6-DOF机械手的抓取动作设计.doc

自动化学院本科毕业论文
（2015届）

题 目
6-DOF机械手的抓取动作设计
学 院
自动化
专 业
自动化

摘要
本文以具有六自由度的PowerCube机械臂作为研究对象，设计了简单的切割动作。
在此基础上，可以设计适用于工业上的切割、喷漆等动作任务。从机器人运动学着手，通过正运动学分析建立了PowerCube机械臂的Denavit-Hartenberg(D-H)模型，推导出了此机械臂的正运动学方程，并以此为基础由一个特例分析了此机械臂的逆运动学。利用Matlab的Robotics Toolbox工具箱，对机械臂的模型构建、正逆运动学分析进行了仿真验证。为了保证机械臂运动的平稳性，研究了机械臂的轨迹规划。讨论了关节空间的轨迹规划和笛卡尔空间的轨迹规划两种轨迹规划方法，并较为详细了介绍了关节空间的轨迹规划中的三次多项式和五次多项式轨迹规划方法。以运动学分析和轨迹规划为基础，对此机械臂设计了切割动作。从初始零位姿运动到切割起点，再从切割起点运动到达切割终点，最后归位完成这一项切割任务。

关键词: PowerCube机械臂；运动学分析；轨迹规划；动作设计

ABSTRACT
In this thesis, simple cutting motion is designed based on the series of six degrees of freedom PowerCube manipulator. Base on this design, we can also design industrial cutting, painting motion or other mandate. As the first step in studying kinematics. The Denavit-Hartenberg(D-H) model of PowerCube manipulaor is present throuth the analysis of forward kinematics. What’s more, derived this manipulaor forward kinematic matrix equation. And based of D-H model and forward kinematics, analizing inverse kinematic in a special case. The building of manipulator’s model and the analyses of kinematics are simulated by using the Robotics Toolbox of Matlab. To keep the balance of manipulator’s movement, reserching on the trajectory control problems. This tbesis talks about two method of trajectory, based on joint space and Cartesian space respectively. The cubic and five times polynomial interpolation about joint space are introduced in detail. Cutting motion are designed due to the tanalyses of kinematics and trajectory planning. Finally, from zero position to the cutting position, and then, from the cutting positiong to the ending position, return to the start at the end and finish this cutting work.

Keywords: PowerCube manipulator, kinematics, trajectory planning, motion design
目录
摘要 1
ABSTRACT 3
1.绪论 1
1.1 机械臂概述 1
1.2 课题的背景及意义 2
1.2.1 课题背景 2
1.2.2 课题研究意义 3
1.3 机械臂的发展情况 3
1.4 机械臂的发展趋势 4
1.5 本论文主要内容 5
2. 六自由度机械臂建模 6
2.1 空间描述和坐标变换 6
2.1.1 空间描述 6
2.1.2 坐标变换 7
2.2 六自由度机械臂的建模与正运动学分析 9
2.2.1 机器人正运动学方程的D-H表示 9
2.2.2 机械臂正运动学模型 11
2.3 逆运动学分析 14
2.3.1 逆运动学概述 14
2.3.2 逆运动学求解 15
2.4 运动学仿真 17
2.4.1 构建机械臂对象 17
2.4.2 正运动学仿真 19
2.4.3 逆运动学仿真 19
2.5 本章小结 20
3. 机械臂的轨迹规划 21
3.1 轨迹规划概述 21
3.2关节空间的轨迹规划 22
3.2.1三次多项式轨迹规划 22
3.2.2五次多项式轨迹规划 23
3.2.3 两种轨迹规划比较 24
3.3笛卡尔空间的轨迹规划 25
3.4 关节空间的轨迹规划仿真 26
3.5 本章小结 28
4. 机械臂动作设计 29
4.1 动作设计流程 29
4.2 切割位姿设计 30
4.2.1 切割起点逆运动学求解 30
4.2.2 初始位姿到切割起始位姿的轨迹规划 31
4.3 切割动作设计 32
4.3.1 切割终点关节角确定 32
4.3.2 切割起始位姿到终点位姿的轨迹规划 32
4.4 机械臂归位 33
4.5 本章小结 35
5. 结论与展望 36
致谢 37
参考文献 38

