2016年四川省德阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．
1．（3分）|﹣2|=（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形其内角和为361°
B．任意做一个矩形，其对角线相等
C．任取一个实数，其相反数之和为0
D．外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品
3．（3分）将235000000用科学记数法表示为（　　）
A．235×106 B．2.35×107 C．2.35×108 D．0.235×109
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点，E、F，将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相较于点G，若∠GEC=80°，那么∠GFE=（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
5．（3分）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成构成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．处于中间位置的数为这组数的中位数
B．中间两个数的平均数为这组数的中位数
C．想要了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用全面调查的方法
D．公司员工月收入的众数是3500元，说明该公司月收入为3500元的员工最多
7．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x＜ C．x≤4 D．x≤
8．（3分）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（　　）
A． B．1 C． D．
9．（3分）如图，AP为☉O的切线，P为切点，若∠A=20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC=60°，则∠OBC等于（　　）

A．55° B．65° C．70° D．75°
10．（3分）已知关于x的分式方程﹣1=的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4且m≠3 B．m＜4 C．m≤4且m≠3 D．m＞5且m≠6
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=3，AC=，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（　　）

A．2 B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题3分，共15分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（3分）一组数据10，10，9，8，x的平均数是9，则这列数据的极差是　　．
14．（3分）若实数x，y满足（2x+3）2+|9﹣4y|=0，则xy的立方根为　　．
15．（3分）已知x﹣=4，则x2﹣4x+5的值为　　．
16．（3分）如图所示，已知∠AOB=60°，☉O1与∠AOB的两边都相切，沿OO1方向做☉O2与∠AOB的两边相切，且与☉O1外切，再作☉O3与∠AOB的两边相切，且与☉O2外切，…，如此作下去，☉On与∠AOB的两边相切，且与☉On﹣1外切，设☉On的半径为rn，已知r1=1则r2016=　　．

17．（3分）如图，在△ABC中，BC=3，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是　　．
①∠C一定是钝角；②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA=；④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是．

三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）计算：（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+．

19．（7分）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
（1）证明：四边形CFAE为菱形；
（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．

20．（11分）某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取了部分学生家庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问卷，将收回的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图：
代号
情况分类
家庭数
A
带孩子玩且关心其作业完成情况
8
B
只关心其作业完成情况
m
C
只带孩子玩
4
D
既不带孩子玩也不关心其作业完成情况
n
（1）求m，n的值；
（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在B、C、D类家庭中抽取家长组成培训班，其比例为B类20%，C、D类各取60%，请你估计该培训班的家庭数；
（3）若在C类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出C类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．

21．（10分）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，
①最多可采购甲商品多少件？
②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．

22．（10分）如图，一次函数y=﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），且与y轴相较于点C，与双曲线y=相交于点P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S△MPC=4，求双曲线的解析式．

23．（11分）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点．M是BD上一点，且满足DM=DC，点E是AC与BD的交点．
（1）求证：CM∥AD；
（2）如果AD=1，CM=2．求线段BD的长及△BCE的面积．

24．（14分）如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．

2016年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．
1．（3分）（2016•德阳）|﹣2|=（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2，
故选A．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义，掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解答此题的关键．

2．（3分）（2016•德阳）下列事件是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形其内角和为361°
B．任意做一个矩形，其对角线相等
C．任取一个实数，其相反数之和为0
D．外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【解答】解：A、画一个三角，形其内角和为361°是不可能事件，故A错误；
B、任意做一个矩形，其对角线相等是必然事件，故B错误；
C、任取一个实数，其相反数之和为0是必然事件，故C错误；
D、外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品是随机事件，故D正确；
故选D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．（3分）（2016•德阳）将235000000用科学记数法表示为（　　）
A．235×106 B．2.35×107 C．2.35×108 D．0.235×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：235 000 000=2.35×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2016•德阳）如图，已知直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点，E、F，将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相较于点G，若∠GEC=80°，那么∠GFE=（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】求出∠FED，根据平行线的性质得出∠GFE=∠FED，即可得出选项．
【解答】解：∵将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相较于点G，
∴∠GEF=40°，
∵∠GEC=80°，
∴∠FED=180°﹣40°﹣80°=60°，
∵AB∥CD，
∴∠GFE=∠FED=60°，
故选A．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出∠GFE=∠FED是解此题的关键．

