2018电大经济数学基础期末复习指导.doc

经济数学基础

第一部分　 微分学
一、单项选择题
1．函数的定义域是（ 且）
2．若函数的定义域是[0，1]，则函数的定义域是( )．
3．下列各函数对中，（ ，）中的两个函数相等．
4．设，则=（ ）．
5．下列函数中为奇函数的是（ ）．
6．下列函数中，（不是基本初等函数．
7．下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的．
8. 当时，下列变量中（ ）是无穷大量．
9. 已知，当（ ）时，为无穷小量.
10．函数 在x = 0处连续，则k = ( 1)．
11. 函数 在x = 0处（右连续 ）．
12．曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．
13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（y = x ）．
14．若函数，则=（ ）．
15．若，则（ ）．
16．下列函数在指定区间上单调增加的是（e x）．
17．下列结论正确的有（x0是f (x)的极值点 ）．
18. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ ）．
二、填空题
1．函数的定义域是 [-5，2]
2．函数的定义域是(-5, 2 )
3．若函数，则
4．设函数，，则
5．设，则函数的图形关于y轴对称．
6．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6
7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q 2
8. 　　1　　.
9．已知，当 时，为无穷小量．
10. 已知，若在内连续，则　2 .
11. 函数的间断点是
12．函数的连续区间是 ，，
13．曲线在点处的切线斜率是
14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)
15．已知，则= 0
16．函数的驻点是
17．需求量q对价格的函数为，则需求弹性为
18．已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性Ep =
三、极限与微分计算题
1．解 = = =
2．解：=
=
3．解 =
==22 = 4
4．解 =
= = 2
5．解

6．解 =
=
7．解：(x)==
=
8．解
9．解 因为
所以
10．解 因为

所以
11．解 因为

所以
12．解 因为

所以
13．解

14．解：

15．解 在方程等号两边对x求导，得

故
16．解 对方程两边同时求导，得

=.
17．解：方程两边对x求导，得

当时，
所以，
18．解 在方程等号两边对x求导，得

故

四、应用题
1．设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；
（2）当产量为多少时，平均成本最小？
1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

，
所以，
，

（2）令 ，得（舍去）
因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小.

2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）
2．解 （1）成本函数= 60+2000．
因为 ，即，
所以 收入函数==()=．
（2）因为利润函数=- =-(60+2000)
= 40--2000
且 =(40--2000=40- 0.2
令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点．
所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？
3．解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p)
=250000-400p
R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2
利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令
=2400 – 8p = 0
得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.
（2）最大利润 （元）．

4．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？
4．解 （1）由已知
利润函数
则，令，解出唯一驻点.
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
（2）最大利润为
（元）
5．某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
5. 解 因为 == （）
==
令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.
=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为
==176 （元/件）
6．已知某厂生产件产品的成本为（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？
6．解 （1） 因为 ==
==
令=0，即，得=50，=-50（舍去），
=50是在其定义域内的唯一驻点．
所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

第二部分　 积分学
一、单项选择题
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3 ）．
2. 若= 2，则k =（1）．
3．下列等式不成立的是（ ）．
4．若，则=（）.
5. （ ）．
6. 若，则f (x) =（ ）．
7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是()．
8．下列定积分中积分值为0的是（）
9．下列无穷积分中收敛的是（）．
10．设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（350 ）．
11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
12．微分方程的阶是（1）.
二、填空题
1．
2．函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数)
3．若，则
4．若，则=
5．0
6．0
7．无穷积分是收敛的（判别其敛散性）
8．设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + ．
9. 是　　2 阶微分方程.
10．微分方程的通解是
三、计算题
⒈ 解
2．解
3．解
4．解 =
=
5．解 == =
6．解

