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2014年新疆生产建设兵团中考数学试卷
一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）
1．（5分）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
城市
吐鲁番
乌鲁木齐
喀什
阿勒泰
气温（℃）
﹣8
﹣16
﹣5
﹣25
其中平均气温最低的城市是（　　）
A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐
2．（5分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
3．（5分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a•a2＝a3
4．（5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
5．（5分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
7．（5分）某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（　　）

A．216 B．252 C．288 D．324
8．（5分）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（　　）

A． B．2 C． D．2
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
10．（5分）不等式组的解集是　 　．
11．（5分）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝图象上，则y1与y2的大小关系是：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是　 　°．

13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝　 　．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为　 　．

15．（5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3．[]＝1，按此规定，[﹣1]＝　 　．
三、解答题（一）（本大题共4题，共32分）
16．（6分）计算：（﹣1）3++（﹣1）0﹣．
17．（8分）解分式方程：+＝1．
18．（8分）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．
（1）计算这些车的平均速度；
（2）车速的众数是多少？
（3）车速的中位数是多少？

19．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

四、解答题（二）（本大题共4小题，共43分）
20．（10分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，求⊙O的半径．

22．（11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：A，B两地相距　 　千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇？
23．（12分）如图，直线y＝﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

2014年新疆生产建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）
1．（5分）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
城市
吐鲁番
乌鲁木齐
喀什
阿勒泰
气温（℃）
﹣8
﹣16
﹣5
﹣25
其中平均气温最低的城市是（　　）
A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐
【考点】18：有理数大小比较．菁优网版权所有
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣25＜﹣16＜﹣8＜﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数比较大小，负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2．（5分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
3．（5分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a•a2＝a3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．菁优网版权所有
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项错误；
D、a•a2＝a1+2＝a3，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．
4．（5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
【考点】L6：平行四边形的判定．菁优网版权所有
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．（5分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是：＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（5分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【考点】H3：二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣b2a，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
7．（5分）某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（　　）

A．216 B．252 C．288 D．324
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【分析】用分组合作学习所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：360×＝252（人），
答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为252人；
故选：B．
【点评】此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中分组合作学习所占的百分比．
8．（5分）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】设购买A型童装x套，B型童装y套，根据超市用3360元购进A，B两种童装共120套，列方程组求解．
【解答】解：设购买A型童装x套，B型童装y套，
由题意得，．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（　　）

A． B．2 C． D．2
【考点】KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】先根据折叠的性质得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，则AB＝2EF，DC＝8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B＝90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH＝AB＝2EF，HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH＝2，所以EF＝．
【解答】解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，
∴EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，
∴AB＝2EF，DC＝DF+CF＝8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH＝AB＝2EF，HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△DHC中，DH＝＝2，
∴EF＝DH＝．
故选：A．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
10．（5分）不等式组的解集是　﹣5＜x＜﹣2　．
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣5，
解②得：x＜﹣2，
则不等式组的解集是：﹣5＜x＜﹣2．
故答案是：﹣5＜x＜﹣2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
11．（5分）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝图象上，则y1与y2的大小关系是：y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】直接把点A（1，y1）和点B（2，y2）代入反比例函数y＝，求出点y1，y2的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝1，y2＝，
∵1＞，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是　30　°．

【考点】KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD
＝70°﹣40°
＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝　24　．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据正切的定义得到tanB＝，然后把tan37°≈0.75和BC＝32代入计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
所以tanB＝，即tan37°＝，
所以AC＝32•tan37°＝32×0.75＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为　　．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理．菁优网版权所有
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝AC＝，∠AOD＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴＝，即＝，解得AD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3．[]＝1，按此规定，[﹣1]＝　2　．
【考点】2B：估算无理数的大小．菁优网版权所有
【分析】先求出（﹣1）的范围，再根据范围求出即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴[﹣1]＝2．
故答案是：2．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
三、解答题（一）（本大题共4题，共32分）
16．（6分）计算：（﹣1）3++（﹣1）0﹣．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．菁优网版权所有
【分析】先根据数的乘方法则与开方法则、0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2+1﹣
＝．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方法则与开方法则、0指数幂的运算法则是解答此题的关键．
17．（8分）解分式方程：+＝1．
【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得
3+x（x+3）＝x2﹣9
3+x2+3x＝x2﹣9
解得x＝﹣4
检验：把x＝﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣4是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．
18．（8分）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．
（1）计算这些车的平均速度；
（2）车速的众数是多少？
（3）车速的中位数是多少？

【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】（1）根据平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；
（3）根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15＝60（千米/时）；

（2）70千米/时出现的次数最多，则这些车的车速的众数70千米/时；

（3）共有15个，最中间的数是第8个数，则中位数是60千米/时．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数、众数和平均数，掌握中位数、众数和平均数的计算公式是解本题的关键．
19．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
四、解答题（二）（本大题共4小题，共43分）
20．（10分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．
【解答】解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，求⊙O的半径．

【考点】K6：三角形三边关系；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）连结OC，由＝，根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由＝＝得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝2CD＝4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC＝AC＝4，AB＝2BC＝8，所以⊙O的半径为4．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵＝，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝＝，
∴∠BOC＝×180°＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
在Rt△ACB中，BC＝AC＝×4＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴⊙O的半径为4．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
22．（11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：A，B两地相距　440　千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇？
【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意可知：B、C之间的距离为80千米，A、C之间的距离为360千米，所以A，B两地相距360+80＝440千米；
（2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，进一步设y2与行驶时间x之间的函数关系式可以设x小时到达C站，列出关系式，代入点求得函数解析式即可；
（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得y1的函数解析式，与（2）中的函数解析式联立方程，解决问题．
【解答】解：（1）填空：A，B两地相距：360+80＝440千米；

（2）由图可知货车的速度为80÷2＝40千米/小时，
货车到达A地一共需要2+360÷40＝11小时，
设y2＝kx+b，代入点（2，0）、（11，360）得
，
解得，
所以y2＝40x﹣80（x≥2）；
（3）设y1＝mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得
解得，
所以y1＝﹣60x+360
由y1＝y2得，40x﹣80＝﹣60x+360
解得x＝4.4
答：客、货两车经过4.4小时相遇．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
23．（12分）如图，直线y＝﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可得到点A、B的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+8＝0，
解得x＝6，
x＝0时，y＝y＝8，
∴OA＝6，OB＝8，
∴点A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP＝2t，
AQ＝AB﹣BQ＝10﹣t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），
∴△AQP的面积S＝×2t×（10﹣t）＝﹣（t2﹣10t）＝﹣（t﹣5）2+20，
∵﹣＜0，0＜t≤3，
∴当t＝3时，△AQP的面积最大，S最大＝﹣（3﹣5）2+20＝；

（3）若∠APQ＝90°，则cos∠OAB＝，
∴＝，
解得t＝，
若∠AQP＝90°，则cos∠OAB＝，
∴＝，
解得t＝，
∵0＜t≤3，
∴t的值为，
此时，OP＝6﹣2×＝，
PQ＝AP•tan∠OAB＝（2×）×＝，
∴点Q的坐标为（，），
综上所述，t＝秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（，）．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．

考点卡片
1．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
7．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一次函数的应用
1、分段函数