5．（3分）（2016•德阳）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成构成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为4，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，需要的小正方体的数目：1+2+1=4．如图：

故选B．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容易得到答案了．

6．（3分）（2016•德阳）下列说法正确的是（　　）
A．处于中间位置的数为这组数的中位数
B．中间两个数的平均数为这组数的中位数
C．想要了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用全面调查的方法
D．公司员工月收入的众数是3500元，说明该公司月收入为3500元的员工最多
【分析】利用众数，算术平均数，以及中位数定义判断即可．
【解答】解：A、将一组数据按照从小到大顺序排列，然后前面一个后面一个划去，剩下的数即为中位数，错误；
B、将一组数据按照从小到大顺序排列，然后前面一个后面一个划去，剩下的数即为中位数，错误；
C、想要了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用抽样调查的方法，错误；
D、公司员工月收入的众数是3500元，说明该公司月收入为3500元的员工最多，正确，
故选D
【点评】此题考查了众数，全面调查与抽样调查，算术平均数，以及中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

7．（3分）（2016•德阳）函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x＜ C．x≤4 D．x≤
【分析】被开方数是非负数，由此得到4﹣3x≥0，通过解不等式求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：4﹣3x≥0，
解得x≤．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

8．（3分）（2016•德阳）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得：
2π×r×2÷2=2×πr2，
解得：r=1．
故选B．
【点评】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

9．（3分）（2016•德阳）如图，AP为☉O的切线，P为切点，若∠A=20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC=60°，则∠OBC等于（　　）

A．55° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接OP、OC，由圆周角定理可求得∠POC，再直角三角形可求得∠AOP，则可求得∠BOC，再利用等腰三角形的性质可求得∠OBC．
【解答】解：
连接OP、OC，
∵AP为⊙O的切线，
∴OP⊥AP，
∴∠APO=90°，
∴∠AOP=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°，
∵∠PDC=60°，
∴∠POC=2∠PDC=120°，
∴∠BOC=∠POC﹣∠AOP=120°﹣70°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==65°，
故选B．

【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线的性质和圆周角定理求得∠BOC的度数是解题的关键．

10．（3分）（2016•德阳）已知关于x的分式方程﹣1=的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4且m≠3 B．m＜4 C．m≤4且m≠3 D．m＞5且m≠6
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2=0，
解得x=4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．
【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．

11．（3分）（2016•德阳）如图，在△ABC中，AB=3，AC=，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】如图，设⊙O与△ABC内切于E、F、G．首先证明AE=BE=BF=AG=，设DF=DG=m，由AD=2DC，推出CD=（+m），由S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1，
可得：[+]•r2=2：1，由此即可得出结论．
【解答】解：如图，设⊙O与△ABC内切于E、F、G．

∵DA=DB，DG=DF，
∴BF=AG=BE=AE，
∵AB=3，
∴AE=BE=BF=AG=，设DF=DG=m，
∵AD=2DC，
∴CD=（+m），
∵S△ABD：S△ADC=BD：DC=2：1，
∴：[+]•r2=2：1，
∴（6+2m）•r1：（2+2m）•r2═2：1，
∴r1：r2=3：2．
故选C．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的面积公式：S=（a+b+c）•r（r为内切圆半径）等知识，解题的关键是灵活运用切线长定理，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

