2017年内蒙古呼伦贝尔市中考数学试卷（A卷）（含解析版）.doc

2017年内蒙古呼伦贝尔市中考数学试卷（A卷）
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．3x+x=4x2 B．（﹣a）2•a6=﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0） D．（a2b3c）2=a4b6c
4．（3分）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．6，8，8 B．6，8，10 C．6，8，12 D．6，8，14
5．（3分）纳米技术是一种高新技术，纳米是非常小的长度单位，1纳米等于0.000000001米，将1纳米用科学记数法表示为（　　）
A．10﹣7米 B．10﹣8米 C．10﹣9米 D．10﹣10 米
6．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是（　　）

A．24° B．42° C．48° D．12°
7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：[来源:Z§xx§k.Com]
尺码/厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
鞋店老板比较关注哪种尺码的鞋最畅销，也就是关注卖出鞋的尺码组成一组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3分）一元二次方程16x2﹣8x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
9．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
10．（3分）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据题意，列出方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）下列关于反比例函数y=的说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．函数图象过点（2，）
C．图象位于第一、第三象限 D．x＞0时，y随x的增大而增大
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）分解因式：2a3﹣8a=　 　．
14．（3分）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为　 　．

15．（3分）计算：45°39′+65°41′=　 　．
16．（3分）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是　 　．
17．（3分）如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律．依此规律用含m，n的代数式表示y，则y=　 　．

三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（6分）计算：﹣|2﹣|+（﹣2）﹣2﹣（π﹣3.14）0．

19．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

21．（6分）甲袋中装有4个相同的小球，分别标有3，4，5，6；乙袋中装有3个相同的小球，分别标有7，8，9．芳芳和明明用摸球记数的方法在如图所示的正六边形ABCDEF的边上做游戏，游戏规则为：游戏者从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是几，就从顶点A按顺时针方向连续跳动几个边长，跳回起点者获胜；芳芳只从甲袋中摸出一个小球，明明先后从甲、乙口袋中各摸出一个小球．如：先后摸出标有4和7的小球，就先从点A按顺时针连跳4个边长，跳到点E，再从点E顺时针连跳7个边长，跳到点F．
分别求出芳芳、明明跳回起点A的概率，并指出游戏规则是否公平．

四、（本题7分）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．

五、（本题7分）
23．（7分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．

组别
男女生身高（cm）
A
150≤x＜155
B
155≤x＜160
C
160≤x＜165
D
165≤x＜170
E
170≤x＜175
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在　 　组（填组别序号），女生身高在B组的
有　 　人；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的共有　 　人，人数最多的是　 　组（填组别序号）
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生有多少人？

六、（本题8分）
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

七、（本题10分）
25．（10分）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：

A型车
B型车
进价（元/辆）
800
950
售价（元/辆）
今年售价
1200

八、（本题13分）
26．（13分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，D是AB的中点，EF是△ACD的中位线，矩形EFGH的顶点都在△ACD的边上．
（1）求线段EF、FG的长；
（2）如图2，将矩形EFGH沿AB向右平移，点F落在BC上时停止移动，设矩形移动的距离为x，矩形与△CBD重叠部分的面积为S，求出S关于x的函数解析式；
（3）如图3，矩形EFGH平移停止后，再绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在CD边上时停止旋转，此时矩形记作E1F1GH1，设旋转角为α，求cosα的值．

2017年内蒙古呼伦贝尔市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选B．

2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱
【解答】解：由主视图和左视图都为三角形，而俯视图是圆，可得几何体是圆锥，
故选B

3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．3x+x=4x2 B．（﹣a）2•a6=﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0） D．（a2b3c）2=a4b6c
【解答】解：A、3x+x=4x，故此选项错误；
B、（﹣a）2•a6=a8，故此选项错误；
C、（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0），故此选项正确；
D、（a2b3c）2=a4b6c2，故此选项错误；
故选：C．