1.绪论
1.1 机械臂概述
随着工业自动化的发展，机械臂在产业自动化方面应用已经相当广泛，各种不同的机械臂被制作出来应用于各种工业环境。机械臂在复杂、枯燥甚至是恶劣环境下，无论是完成效率以及完成精确性都是人类所无法比拟的。此外，某些机械臂还具有视觉，听觉，感觉等传感器使得它具有很多人类所拥有的能力，也因此，机械臂对人类的生产生活也越发重要。机器具有一致的表现的这种特性提高了生产质量。这种类型的自动化叫做“刚性自动化”。刚性自动化的缺点是机器为执行一个预先的任务被设计出来，使得它在应对每一个模型改变时必须重新更换零件。这种刚性自动化的不灵活性以及相对来说的高成本性导致了一个全新的机器诞生：机械臂。美国机器人工业学会(RIA)将机械臂的定义为“机械臂是通过可变的预编程动作为处理不同的任务而设计，可以执行如搬运材料、零件、工具或者特定的设备等任务，具有可重复编程、多功能的特点”。机械臂通常由计算机或者微处理器控制，通常可以为不同的任务方便地进行重复编程。这种特性使得机械臂优于普通的为执行单一任务被设计出来的机器，因为机械臂不需要为一个模型的更换而更换零件或者重组。这种类型的自动化成为“柔性自动化”[1]。自从Unimation公司生产出第一台工业机器人以来，机械臂的应用也越来越广泛，从原本的汽车工业、模具制造、电子制造等相关产业，向农业、医疗、服务业等领域渗透。
机械臂由多个连杆通过关节组成。根据机械臂的拓扑结构，主要可以分为串联机械臂以及并联机械臂。串联机械臂的结构是开环的，而并联机械臂的结构是闭环的。自由度(Degree Of Freedom)是指确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目。自由度大致有旋转的自由度和移动的自由度两种形式。机械臂需要有六个自由度，才能随意地在它的工作区间内放置物体，即可以任意指定位姿放置物体。少于六个自由度的机械臂叫做非冗余机械臂，这种机械臂不能随意指定任何位姿，但在具体的工业环境中，机械臂一般不需要六个自由度就可以满足生产要求；超过六个自由度的机械臂叫做冗余机械臂，冗余为机械臂在执行同一种任务时提供了更多的选择配置，它有无穷多种方法为物体指定位姿，这就需要在无穷多种方法中选择一种，这就需要计算机检验解和选择最优路径，这增加了额外的计算时间，因此工业中一般不采用有多余自由度的机械臂。在串联机械臂中，冗余解被广泛地应用。但在并联机械臂中很少应用，由于冗余使得结构很复杂而且缺少理论支持，设计和控制难度会大大增加。
关于机械臂的运动学和动力学，可以由七项指标来衡量机械臂，结合机械臂几何学的影响，末端执行器的运动精确性以及伺服机构和控制系统的质量，可以提供局部反馈以及管理机器的工作。这些指标包括：有效负荷，工作区间（容量，形状），可重复性，稳定性，精准性，敏捷灵巧度，结构柔性。这些参数或指标描述了机械臂从启动，工作到停止，在所有臂的长度和重量都满负荷的条件下，有明确以及精确地操作的能力。机械臂的有效负荷是指机械臂所能承载的最大重量。工作区间是指机械臂的所有关节在没有打破结构和机制约束的情况下可以达到的空间。可重复性是指重复一个动作或者结果的能力。稳定性是指避免机械臂震动的能力。精准性是指机械臂在其工作区间内到达一个具体的配置（位姿）的能力。敏捷灵巧度描述了机械臂在运动时的灵活以及拥有高效的速度。结构柔性是应对施加于机械臂的力和扭矩的能力。
关于机械臂的技术要素主要可以分为：1.机械结构（关节型为主流）CAD，CAM等技术已广泛应用于设计、仿真和制造中； 2.控制技术：NC技术、离线编程技术大量采用，协调技术日渐成熟，PC结构的开放系统发展迅猛； 3.驱动技术 4.智能化的传感器：具备类人的感觉功能的传感器； 5.通用的机器人编程语言：适用于各种操作系统及平台的编程语言； 6.网络通讯：大部分机器人采用Ether网络通讯方式，其他采用RS-232、RA-422、RS-485等通讯接口[2]。
机械臂或移动车作为机器人主体部分，同末端执行器、驱动器、传感器、控制器、处理器以及软件共同构成一个完整的机器人系统。机械臂的具体设计需要考虑结构设计、驱动系统设计、运动学和动力学的分析和仿真、轨迹规划和路径规划研究等部分。因此设计一个高效精确的机械臂系统，不仅能为生产带来更多的效益，也更易于维护和维修。

