2011年四川省眉山市中考数学试卷.doc

2011年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择理：本大题共12个小题，每个小题3分，共36分.
1．（3分）2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（3分）下列运箅正确的是（　　）
A．2a2﹣a＝a B．（a+2）2＝a2+4
C．（a2）3＝a6 D．
3．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x＜2 D．x＞2
4．（3分）2011年，我市参加中考的学生约为33200人，用科学记数法表示为（　　）
A．332×102 B．33.2×103 C．3.32×104 D．0.332×105
5．（3分）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
6．（3分）下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
7．（3分）化简的结果是（　　）
A．﹣m﹣1 B．﹣m+1 C．﹣mn+m D．﹣mn﹣n
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．调查某品牌饮料的质量情况适合普查
D．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑
9．（3分）如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）
A．1＜L＜5 B．2＜L＜6 C．5＜L＜9 D．6＜L＜10
11．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．50° B．25° C．40° D．60°
12．（3分）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）与双曲线y＝（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：
①OA＝OB
②△AOM≌△BON
③若∠AOB＝45°，则S△AOB＝k
④当AB＝时，ON﹣BN＝1；
其中结论正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每个小题3分，共18分.
13．（3分）因式分解：x3﹣4xy2＝　 　．
14．（3分）有一组数据，2、6、5、4、5，它们的众数是　 　．
15．（3分）如图，梯形ABCD中，如果AB∥CD，AB＝BC，∠D＝60°，AC丄AD，则∠B＝　 　．

16．（3分）已知一个圆锥形的零件的母线长为3cm，底面半径为2cm，则这个圆锥形的零件的侧面积为　 　cm2．（用π表示）．
17．（3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1＝0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为　 　．
18．（3分）关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是　 　．
三、本大题共2个小题，每小题6分，共12分.
19．（6分）计箅：．
20．（6分）解方程：．
四、本大题共2个小题，每小题8分，共16分
21．（8分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A （0，﹣2）、B （3，﹣1）、C （2，1）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′；
（2）写出点B′和C′的坐标．

22．（8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为15m．求旗杆的高度．

五、本大题共2个小理，每小题9分，共18分.
23．（9分）某中学团委、学生会为了解该校学生最喜欢的球类活动的情況，对足球、乒乓球、篮球、排球四个项目作调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜欢的球类），请你根据图中提供的信息射答下列问题：
（1）求这次接受调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中喜欢篮球的圆心角度数；
（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是最喜欢乒乓球的概率是多少？

24．（9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：

A地
B地
C地
运往D地（元/立方米）
22
20
20
运往E地（元/立方米）
20
22
21
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
25．（9分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）若AB＝2，DP：PB＝1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