12．（3分）（2016•德阳）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设y=ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，左边为A，右边为B，A（x1，0），B（x2，0），那么抛物线方程可写为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），那么b=﹣a（x1+x2），从图中可知，因为x1+x2＞﹣1，因此b=﹣a（x1+x2）＞（﹣a）×（﹣1）=a，所以a＜b＜0，故②正确，其余不难判断．
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＞0，a+b+c=0，a﹣b+c＞0，故①正确，
设y=ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，左边为A，右边为B，A（x1，0），B（x2，0），那么抛物线方程可写为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），那么b=﹣a（x1+x2），从图中可知，因为x1+x2＞﹣1，因此b=﹣a（x1+x2）＞（﹣a）×（﹣1）=a，
所以a＜b＜0，故②正确，
∵a+b+c=0，a＜b＜0，
∴2b+c＞0，故③正确，
由图象可知，当x＞时，y随x的增大而减小，故④正确．
故选D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系、解题的关键是判定a＜b＜0，题目有点难，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（每小题3分，共15分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（3分）（2016•德阳）一组数据10，10，9，8，x的平均数是9，则这列数据的极差是　8　．
【分析】先根据平均数求出x，再根据极差定义可得答案．
【解答】解：由题意知=9，
解得：x=8，
∴这列数据的极差是10﹣8=2，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平均数和极差，熟练掌握平均数的计算得出x的值是解题的关键．

14．（3分）（2016•德阳）若实数x，y满足（2x+3）2+|9﹣4y|=0，则xy的立方根为　﹣　．
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．
【解答】解：∵（2x+3）2+|9﹣4y|=0，
∴2x+3=0，解得x=﹣，
9﹣4y=0，解得y=，
xy=﹣×=﹣，
∴xy的立方根为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．

15．（3分）（2016•德阳）已知x﹣=4，则x2﹣4x+5的值为　6　．
【分析】首先根据x﹣=4，求出x2﹣4x的值是多少，然后把求出的x2﹣4x的值代入x2﹣4x+5，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵x﹣=4，
∴x2﹣1=4x，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+5=1+5=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，注意代入法的应用．

16．（3分）（2016•德阳）如图所示，已知∠AOB=60°，☉O1与∠AOB的两边都相切，沿OO1方向做☉O2与∠AOB的两边相切，且与☉O1外切，再作☉O3与∠AOB的两边相切，且与☉O2外切，…，如此作下去，☉On与∠AOB的两边相切，且与☉On﹣1外切，设☉On的半径为rn，已知r1=1则r2016=　32015　．

【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据相似三角形的性质分别求半径r2、r3、…、并找规律，得出结论．
【解答】解：设⊙O1、⊙O2、⊙O3与边OA的切点为G、M、N，
连接O1G、O2M、O3N，
则O1G⊥OA、O2M⊥OA、O3N⊥OA，
∴O1G∥O2M∥O3N，
∵⊙O1与∠AOB的两边都相切，∠AOB=60°，
∴∠AOO1=∠BOO1=30°，
∵OG=r1=1，
∴OO1=2，
∵O1G∥O2M，
∴△OO1G∽△OO2M，
∴=，
∴=，
∴r2=3，
同理得：=，
∴r3=9=32，
…
∴r2016=32015，
故答案为：32015．

【点评】本题考查了切线长定理和切线的性质，本题可以看作是从圆外一点引圆的两条切线，可以得它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．根据这此结论与平行相似的判定结合，利用相似三角形的性质依次求圆的半径即可．

17．（3分）（2016•德阳）如图，在△ABC中，BC=3，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是　①③④　．
①∠C一定是钝角；
②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA=；
④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是．