1.2 课题的背景及意义
1.2.1 课题背景
随着中国人口红利的逐渐消失，劳动力不再是我国在国际上竞争的优势，政府和企业也都在致力于各个产业的转型升级。作为经济命脉的工业以及制造业，随着劳动成本的不断提升，市场和贸易国际化的不断推进，要想保持企业的竞争力已经不能仅仅靠产品的低廉，而需要靠产品的升级。因此，开发能应对各种工业制造环境以及满足企业的发展需求的机器人，成为企业的迫切需求。然而，我国的机器人市场大部分被国外品牌占据，8成以上的机器人配件需要进口，且国内机器人相比于国外机器人质量上也有很大的差别。因此，机器人技术是当今国内的研究热点，也是国内急需突破的关键技术，有必要对机器人技术进行研究。
在21世纪，机器人技术将继续发展，成为国民经济的关键性产业。我国的工业机械臂现在仅仅应用与一些大型的企业，如汽车制造，矿产开采等。能使用成本低廉、满足简单的生产需求的机械臂是广大中小企业的期盼。而中小企业需要的正是一些活动空间大、运动灵活、具有抓取物体功能、能完成简单动作的机械臂。
本课题以美国Pioneer公司生产的移动机械臂系统为研究对象，如图1-1所示，以PowerBot机器人作为机器人平台子系统，以德国Amtec公司生产的PowerCube刚性6自由度机械臂作为机械臂子系统（兼具有抓持器）。机械臂系统由6个旋转关节构成，各关节间通过CAN总线连接通信，每个关节可独立运动。移动平台底座由四个轮子支撑，前端两个轮子为差分式驱动轮，后端两个轮子为全向式支撑轮。

图1-1 移动机械臂

1.2.2 课题研究意义
由于拥有六自由度和旋转关节的机械臂的具有简易性，易维护性，以及较大的工作区间，使得它优于普通的移动机器人和传统的机械臂。关于此类机械臂的研究也有很多。这类机械臂广泛地用于工业以及实验室研究。本文正是选取具备这些特性的六自由度串联兼具有移动平台的PowerBot机械臂。由于具有移动平台，相对于固定的机械臂，PowerBot机械臂的工作平台和机械臂具有不同的动力学特性，以及轨迹规划时的不同特点，在运用时也有诸多难点。如逆运动学的求解与优化，路径与轨迹的选择，控制方法和解决方案的选用。因此，研究六自由度兼具六旋转关节的串联机械臂具有理论意义。
另外， 六自由度的串联机械臂因具有较好的灵活性，工作区间较广，可重复编程设计等特点，通过对其进行动作设计，可以用来完成简单的示教及工作任务。对现代工业、民营制造等都具有实际应用价值。

