2015年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).docx

2015年高考重庆市理科数学真题
一选择题
1．已知集合A=,B=，则（ ）
A． B．AB= C．AB D．BA
2．在等差数列中，若=4，=2，则=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
3．重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
4．“x>1”是“（x+2）<0”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
6．若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）

A．s B．s C．s D．s
8．已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.
过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B． C．6 D．
9．若tan=2tan，则（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）

A．（-1,0）（0,1） B．（-，-1）（1，+）
C．（-，0）（0，） D．（-，-）（，+）
二、填空题
11．设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）=________.
12．的展开式中的系数是________(用数字作答).
13．在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.
14．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.

15．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.
16．若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.
17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望

18．已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论在上的单调性.

19．如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）求二面角的余弦值。

20．设函数
（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围。

21．如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且
（Ⅰ）若求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若求椭圆的离心率

22．在数列中，
（I）若求数列的通项公式；
（II）若证明：

2015年高考重庆市理科数学真题详细答案
一选择题
1．答案：D
解析过程：
由于，
故A、B、C均错，D是正确的，选D.
2．答案：B
解析过程：
由等差数列的性质得，选B.
3．答案：B
解析过程：
从茎叶图知所有数据为
8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，
中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.
4．答案：B
解析过程：
,因此选B.
5．答案：A
解析过程：
这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
，故选A.
6．答案：A
解析过程：
由题意，
即，
所以，，
，选A.
7．答案：C
解析过程：
由程序框图，的值依次为0，2，4，6，8，
因此（此时）还必须计算一次，
因此可填，选C.
8．答案：C
解析过程：
圆标准方程为，圆心为，
半径为，因此，，即，
.选C.
9．答案：C
解析过程：

＝，
选C.
10．答案：A
解析过程：
由题意，
由双曲线的对称性知在轴上，
设，由得
，
解得，
所以，
所以，
因此渐近线的斜率取值范围是，选A.
二、填空题
11．答案：3
解析过程：
由得，
即，
所以.
12．答案：
解析过程：
二项展开式通项为，
令，解得，因此的系数为.
13．答案：
解析过程：
由正弦定理得，
即，
解得，，
从而，
所以，
.
14．
答案：2
解析过程：
首先由切割线定理得，
因此，，
又，因此，
再相交弦定理有，
所以.
15．答案：
解析过程：
直线的普通方程为，由得
，直角坐标方程为，
把代入双曲线方程解得，
因此交点.为，其极坐标为.
16．答案：-6或4
解析过程：
由绝对值的性质知的最小值在或时取得，
若，或，经检验均不合；
若，则，或，经检验合题意，
因此或.
17．答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取1个”，
则由古典概型的概率计算公式有

(Ⅱ)X的所有可能值为0，1，2，且

综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P

故(个).
18．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)

,
因此的最小正周期为，最大值为.
(Ⅱ)当时，从而
当即时,单调递增，
当即时,单调递减，
综上，在上单调递增；在上单调递减.
19．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)证明：
由，，故.
由
得△为等腰直角三角形，故.
由,垂直于平面内两条相交直线，
故平面.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，△为等腰直角三角形，.
过作垂直于.
易知,
又已知,故.
由得,
,故.
以C为坐标原点，分别以的方向
为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则,

设平面的法向量为
由得
故可取.
由（Ⅰ）可知平面，
故平面的法向量可取为,即,
从而法向量,的夹角的余弦值为
.
故所求二面角的余弦值为.
20．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)对求导得

因为在处取得极值，所以即
当时，,
故,,
从而在点处的切线方程为
,化简得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
令,
由解得,.
当时,即,故为减函数；
当时,即,故为增函数；
当时,即,故为减函数.
由在上为减函数，知，解得,
故的取值范围为.
21．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)由椭圆的定义，

故
设椭圆的半焦距为c，由已知因此

即从而
故所求椭圆的标准方程为 .
(Ⅱ)解法一：设点在椭圆上，且则

求得.
由得从而

,
由椭圆的定义，
从而由
有
又由,知因此
即
于是解得

解法二：
由椭圆定义，
从而由
有
又由,知得

从而
由知
因此

22．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)由有，
若存在某个使得，
则由上述递推公式易得.
重复上述过程可得，与已知矛盾，
所以对任意的，.
从而，即是一个公比的等比数列.
故.
(Ⅱ)由数列的递推关系式变为
变形为
由上式及，归纳可得

因为
所以对
求和得
=
.
另一方面，由上面已证的不等式知

得
.
综上，