4．（3分）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．6，8，8 B．6，8，10 C．6，8，12 D．6，8，14
【解答】解：A、∵=10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形；
B、∵=10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；
C、=10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；
D、∵6+8=14，∴不能组成三角形．
故选：A．

5．（3分）纳米技术是一种高新技术，纳米是非常小的长度单位，1纳米等于0.000000001米，将1纳米用科学记数法表示为（　　）
A．10﹣7米 B．10﹣8米 C．10﹣9米 D．10﹣10 米
【解答】解：1纳米用科学记数法表示为10﹣9米，[来源:学科网]
故选：C．

6．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是（　　）

A．24° B．42° C．48° D．12°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=×48°=24°．
故选A．

7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：
尺码/厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
鞋店老板比较关注哪种尺码的鞋最畅销，也就是关注卖出鞋的尺码组成一组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板最喜欢的是众数．[来源:学科网ZXXK]
故选：C．

8．（3分）一元二次方程16x2﹣8x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
【解答】解：
∵16x2﹣8x+1=0，
∴△=（﹣8）2﹣4×16=64﹣64=0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选D．

9．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，A错误；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，B错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，C错误；
对角线相等的菱形是正方形，D正确，
故选：D．

10．（3分）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据题意，列出方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，
由题意，得：．
故选B．

11．（3分）下列关于反比例函数y=的说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．函数图象过点（2，）
C．图象位于第一、第三象限 D．x＞0时，y随x的增大而增大
【解答】解：A、反比例函数y=，每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误；
B、函数图象过点（2，﹣），故此选项错误；
C、函数图象图象位于第二、第四象限，故此选项错误；
D、x＞0时，y随x的增大而增大，正确．
故选：D．

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，

则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′=2AC=2×3=6，
∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=，
∴sin∠BAC=，
∴A′D=AA′•sin∠BAC=6×=，
即AE+DE的最小值是．
故选B

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）分解因式：2a3﹣8a=　2a（a+2）（a﹣2）　．
【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）

14．（3分）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为　（﹣1，﹣）　．

【解答】解：根据图形得：D（﹣1，﹣），
故答案为：（﹣1，﹣）

15．（3分）计算：45°39′+65°41′=　111°20′，　．
【解答】解：45°39′+65°41′=111°20′，
故答案为：111°20′，

16．（3分）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是　2　．
【解答】解：∵数据5，2，x，6，4的平均数是4，
∴（5+2+x+6+4）÷5=4，
解得：x=3，
∴这组数据的方差是 [（5﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2+（4﹣3）2]=2；
故答案为：2．

17．（3分）如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律．依此规律用含m，n的代数式表示y，则y=　m（n+2）　．

【解答】解：∵1×（2+2）=4，
3×（4+2）=18，
5×（6+2）=40，
…，
∴y=m（n+2），
故答案为m（n+2）．

三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（6分）计算：﹣|2﹣|+（﹣2）﹣2﹣（π﹣3.14）0．
【解答】解：原式=
=．

19．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．
【解答】解：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b）
=a2﹣2ab﹣a2+b2
=﹣2ab+b2，
当a=，b=﹣1时，原式=﹣2××（﹣1）+（﹣1）2=1+1=2．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

【解答】解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1），
把A（1，﹣4）代入，可得
﹣4=a（1﹣3）（1+1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1），
即y=x2﹣2x﹣3；
（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

21．（6分）甲袋中装有4个相同的小球，分别标有3，4，5，6；乙袋中装有3个相同的小球，分别标有7，8，9．芳芳和明明用摸球记数的方法在如图所示的正六边形ABCDEF的边上做游戏，游戏规则为：游戏者从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是几，就从顶点A按顺时针方向连续跳动几个边长，跳回起点者获胜；芳芳只从甲袋中摸出一个小球，明明先后从甲、乙口袋中各摸出一个小球．如：先后摸出标有4和7的小球，就先从点A按顺时针连跳4个边长，跳到点E，再从点E顺时针连跳7个边长，跳到点F．
分别求出芳芳、明明跳回起点A的概率，并指出游戏规则是否公平．