1.3 机械臂的发展情况
机械臂在工业生产中如此受欢迎主要有以下几个因素：1. 减少了劳动成本；2. 提高了操作的精确性；3. 提高产量或者生产的灵活性。随着机器人产业的快速发展，标准化设计和控制被制定出来使得机械臂具有更好的系统兼容性，人机交互性以及使得技术转让更为方便。也因此，有很多工程人员投身到研究和发展工业机械臂工作中来。机械臂发展至今，已经有许多种机械臂被生产出来，其中具有代表性的有：
1962年的最早的工业机器人诞生于与Unimation公司；1971年的Stanford（斯坦福）机械臂，在斯坦福大学被制造出来；1974年Cincinnati Milacron 公司推出了具有计算机控制的T3型机器人；1978 年Unimation公司生产出了PUMA机器人，并被GM公司安装使用；1979年日本的山梨大学制造出了SCARA机器人。这些机械臂在如今的工业生产或者研究中仍在广泛的使用着。
自第一台工业机器人以来，机械臂经历了几代发展：
• 第一代机械臂，是指按预先示教的位姿进行重复的机械臂。也可以叫做示教/再现方式机械臂。国际上仍在广泛地使用此类机械臂。由于这种示教方式使得机械臂只能以特定路径工作，其应用范围也较小，主要用于喷漆、搬运以及焊接等工作。
• 第二代机械臂，是指具有视觉、听觉等类人类感官的机械臂。配备较多复杂的传感器，能感觉周围环境，可以根据外部环境来改变自身的工作状况。此类机械臂能完成较为复杂的作业。
• 第三代机械臂，是指除了具有类人感官功能外，还具有类人脑的判断功能。能由于具体的环境变化而自主做出应对，并完成工作。这一代暂时仍在研究探索阶段，大规模生产应用目前还不可能。
机械臂随着计算机技术、微电子技术、网络技术等的快速发展也在不断与这些新技术融合和发展；现代控制理论使得机械臂系统的性能得到进一步提升；传感器技术使得机械臂能更好的适应环境，提高作业性能。近年来，人们对非工业机械臂的研究也越来越多，其应用也越来越多元化，如，医疗、服务、生活方面等。以医疗为例，有许多大型医学中心已经使用具有远程操控能力，可以结合显微影像的手动操控手术型机器臂。

1.4 机械臂的发展趋势
机器人研究是如今各国发展的重点，发展趋势呈如下状况
1. 机械结构向模块化、可重构化发展[3]。
2. 工业机器人控制系统向PC机控制系统开放，便于标准化、网络化；设备集成度提升，结构向模块化发展，控制模块体积日渐缩小；系统的开放性、稳定性将会大大提升。
3. 机器人传感器应用会更加普及，除了简单的位置、速度、加速度、温度等传感器外，更多的像具有视觉、声觉或者触觉等的机器人会越来越多。硬件成本的下降会导致传感器成本的下降，此外，人们对机器人的需求和要求也会提高，这会促使机器人像成本低廉化，普及化，通用化发展。
4. 运动学研究，特别是关于逆运动学的研究会越来越广泛，由于机械臂的操作会越来越复杂，因此由目标位姿求出关节变量的逆运动学解法也会不断提出。此外，机械臂的控制器设计也会更加强大，关节空间的轨迹跟踪以及任务空间的轨迹跟踪问题的解决方法也会有所进展等。控制方法研究是如今的热点和难点，神经网络控制、模糊控制等控制方法得到越来越广泛的应用。
5. 对于机械臂的不同应用方向，机械臂的编程和仿真系统或相应软件会得到更为广泛的开发，编程开发难度会不断下降，机械臂会更易应用。
总的来说，一方面机器人向具备智能化、多传感器、多控制器，先进的控制算法以及复杂的机电控制系统的方向发展；另一方面是与具体的生产加工相联系，采用性价比高的模块，在满足工作要求的基础上，追求系统的经济型和可靠性，能满足相应具体的任务的机器人[3]。