26．（11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

2011年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择理：本大题共12个小题，每个小题3分，共36分.
1．【分析】根据相反数的定义得出，两数相加等于0，即是互为相反数，得出答案即可．
【解答】解：∵2+（﹣2）＝0，
∴2的相反数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义解决问题是考查重点，同学们应重点掌握．
2．【分析】根据整式加减法则，完全平方公式，幂的乘方法则，二次根式的性质，逐一检验．
【解答】解：A、2a2与﹣a表示同类项，不能合并，本选项错误；
B、∵（a+2）2＝a2+4a+4，本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，本选项正确；
D、＝＝3，本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了整式加减法则，完全平方公式，幂的乘方法则，二次根式的性质的运用．关键是熟悉各种运算法则．
3．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0
解得：x≠2
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是需要熟记的内容．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将33200用科学记数法表示为3.32×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角＝180°﹣150°＝30°，再根据多边形外角和为360度即可求出边数．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角＝180°﹣150°＝30°，
∴这个正多边形的边数＝＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质；也考查了多边形外角和为360度以及正多边形的性质．
6．【分析】分别根据矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、对角线相等是矩形的性质，故本选项正确；
B、直角梯形中有两个角相等但不是等腰梯形，故本选项错误；
C、符合正方形的判定定理，故本选项正确；
D、符合菱形的性质，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质是解答此题的关键．
7．【分析】根据分式乘法及除法的运算法则进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【解答】解：原式＝（﹣）×＝﹣m+1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
8．【分析】分别根据随机事件、中位数及全面调查与抽样调查的概念进行解答．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，故本选项错误；
B、由中位数的概念可知，给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个，故本选项正确；
C、由于调查某品牌饮料的质量具有一定的破坏性，故适合抽样调查，故本选项错误；
D、由于盒子里装有2个红球和2个黑球，所以搅匀后从中摸出两个球，一红一黑是随机事件，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件、中位数及全面调查与抽样调查的概念，熟知以上知识是解答此题的关键．
9．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左边看去，就是两个长方形叠在一起，故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
10．【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6＝0，得到x＝2或x＝3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，
∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．
故选：D．
【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
11．【分析】由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
而∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360°．
12．【分析】①②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y＝﹣x+b与y＝，得x2﹣bx+k＝0，则x1•x2＝k，又x1•y1＝k，比较可知x2＝y1，同理可得x1＝y2，即ON＝OM，AM＝BN，可证结论；
③作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S△AOB＝k；
④延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB＝时，GA＝GB＝1，则ON﹣BN＝GN﹣BN＝GB＝1；
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入y＝中，得x1•y1＝x2•y2＝k，
联立，得x2﹣bx+k＝0，
则x1•x2＝k，又x1•y1＝k，
∴x2＝y1，
同理x2•y2＝k，
可得x1＝y2，
∴ON＝OM，AM＝BN，
∴①OA＝OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA＝OB，∠AOB＝45°，
∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA＝∠BON＝22.5°，
∠AOH＝∠BOH＝22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB＝S△AOH+S△BOH＝S△AOM+S△BON＝k+k＝k，正确；
④延长MA，NB交于G点，
∵NG＝OM＝ON＝MG，BN＝AM，
∴GB＝GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB＝时，GA＝GB＝1，
∴ON﹣BN＝GN﹣BN＝GB＝1，正确．
正确的结论有4个．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性．
二、填空题：本大题共6个小题，每个小题3分，共18分.
13．【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x3﹣4xy2，
＝x（x2﹣4y2），
＝x（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后继续进行二次因式分解是关键，注意分解因式要彻底．
14．【分析】根据众数的定义解答即可．
【解答】解：在2、6、5、4、5中，5出现了两次，次数最多，
故众数为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，众数可以有多个．
15．【分析】由∠D＝60°，AC丄AD，得到∠ACD＝30°，而AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACD＝30°，又因为AB＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BCA＝∠BAC＝30°，最后根据三角形的内角和定理计算出∠B的度数．
【解答】解：∵∠D＝60°，AC丄AD，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
又∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了梯形的性质：梯形的两底边平行．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．
16．【分析】先计算出底面圆的周长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵底面半径为2cm，
∴底面圆的周长＝2π•2＝4π，
∴圆锥形的零件的侧面积＝•4π•3＝6π（cm2）．
故答案为：6π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长．也考查了扇形的面积公式：S＝•l•R．
17．【分析】先根据一元二次方程y2﹣3y+1＝0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1）（y2﹣1）进行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程y2﹣3y+1＝0的两个实数根分别为y1、y2，
∴y1+y2＝3，y1•y2＝1，
∴（y1﹣1）（y2﹣1），
＝y1y2﹣y1﹣y2+1，
＝y1y2﹣（y1+y2）+1，
＝1﹣3+1，
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
18．【分析】解不等式得x≤，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断的取值范围，求出a的取值范围．
【解答】解：原不等式解得x≤，
∵解集中只有两个正整数解，
则这两个正整数解是1，2，
∴2≤＜3，
解得6≤a＜9．
故答案为：6≤a＜9．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
三、本大题共2个小题，每小题6分，共12分.
19．【分析】根据0指数幂，二次根式的化简，去绝对值法则分别计算，再合并同类项．
【解答】解：原式＝1+（﹣1）+2﹣，
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，0指数幂．关键是熟悉各项的运算法则，先分别计算，再合并同类项．
20．【分析】由于两方程中y的系数互为相反数，所以可先用加减消元法，再用代入消元法求方程组的解．
【解答】解：①+②得，2x+x＝3，
解得x＝1，
把x＝1代入②得，1﹣y＝2，
解得y＝﹣1，
故原方程组的解为：．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，熟知以上知识是解答此题的关键．
四、本大题共2个小题，每小题8分，共16分
21．【分析】（1）根据对称轴为y轴，作出△ABC的轴对称图形△AB′C′；
（2）根据所画出的图形，求点B′和C′的坐标．
【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′如图所示；

