2001年湖南高考理科数学真题及答案.doc

2001年湖南高考理科数学真题及答案本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1至2页第卷3至8页共150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)注意事项：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧其中c、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若sinicos0，则在( )A第一、二象限B第一、三象限C第一、四象限D第二、四象限2过点A (1，1)、B (1，1)且圆心在直线xy2 = 0上的圆的方程是( )A(x3) 2(y1) 2 = 4B(x3) 2(y1) 2 = 4C(x1) 2(y1) 2 = 4 D(x1) 2(y1) 2 = 43设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A1B2C4D64若定义在区间(1，0)的函数满足，则a的取值范围是( )A()BC(，)D(0，)5极坐标方程的图形是( )6函数y = cos x1(x0)的反函数是( )Ay =arc cos (x1)(0x2)By = arc cos (x1)(0x2)Cy = arc cos (x1)(0x2)Dy = arc cos (x1)(0x2)7 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0)， F2 (3，0)，则其离心率为( )ABCD8 若0，sin cos = ，sin cos = b，则( )AabBabCab1Dab29 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若，则AB1 与C1B所成的角的大小为( )A60B90C105D7510设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题： 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)g (x)单调递增； 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)g (x)单调递增； 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)g (x)单调递减； 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)g (x)单调递减其中，正确的命题是( )ABCD11 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则( )AP3P2P1BP3P2 = P1CP3 = P2P1DP3 = P2 = P112 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递则单位时间内传递的最大信息量为( )A26B24C20D19第卷(非选择题共90分)注意事项：1第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中2答卷前将密封线内的项目填写清楚二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 14双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上若PF1PF2，则点P到x轴的距离为 15设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和若Sn是等差数列，则q = 16圆周上有2n个等分点(n1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，()求四棱锥SABCD的体积；()求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值18 (本小题满分12分)已知复数z1 = i (1i) 3()求arg z1及；()当复数z满足=1，求的最大值19 (本小题满分12分)设抛物线y2 =2px (p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O20 (本小题满分12分)已知i，m，n是正整数，且1imn()证明；()证明(1m) n (1n) m21 (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加()设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an，bn的表达式；()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22 (本小题满分14分)设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称对任意x1，x20，都有f (x1x2) = f (x1) f (x2)且f (1) = a0()求f () 及f ()；()证明f (x) 是周期函数；()记an = f (2n)，求参考答案：说明：一 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四 只给整数分数选择题和填空题不给中间分一选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（13）2 （14） （15）1 （16）2n (n1) 三解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分12分解：（）直角梯形ABCD的面积是M底面， 2分 四棱锥SABCD的体积是 M底面 4分（）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱 6分 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面ABCD，得SEB面EBC，EB是交线，又BCEB， BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 10分 ，BC =1，BCSB， tanBSC 即所求二面角的正切值为 12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力满分12分解：（）z1 = i (1i) 3 = 22i， 将z1化为三角形式，得， ， 6分 （）设z = cos i sin ，则zz1 = ( cos 2)(sin 2) i，()， 9分当sin() = 1时，取得最大值从而得到的最大值为 12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力满分12分证明一：因为抛物线y2 =2px (p0)的焦点为F (，0)，所以经过点F的直线的方程可设为； 4分代入抛物线方程得y2 2pmyp2 = 0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2 = p2 8分因为BCx轴，且点c在准线x = 上，所以点c的坐标为（，y2），故直线CO的斜率为即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O 12分证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足则ADFEBC 2分连结AC，与EF相交于点N，则， 6分根据抛物线的几何性质， 8分 ，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O 12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满分12分（）证明： 对于1im有 = m(mi1)， 同理 ， 4分 由于 mn，对整数k = 1，2，i1，有，所以 ，即 6分（）证明由二项式定理有， ， 8分由 ()知(1imn，而 ， 10分所以， (1imn因此，又 ， 即 (1m)n(1n)m 12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力满分12分解：（）第1年投入为800万元，第2年投入为800（1）万元，第n年投入为800（1）n1万元所以，n年内的总投入为an = 800800（1）800（1）n1 = 40001()n； 3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400（1）万元，第n年旅游业收入为400（1）n1万元所以，n年内的旅游业总收入为bn = 400400（1）400（1）n1 = 1600 ()n1 6分（）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即 1600（）n 140001（）n0化简得 5（）n2（）n 70， 9分设（）n，代入上式得5x27x20，解此不等式，得，x1(舍去)即 （）n，由此得 n5答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力满分14分（）解：因为对x1，x20，都有f (x1x2) = f (x1) f (x2)，所以 f () f ()0，x0，1 f () = f () f () = f ()2， f ()f () = f () f () = f ()2 3分， f ()，f () 6分（）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，故 f (x) = f (11x)，即f (x) = f (2x)，xR 8分又由f (x)是偶函数知f (x) = f (x) ，xR， f (x) = f (2x) ，xR，将上式中x以x代换，得f (x) = f (x2)，xR这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期 10分（）解：由（）知f (x)0，x0，1 f ()= f (n ) = f (（n1）) = f () f (（n1）) = f () f () f () = f ()n， f () = ， f () = f (x)的一个周期是2， f (2n) = f ()，因此an = ， 12分 () = 0 14分