高考数学的平面向量多选题专项训练含答案.doc

高考数学的平面向量多选题专项训练含答案

一、平面向量多选题
1．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影为
D．非零向量和满足，则与的夹角为60°
答案：ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A，∵，，与的夹角为锐角，
∴
，
且(时与的夹角为0)，
所以且，故A错误；
对于B
解析：ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A，∵，，与的夹角为锐角，
∴
，
且(时与的夹角为0)，
所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，
则，
，
故，
而向量的夹角范围为，
得与的夹角为30°，故D项错误.
故错误的选项为ACD
故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
2．若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
答案：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；
对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；
对应，若，，则方向相同
解析：ACD
【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．
【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；
对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；
对应，若，，则方向相同或相反，方向相同或相反，
故的方向相同或相反，故，故正确；
对应，若，则，
，，故正确．
故选：
【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．对于向量，有
B．向量，能作为所在平面内的一组基底
C．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件
D．在中，设是边上一点，且满足，，则
答案：BCD
【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可
．结合向量数量积与夹角关系进行判断
．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误，
．，
解析：BCD
【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断
．判断两个向量是否共线即可
．结合向量数量积与夹角关系进行判断
．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误，
．，向量，不共线，能作为所在平面内的一组基底，故正确，
．存在负数，使得，则与反向共线，夹角为，此时成立，
当成立时，则与夹角满足，则与不一定反向共线，即“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故正确，
．由得，
则，，则，故正确
故正确的是，
故选：．
【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
4．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（ ）
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b方向上的投影为
C．2m+n=4
D．mn的最大值为2
答案：CD
【分析】
对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A，向量(
解析：CD
【分析】
对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；
对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；
对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；
对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；
故选：CD.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
5．下列结论正确的是（ ）
A．已知是非零向量，，若，则⊥（）
B．向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影向量为
C．点P在△ABC所在的平面内，满足，则点P是△ABC的外心
D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形
答案：ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
对：因为，又，故可得，
故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
对：因为，又，故可得，
故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为60°，故可得.
故在上的投影向量为，故选项正确；
对：点P在△ABC所在的平面内，满足，则点为三角形的重心，
故选项错误；
对：不妨设，
则，故四边形是平行四边形；
又，则，故四边形是矩形.
故选项正确；
综上所述，正确的有：.
故选：.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
6．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（ ）
A．8+ B．8
C．8﹣ D．
答案：AC
【分析】
利用余弦定理：即可求解.
【详解】
在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，
由余弦定理：，
即，解得.
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC
【分析】
利用余弦定理：即可求解.
【详解】
在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，
由余弦定理：，
即，解得.
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
7．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：
解析：BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
9．已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（ ）
A． B．
C．与的方向相反 D．与都是单位向量
答案：AC
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；
对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；
对于C选项，若与的方向相反，
解析：AC
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；
对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；
对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；
对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.
故选：AC.
【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
10．设、、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；
对于C选项，
解析：AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
11．在中，设，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查
解析：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
12．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B错误，D正确；
由，所以，故A错误；
由，所以，故C正确.
故选：CD
【点睛】
解析：CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B错误，D正确；
由，所以，故A错误；
由，所以，故C正确.
故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
13．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
答案：BD
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A，若，则或，
当A＝
解析：BD
【分析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A，若，则或，
当A＝B时，△ABC为等腰三角形；
当时，△ABC为直角三角形，故A不正确，
对于B，若，则，由正弦定理得，即成立．故B正确；
对于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，∴，∴C为钝角，∴是钝角三角形，故D正确；
综上，正确的判断为选项B和D．
故选：BD．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
14．某人在A处向正东方向走后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好,那么x的值为( )
A． B． C． D．3
答案：AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析：AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题
16．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A． B． C． D．
解析：C
【分析】
易求，在中，由正弦定理可求，在中，由正弦定理可求，再由可得答案．
【详解】
，，
在中，由正弦定理，得，即，
解得，
在中，由正弦定理，得，即，
，即，
，
故选：C．
【点睛】
该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键．
17．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点在线段上(与点，不重合)，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：D
【分析】
设，则，根据得出的范围，再结合得到的关系，从而得出的取值范围.
【详解】
设，
则,
因为，点在线段上(与点C，D不重合)，
所以，
又因为，
所以，所以.
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.
18．已知平面向量，，满足，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
解析：C
【分析】
不妨设，，，，则求的最大值，即求的最大值，然后将问题转化为关于的方程有解的问题，最后求出的最值即可.
【详解】
根据题意，不妨设，，，，
则，所以求的最大值，即求的最大值，
由可得，
即，
因为关于的方程有解，所以，
令，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以，所以，
所以的最大值为，
故选：C.
【点睛】
思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：
（1）先根据题意，设出向量的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；
（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；
（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.
19．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）

A．
B．
C．
D．
解析：C
【分析】
利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】
如图，因为，
所以，同理，，
所以为的垂心。
因为四边形的对角互补，所以，

．
同理，，
，
．
，
．
又

．
由奔驰定理得.
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
20．已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：A
【分析】
由条件化简得出，设的外接圆半径为，根据求得的范围，然后利用不等式的性质判断即可.
【详解】
的内角、、满足，
即，
即，
即，
即，
即，，
设的外接圆半径为，则，
，，
，C、D选项不一定正确；
对于A选项，由于，，A选项正确；
对于B选项，，即成立，但不一定成立.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：
①
②的面积为
③的周长为
④外接圆半径
这四个结论中一定成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：C
【分析】
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
，，可得，可得外接圆半径，④正确；
，即为，
即有，
则，即或，即；
若，，，可得，①可能成立；
由可得，，则三角形的周长为；面积为；
则②③成立；
若，由，
可得，，
则三角形的周长为；面积为；
则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
22．中，，则一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：D
【分析】
由已知，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．
【详解】
∵，
由正弦定理可得，，
∵，
∴，
∴即，∵，
∴或，
∴或，即三角形为等腰或直角三角形，
故选D．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
23．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
解析：B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，
所以，解得，即，
故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
24．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）
A．2 B． C．3 D．
解析：B
【分析】
将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.
【详解】
.故选B.
【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
25．在中，，，且，，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
解析：A
【分析】
设，则，再利用平行四边形法则可知，P在中线上，即可得答案；
【详解】
如图，

，∴，，
由平行四边形法则可知，P在中线上，
P的轨迹一定通过的重心.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.
26．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，且，则（ ）
A． B． C． D．
解析：A
【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得的等式，利用二倍角公式求得，从而求得．
【详解】
∵，即，
∴，
又，∴，
即，则，∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
27．若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：A
【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：，即，
或（不合题意，舍去），

，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
28．已知所在平面内的一点满足，则（ ）
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
解析：B
【分析】
延长至，可得出点是的重心，再根据重心的性质可得出结论。
【详解】
延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。
29．已知非零向量与满足且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．以上均有可能
解析：C
【分析】
和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。
【详解】
由题的，∵，∴平分线所在的直线与垂直，∴为等腰三角形.又，∴，∴，故为等边三角形.
故选：C
【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。
30．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1 B．1 C． D．
解析：D
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：

因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.
故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.