7．解 ===
8．解 =-==
9．解法一 =
=＝=1
解法二 令，则
=
10．解 因为 ，
用公式

由 ， 得
所以，特解为
11．解 将方程分离变量：
等式两端积分得
将初始条件代入，得 ，c =
所以，特解为：
12．解：方程两端乘以，得

即

两边求积分，得
通解为：
由，得
所以，满足初始条件的特解为：
13．解 将原方程分离变量
两端积分得 lnlny = lnC sinx
通解为 y = eC sinx
14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程，
，
用公式

15．解 在微分方程中，
由通解公式

16．解：因为，，由通解公式得

= =
=
四、应用题
1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.
1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
== 100（万元）
又 = =
令 ， 解得.
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
2．解 因为边际利润
=12-0.02x –2 = 10-0.02x
令= 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
=500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x
令(x)=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
4．解：因为总成本函数为
=
当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18
即 C(x)=
又平均成本函数为
令 ， 解得x = 3 (百台)
该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
(万元/百台)
5．设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
5．解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x
令，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.
第三部分 线性代数
一、单项选择题
1．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（AB ）可以进行.
2．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（
3．设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（秩秩秩 ）．
4．设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）
5．设是可逆矩阵，且，则（ ）.
6．设，，是单位矩阵，则＝（）
7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（AB = AC，A可逆，则B = C ）成立.
8．设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（）．
9．设，则r(A) =（ 2 ）．
10．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1 ）．
11．线性方程组 解的情况是（无解）．
12．若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（）时线性方程组无解．
13． 线性方程组只有零解，则（可能无解）.
14．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（无解）．
15．设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（只有零解）．
二、填空题
1．两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是与是同阶矩阵
2．计算矩阵乘积= [4]
3．若矩阵A = ，B = ，则ATB=
4．设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式
5．设，当0时，是对称矩阵.
6．当时，矩阵可逆
7．设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解
8．设为阶可逆矩阵，则(A)=
9．若矩阵A =，则r(A) =2
10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解
11．若线性方程组有非零解，则-1
12．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r
13．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量)
14．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为
则当时，方程组有无穷多解.
15．若线性方程组有唯一解，则只有0解

三、计算题
1．设矩阵，，求．
2．设矩阵 ，，，计算．
3．设矩阵A =，求．
4．设矩阵A =，求逆矩阵．
5．设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1．
6．设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1．
7．解矩阵方程．
8．解矩阵方程.
9．设线性方程组

讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
10．设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.
11．求下列线性方程组的一般解：

12．求下列线性方程组的一般解：

13．设齐次线性方程组

问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.
14．当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.
15．已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为

问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.

三、计算题
1．解 因为 =
==
所以 ==
2．解：=
= =
3．解 因为 (A I )=

所以 A-1 =
4．解 因为(A I ) =

所以 A-1=
5．解 因为AB ==
(AB I ) =

所以 (AB)-1=
6．解 因为BA==
(BA I )=

所以 (BA)-1=
7．解 因为

即
所以，X ==
8．解：因为
即
所以，X ===
9．解 因为

所以当且时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
当且时，方程组有无穷多解.
10．解 因为

所以 r(A) = 2，r() = 3.
又因为r(A) ¹ r()，所以方程组无解.
11．解 因为系数矩阵

所以一般解为 （其中，是自由未知量）
12．解 因为增广矩阵

所以一般解为 （其中是自由未知量）
13．解 因为系数矩阵
A =
所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为
（其中是自由未知量）
14．解 因为增广矩阵

所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量〕
15．解：当=3时，，方程组有解.
当=3时，
一般解为， 其中, 为自由未知量.

四、证明题
四、证明题
1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．
1．证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB
所以 AB = (AB)T = BT AT = BA

2．试证：设是n阶矩阵，若= 0，则．
2．证 因为
= ==
所以
3．已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求
3. 证 因为，且，即
，
得，所以是可逆矩阵，且.

4. 设阶矩阵满足，，证明是对称矩阵.
4. 证 因为
==
所以是对称矩阵.

5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．
5．证 因为 ，且

所以 AB＋BA是对称矩阵．
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