【分析】如图1，作辅助线，构建三角形的高线，根据∠B=45°得△BDC是等腰直角三角形，求出BD和CD的长，利用勾股定理求出AD的长，计算∠A的正弦值，对③作出判断；
利用计算AE的长，从而计算BE的长，与BC比较可以得出∠C为钝角，对①作出判断；
如图2，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得：△AOC是等腰直角三角形，根据斜边AC=5，可计算半径OA的长，对②作出判断；
如图3，利用正六边形的特殊性质得：△OEF是等边三角形，从而根据半径OA的长，计算DF的长，得出边长EF，对④作出判断．
【解答】解：如图1，过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BC=3，
∴BD=CD=3，
由勾股定理得：AD===4，
∴sin∠BAC==，
所以③正确；
由S△ABC=AB•CD=CB•AE，
∴7×3=3AE，
AE=，
在Rt△ABE中，BE===＞BC=3=，
∴∠ACB＞90°，
即∠C一定是钝角；
所以①正确；
如图2，设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA、OC，
∵∠B=45°，
∴∠AOC=2∠B=90°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴OA==，
则△ABC的外接圆半径为；
所以②不正确；
如图3，此正六边形是△ABC的外接圆的外切正六边形，
Rt△ODF中，由②得：OD=，
由题意得：△OEF是等边三角形，
∴∠OFE=60°，
tan60°==，
∴DF==，
∴EF=2DF=，
则△ABC外接圆的外切正六边形的边长是，
所以④正确，
故本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．

【点评】本题考查了等边三角形、正六边形、外接圆、内切圆等知识点，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素和圆的性质．

三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）（2016•德阳）计算：（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+．
【分析】根据锐角三角函数，负整数和零指数幂的法则，二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：=2﹣6×﹣1+3
=2﹣3﹣1+3
=1，
【点评】本题考查实数运算，涉及锐角三角函数，二次根式的性质，属于基础题型．

19．（7分）（2016•德阳）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
（1）证明：四边形CFAE为菱形；
（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA，根据轴对称的性质得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，
∴CE=AB=EA，
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE=AF，CE=CF，
∴CE=EA=AF=CF，
∴四边形CFAE为菱形；
（2）解：∵四边形CFAE为菱形；
∴OA=OC，OE=OF，
∴OE=BC=5，
∴OF=5．
【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．

20．（11分）（2016•德阳）某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取了部分学生家庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问卷，将收回的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图：
代号
情况分类
家庭数
A
带孩子玩且关心其作业完成情况
8
B
只关心其作业完成情况
m
C
只带孩子玩
4
D
既不带孩子玩也不关心其作业完成情况
n
（1）求m，n的值；
（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在B、C、D类家庭中抽取家长组成培训班，其比例为B类20%，C、D类各取60%，请你估计该培训班的家庭数；
（3）若在C类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出C类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．

【分析】（1）根据扇形统计图来计算；
（2）C、D所占的百分比=1﹣20%﹣65%=15%，据此计算该培训班的家庭数；
（3）设城镇家庭为A1，农村家庭为B1，B2，B3，画树状图，根据树状图来计算概率．
【解答】解：（1）参与调查的家庭数==40（个）．
B所占的百分比==65%，
所以m=65%×40=26（个），n=40﹣（8+26+4）=2（个）；

（2）C、D所占的百分比=1﹣20%﹣65%=15%，
培训班家庭数=500×65%×20%+500×15%×60%=110（个）
答：该培训班的家庭数是110个；

（3）设城镇家庭为A1，农村家庭为B1，B2，B3，画树状图如下：

所有可能结果有12种，其中有一个城镇家庭的结果有6种，设随机抽查2个家庭，其中有一个是城镇家庭为事件E，则P（E）==．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（10分）（2016•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，
①最多可采购甲商品多少件？
②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，
，
解得，，
即甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）①设采购甲商品m件，
17m+12（30﹣m）≤460，
解得，m≤20，
即最多可采购甲商品20件；
②由题意可得，
，
解得，，
∴购买方案有四种，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12=460（元），
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12=455（元），
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12=450（元），
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12=445（元），
即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

22．（10分）（2016•德阳）如图，一次函数y=﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），且与y轴相较于点C，与双曲线y=相交于点P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S△MPC=4，求双曲线的解析式．

