　．
【解答】解：设平移后的解析式为y=（x+1）2﹣m，
将B点坐标代入，得
4﹣m=2，解得m=2，
将D点坐标代入，得
9﹣m=1，解得m=8，
y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，
故答案为：2≤m≤8．

三、解答题（17-20题每题8分，21-22题每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【解答】解：原式=（+）÷
=•
=•
=，
解不等式组得：﹣1≤x＜，
∴不等式组的整数解有﹣1、0、1、2，
∵分式有意义时x≠±1、0，
∴x=2，
则原式=0．

18．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，
∴∠F=∠B，AB=AF，
∴AF=CD，∠F=∠D，
在△AEF与△CDE中，，
∴△AFE≌△CDE；
（2）∵AB=4，BC=8，
∴CF=AD=8，AF=CD=AB=4，
∵△AFE≌△CDE，
∴AE=CE，EF=DE，
∴DE2+CD2=CE2，
即DE2+42=（8﹣DE）2，
∴DE=3，
∴EF=3，
∴图中阴影部分的面积=S△ACF﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．

19．（8分）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：

根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为　144°　；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有　1　人，补全条形统计图．
（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？
（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．
【解答】解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°；
“经常参加”的人数为：40×40%=16人，
喜欢足的学生人数为：16﹣6﹣4﹣3﹣2=1人；
补全统计图如图所示：
故答案为：144°，1；

（2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×=180人；

（3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，
所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是=．

20．（8分）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，
解得：k＞；

（2）存在，
∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，
解得：4k﹣11=5，
解得：k=4．

21．（9分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．

【解答】解：（1）如图，设DE=x，
∵AB=DF=2，
∴EF=DE﹣DF=x﹣2，
∵∠EAF=30°，
∴AF===（x﹣2），
又∵CD===x，BC===2，
∴BD=BC+CD=2+x
由AF=BD可得（x﹣2）=2+x，
解得：x=6，
∴树DE的高度为6米；

（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，

由（1）知CD=x=×6=2，BC=2，
∴PD=BP+BC+CD=3+2+2=3+4，
∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，
∴NP=PD=3+4，
∴NM=NP﹣MP=3+4﹣2=1+4，
∴食堂MN的高度为1+4米．

22．（9分）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：=；
（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长；
（3）若MA=6，sin∠AMF=，求AB的长．

【解答】（1）证明：连接OA、OE交BC于T．
∵AM是切线，
∴∠OAM=90°，
∴∠PAD+∠OAE=90°，
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠EDT+∠OEA=90°，
∴∠DTE=90°，
∴OE⊥BC，
∴=．

（2）∵ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，
∴ED•EA=5，
∵=，
∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴=，
∴BE2=DE•EA=5，
∴BE=．

（3）作AH⊥OM于H．
在Rt△AMO中，∵AM=6，sin∠M==，设OA=m，OM=3m，
∴9m2﹣m2=72，
∴m=3，
∴OA=3，OM=9，
易知∠OAH=∠M，
∴sin∠OAH==，
∴OH=1，AH=2．BH=2，
∴AB===2．

23．（10分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
【解答】解：（1）依题意有：y=10x+160；
（2）依题意有：
W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，
因为x为偶数，
所以当销售单价定为80﹣6=74元或80﹣8=72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
（3）依题意有：
﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，
解得4≤x≤10，
则200≤y≤260，
200×50=10000（元）．
答：他至少要准备10000元进货成本．

24．（12分）已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=S△ACD，求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），
∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA=3，
将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=1时，y=4，
∴顶点D（1，4）．
（2）当=0时，
∴点C的坐标为（0，3），
∴AC==3，CD==，AD==2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．
∴AD为△ACD外接圆的直径，
∵点E在 轴C点的上方，且CE=．
∴E（0，）
∴AE==DE==，
∴DE2+AD2=AE2，
∴△AED为直角三角形，∠ADE=90°．
∴AD⊥DE，
又∵AD为△ACD外接圆的直径，
∴DE是△ACD外接圆的切线；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，
∵A（3，0），D（1，4），
∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），
过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，
设直线NP的解析式为y=﹣x+c，
则﹣2+c=2，解得：c=4，
∴直线NP的解析式为y=﹣x+4，
由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，
解得：x=或x=，
∴y=，或y=
∴P（，）或（，）；
（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；
②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；
③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣）；
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．

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