（2）由图形可知B′（﹣3，﹣1），C′（﹣2，1）．
【点评】本题考查了轴对称变换的作图．关键是明确对称轴，根据对应点的连线被对称轴垂直平分，找对应点的位置．
22．【分析】过A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答．
【解答】解：过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，
∴EC＝AD＝15，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，
∴AE＝＝＝5（m），
在Rt△AEB中，tan∠BAE＝，
∴BE＝AE•tan∠EAB＝5•tan30°＝5（m），
∴BC＝CE+BE＝20（m）．
答：旗杆高度为20米．

【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
五、本大题共2个小理，每小题9分，共18分.
23．【分析】（1）读图可知喜欢足球的有40人，占20%，所以一共调查了40÷20%＝200人，
（2）喜欢篮球的占40%，所占的圆心角为360°×40%＝144度，
（3）喜欢乒乓球的人数为60人，总人数为200人，根据概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）∵喜欢足球的有40人，占20%，
∴一共调查了：40÷20%＝200（人），
补全统计图，如图所示：

（2）∵喜欢篮球的占40%，
∴占的圆心角为：40%×360°＝144°；

（3）∵喜欢乒乓球的人数为60人，总人数为200人，
∴概率为：＝．

【点评】本题考查学生的读图能力，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，难度适中．
24．【分析】（1）设运往E地x立方米，由题意可列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）由题意列出关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围，再根据a是整数可得出a的值，进而可求出答案；
（3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可．
【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10＝140，
解得：x＝50，
∴2x﹣10＝90．
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；

（2）由题意可得，
，
解得：20＜a≤22，
∵a是整数，
∴a＝21或22，
∴有如下两种方案：
第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；

（3）第一种方案共需费用：
22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21＝2873（元），
第二种方案共需费用：
22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21＝2876（元），
所以，第一种方案的总费用最少．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次不等式组及一元一次方程是解答此题的关键．
25．【分析】（1）根据菱形的性质得CD＝AD，∠CDP＝∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB＝1：2，CD＝BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB＝PF，已证PA＝CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝AD，∠CDP＝∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP＝∠DAP；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥BA，CD＝BA，
∴∠CDP＝∠FBP，∠BFP＝∠DCP，
∴△CPD∽△FPB，
∴＝＝＝，
∴CD＝BF，CP＝PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB＝PF，
由（1）可知，PA＝CP，
∴PA＝PB，在Rt△PAB中，
PB2＝22+（PB）2，
解得PB＝，
则PD＝，
∴BD＝PB+PD＝2．
【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用．关键是根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性解题．
26．【分析】（1）设抛物线的解析式：y＝ax2，把B（﹣4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，即可得到C点坐标（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1＝a2，又AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝a2﹣1，PF＝a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA＝d2＝a2+1，
即有结论d2＝d1+1；
（3）△PAC的周长＝PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长＝PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH＝5，得到△PAC的周长的最小值＝5+6＝11．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式：y＝ax2，
∵拋物线经过点B（﹣4，4），
∴4＝a•42，解得a＝，
所以抛物线的解析式为：y＝x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，
∴OD＝AD+OA＝5，
∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y＝x2上，
∴b＝a2，
∴d1＝a2，
∵AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝a2﹣1，PF＝a，
在Rt△PAF中，PA＝d2＝＝
＝a2+1，
∴d2＝d1+1；

（3）作直线y＝1，过C点作y＝1 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．
由（1）得AC＝5，
∴△PAC的周长＝PC+PA+5
＝PC+PH+6，
要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x＝3代入y＝x2，得到y＝，
即P点坐标为（3，），此时PC+PH＝5，
∴△PAC的周长的最小值＝5+6＝11．

【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y＝ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．
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