【分析】（1）将点P的坐标代入一次函数解析式中即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值；
（2）过点P作PB⊥MC于点B，由一次函数图象上点的坐标特征即可找出点C的坐标，由此可得出OC=OA，进而找出∠ACO=45°、△PMC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积即可求出PB的长度，再根据点P的位置结合一次函数图象上点的坐标特征即可找出点P的坐标，由点P的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，此题的解．
【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），
∴b+2+b=0，
解得：b=﹣1．
（2）过点P作PB⊥MC于点B，如图所示．
将b=﹣1代入一次函数解析式，得：y=﹣x﹣1．
当x=0时，y=﹣1，
∴点C的坐标为（0，﹣1），
∴OC=1，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1=OC，
∴∠ACO=45°．
∵PM⊥PC，
∴△PMC为等腰直角三角形，
∵PB⊥MC，
∴PB=MC，
∴S△PMC=CM•PB=PB2，
∵S△PMC=4，
∴PB2=4，即PB=2或PB=﹣2（舍去），
∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标为﹣2，
当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）﹣1=1，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
∵双曲线y=经过点P，
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴双曲线的解析式为y=﹣．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，根据三角形的面积结合一次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标是解题的关键．

23．（11分）（2016•德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点．M是BD上一点，且满足DM=DC，点E是AC与BD的交点．
（1）求证：CM∥AD；
（2）如果AD=1，CM=2．求线段BD的长及△BCE的面积．

【分析】（1）根据△ABC是正三角形，得出∠ADB=∠BDC=60°，再根据DM=DC，得到DM=CM=CD，最后根据∠ADB=∠DMC判定CM∥AD；
（2）先根据△ADC≌△BMC，得出BD=3，再根据△ADE∽△CME，得到DE=，ME=，且AE=AC，最后判定△ABE∽△DCE，得出=，即=，求得AB==BC，EC=，再过点E作BC边上的高，交BC于点H，根据EH=CEsin60°，求得S△BCE即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴=，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
又∵DM=DC，
∴DM=CM=CD，
∴∠DMC=60°，
∴∠ADB=∠DMC=60°，
∴CM∥AD；

（2）∵∠DAC=∠DBC，∠BMC=∠ADC=120°，而AC=BC，
∴△ADC≌△BMC，
∴BM=AD=1，
∴BD=BM+MD=1+2=3，
由（1）可得，△ADE∽△CME，
∴==，
∴=，
又∵MD=2，
∴DE=，ME=，且AE=AC，
又∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ABD=∠ACD，
∴△ABE∽△DCE，
∴=，
∴=，
又∵AB=AC，
∴AB2=7，即AB==BC，
又∵=，
∴AE=，
∴EC=，
过点E作BC边上的高，交BC于点H，则
EH=CEsin60°==，
∴S△BCE=××=．

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作三角形的高，根据三角形面积计算公式进行求解．

24．（14分）（2016•德阳）如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），求得点P的坐标，再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得点Q的坐标；
（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；

（2）∵抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），
∴2m﹣7=m2﹣2m+1，
解得m1=m2=4，
∴点P的坐标为（4，1），
∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，
∴4k﹣2k﹣3=1，
解得k=2，
∴直线的解析式为y=2x﹣7，
∵y=x2﹣2x+1=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴在y=2x﹣7中，当x=2时，y=2×2﹣7=﹣3，
∴点Q的坐标为（2，﹣3）；

（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，根据题意得：
TM=PQ，即TM=PM=QM，
∴点T在以PQ为直径的圆上，
∴∠PTQ=90°，
∴△PQT为直角三角形，
同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，
作PA⊥y轴于A，交直线x=2于点C，QB⊥y轴于B，则AT=|1﹣t|，BT=|﹣3﹣t|，
∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，
∴PQ===2，
①当∠PTQ=90°时，
∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2
=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20，
∴2t2+4t+10=0，即（t+1）2=﹣4，
∵（t+1）2≥0，
∴此方程无解；
②当∠PQT=90°时，PQ2+QT2=PT2，
∴（2）2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2，
解得t=﹣2；
③当∠QPT=90°时，TQ2=PT2+PQ2，
∴QB2+BT2=PA2+AT2+（2）2，
∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20，
解得t=3，
综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一边中线等于该边的一半．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，分类讨论是解题的关键．
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