【解答】解：芳芳：
画树状图可得：

有4种等可能的结果，其中1种能跳回起点A，
故芳芳跳回起点A的概率为；
明明：
画树状图可得：

有12种等可能的结果，其中3种能跳回起点A，
故明明跳回起点A的概率为；
∴芳芳、明明跳回起点A的概率相等，故游戏规则公平．

四、（本题7分）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．

五、（本题7分）
23．（7分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．

组别
男女生身高（cm）
A
150≤x＜155
B[来源:学.科.网]
155≤x＜160
C
160≤x＜165
D
165≤x＜170
E
170≤x＜175
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在　D　组（填组别序号），女生身高在B组的
有　12　人；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的共有　10　人，人数最多的是　C　组（填组别序号）
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生有多少人？
【解答】解：（1）∵在样本中，男生共有2+4+8+12+14=40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣30%﹣20%﹣15%﹣5%）=12人，
故答案为：D、12；

（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的人数共有8+40×5%=10人，
∵A组人数为2+40×20%=10人，B组人数为4+12=32人，C组人数为12+40×35%=26人，D组人数为14+40×10%=18人，E组人数为8+40×5%=10人，
∴C组人数最多，
故答案为：10、C；

（3）500×+480×（35%+10%）=541（人），
故估计身高在160≤x＜170之间的学生约有541人．

六、（本题8分）
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

【解答】（1）证明：连接OD，

∵CD与圆O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∵BD∥OC，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；
（2）∵AB=OC=4，OB=OD，
∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，
∴∠DOC=∠COA=60°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD为等边三角形，
图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积=．

七、（本题10分）
25．（10分）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：

A型车
B型车
进价（元/辆）
800
950
售价（元/辆）
今年售价
1200
【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为（x﹣200）元，
根据题意得： =，
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原分式方程的解．
答：今年A型车每辆售价为1000元．
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（50﹣m）辆，[来源:学。科。网]
根据题意得：800m+950（50﹣m）≤43000，
解得：m≥30．
销售利润为（100﹣800）m+（1200﹣950）（50﹣m）=﹣50m+12500，
∵﹣50＜0，
∴当m=30时，销售利润最多．
答：当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．

八、（本题13分）
26．（13分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，D是AB的中点，EF是△ACD的中位线，矩形EFGH的顶点都在△ACD的边上．
（1）求线段EF、FG的长；
（2）如图2，将矩形EFGH沿AB向右平移，点F落在BC上时停止移动，设矩形移动的距离为x，矩形与△CBD重叠部分的面积为S，求出S关于x的函数解析式；
（3）如图3，矩形EFGH平移停止后，再绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在CD边上时停止旋转，此时矩形记作E1F1GH1，设旋转角为α，求cosα的值．

【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=8，
又∵D是AB的中点，
∴AD=4，CD=AB=4，
又∵EF是△ACD的中位线，
∴EF=DF=2，
在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
在△FGD中，GF=DF•sin60°=，
∴矩形EFGH的面积S=EF•GF=×2=；

（2）设矩形移动的距离为x，则0＜x≤2，
当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，如图，
则0＜x≤1，
∴FN=x，∠FNM=∠ADC=60°．
∴FM=x
S=x•x=x2，

当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，如图2，
则 1＜x≤2，
∵FN=x，DG=x﹣1
∴重叠部分的面积S=（DG+FN）FG=（x﹣1+x）×=（2x﹣1）；

（3）如图3，作H1Q⊥AB于Q，
设DQ=m，则H1Q=m，
∵DG=1，H1G=2，
∴GQ=m+1，
在Rt△H1QG中，根据勾股定理得，H1Q2+GQ2=H1G2，
∴3m2+（m+1）2=4，
解之得m=（负的舍去），
∴QG=1+=
∴cosα===．