2009年广东省中考数学试卷以及答案.doc

2009年广东省初中毕业生学业考试
数 学
说明：全卷共4页，考试用时100分钟，满分120分.
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1. 4的算术平方根是（ ）
A.±2 B.2 C. D.
2. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示几何体的主（正）视图是（ ）

4. 《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿
元，用科学计数法表示正确的是（ ）
A. B.元 C.元 D.元
5. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下
一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填在答题卡相应的位置上.
6. 分解因式=_______________________.
7. 已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，
则BC=_________cm.
8. 一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则
现售价应为__________元.
9. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若
从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是，则n=__________________.
10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中
有黑色瓷砖________块，第n个图形中需要黑色瓷砖___________块（用含n的代数式表示）.

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11. 计算sin30°+.
12. 解方程
13. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1
的图像与反比例函数的图像在第一象限相交于点A，
过点A分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为点B、C.如果四
边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式.

14. 如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，
延长BC到E，使CE=CD.
（1） 用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，
垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM=EM.

15. 如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：）

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

17. 某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查地方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1、图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少位学生？
（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线统计图.

18. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE∥AC交ＢＣ的延长线于点Ｅ.
（１）求△BDE的周长；
（２）点Ｐ为线段BC上的点，
连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ.

19. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以为
邻边作第3个平行四边形……依此类推.
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形 、第2个
平行四边形 和第6个平行四边形的面积.

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20.（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的.
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.

21. 小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.
方程
换元法得新方程
　解新方程
检验
求原方程的解　

22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，
求此时x的值.

2009年广东省初中毕业生学业考试
数 学
参考答案
一、选择题
1.Ｂ２.Ａ３.Ｂ４.Ａ５.Ｃ
二、填空题
6.2x(x+2)(x-2)；7.4；8.96；9.8；10.10，3n+1.
三、解答题（一）
11. 解：
12．解：去分母得：2=-(x+1) 解得：x=-3
检验：当x=-3时，分母
所以原方程的解是：x=-3.
13．解：，∴ＯＢ＝ＡＢ＝３，　∴点Ａ的坐标为（３，３）
∵点Ａ在一次函数ｙ＝ｋｘ＋１的图像上， ∴３ｋ＋１＝３，解得：ｋ＝
∴一次函数的关系式是：
１４．（１）作图（略）
　　（２）证明：
　　　　∵△ABC是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC＝∠ＡＣＢ＝６0°
　　　　∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ＝３0°
　　　　∵CD=CE，∠ACB＝∠E+∠CDE=６0°，∴∠E＝３0°
∴∠E＝∠ＣＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ
　　　　∵ＤＭ⊥ＢＥ，∴ＢＭ＝ＥＭ．
１５．解：过点P作PQ⊥AB于Q，则有∠APQ=３0°，∠BPQ=45°
　　　　　设PQ=x，则PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x).
在Rt△APQ 中，
∵tan∠APQ=tan30º =,即.
∴
又∵>50，∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。
四、解答题（二）
16．解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得：
解得：x=9或-9（负值不合题意，舍去）
∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.
17．解：（1）20÷20%=100(名)
（2）∵喜欢排球的人数是：100-20-30-100×40%=10（人）
∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数为：360º×10%=36º
（3）图略
18.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝３
∴，ＢＤ＝２OB=8
∵ＡＤ∥ＣＥ，ＡＣ∥ＤＥ，∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形
∴ＣＥ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＥ＝ＡＣ＝６
∴△ＢＤＥ的周长是：ＢＤ+ＢＣ+ＣＥ+ＤＥ＝８+１０+６＝２４.
　　（２）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD
∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ。
19.（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB＝12
　　　　　∴∠ABC＝９０º，
　　　　　∴。
　　（２）解：∵ＯＢ　∥，ＯＣ　∥，∴四边形ＯＢ是平行四边形。
　　　　　∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴四边形ＯＢ是菱形。
　　　　　∴
　　　　　∴，∴
　　　　　同理：四边形是矩形，∴
　　　　　　　　　　　　　　　‥‥‥
　　　　　第ｎ个平行四边形的面积是：
　　　　 ∴
五，解答题（三）
20.（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.
∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC
∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG
∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ
　　　 　同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ
∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ
∴，
又∵
∴．
（２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ.
则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120°
∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG
∴△MOF≌△NOG，∴
∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.
21.
方程
换元法得新方程
　解新方程
检验
求原方程的解　

22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°
∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN
∴Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴即解得：
∵ ∴,
即：
又∵
∴当x=2时，y有最大值10.
∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.
（3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即
化简得：，解得：x=2
∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.