1.5 本论文主要内容
第二章：六自由度机械臂建模。首先介绍机械臂的建模所需要的理论知识，如一些机械臂的位姿描述和坐标变换；然后介绍机械臂的正运动学分析，其中讲到了用来表示机器人和对机器人运动学进行建模的标准方法，Denavit-Hartenberg(D-H)法[4]。其次，简要介绍了机械臂的逆运动学，只有知道了逆运动学解才能确定每个关节的值，从而使机械臂达到期望的位姿，这部分主要通过机械臂抓取制定位置小球的特例，对求解逆运动学解的一般步骤做了研究。最后，本文使用基于Matlab平台了的Robotics Toolbox机器人工具箱对机械臂的正逆运动学进行了仿真，进一步验证理论的正确性。
第三章：机械臂的轨迹规划。首先介绍了机械臂的轨迹规划所需要的理论知识。讨论了机械臂在关节空间和笛卡尔坐标空间的轨迹规划。详细介绍了三次多项式和五次多项式轨迹规划方法并做了简单的比较，且对关节空间的轨迹规划做了仿真。
第四章：机械臂的动作设计与仿真。以前面两章提到的运动学分析和轨迹规划知识为基础，基于PowerCube机械臂，对其设计了一个简单的切割动作并进行了仿真。

2. 六自由度机械臂建模
2.1 空间描述和坐标变换
机器人操作的定义是指通过某种机构使零件和工具在空间运动，这就需要表达零件、工具以及机构本身的位置和姿态[5]。我们必需定义坐标系并给出表达的规则来定义和运用表达位姿的数学量。本文利用提到的这些描述和变换，来作为机械臂建模的基础。本文参照笛卡尔坐标系来定义位姿，通过矩阵来表示点、向量、坐标系、平移、旋转、变换以及其它运动部件。

2.1.1 空间描述
（1） 位置描述
当我们建立的坐标系后，就可以用一个3×1的位置矢量来对笛卡尔坐标系中的点来进行定位。对于图2-1所示的直角坐标系{A}，空间中的任意一点或者位置可以用矢量来表示，其中，，，分别是P在坐标系{A}中的三个分量。我们称为位置矢量。

图2-1 相对于坐标系的矢量[5] 图2-2 物体位置和姿态的确定

（2）姿态描述
为了描述物体的姿态，可以由固定于此物体的坐标系描述。在图2-2中，{B}为固定在某一物体上的坐标系，我们可以利用坐标系{A}的三个主轴单位矢量来表示坐标系{B}：
(2-1)
其中：
上标A表示坐标系{A}，下标B表示坐标系{B}；表示坐标系{B}相对于坐标系{A}的表达；,,分别表示坐标系{A}的三个主轴单位矢量，它们两两正交，顺序排列即构成3×3的矩阵，我们称这个矩阵为旋转矩阵。易知：；且由两个单位矢量的点积可得两者之间夹角的余弦。

（3）坐标系描述
在机器人学中，我们将位置和姿态的组合称为坐标系。以4个矢量表示位姿信息。坐标系可以用相当于一个位置矢量和一个旋转矩阵来描述。例如：物体B与坐标系{B}相固接，我们通常将物体B的特征点作为坐标系{B}的原点，相对于参考坐标系{A}，可以用和来描述坐标系{B}：
(2-2)
其中，表示旋转矩阵,表示位置矢量。

2.1.2 坐标变换
变换是坐标系状态的变化。当空间的坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，会有如下变化形式：纯平移、绕一个轴的旋转、平移与旋转的复合。

（1）纯平移变换
纯平移变换是指坐标系（也可以表示一个物体）在空间以不变的姿态运动，它的方向单位矢量保持同一方向不变，所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化。设坐标系和具有相同的方位，但它们的坐标原点不重合，空间中有一点P，我们用表示点P相对于{B}的表示,表示点P相对于{A}的表示，用矢量表示相对于的位置，则可以由下式得出：
(2-3)
（2）绕轴纯旋转变换
旋转变换相对于平移变换，其变换保持坐标原点重合，但方位发生了变化。设坐标系和原点重合，但它们的方位不同。用旋转矩阵表示坐标系相对于的方位，则点P在坐标系和中的表示和有如下变换关系：
(2-4)
（3）复合变换
复合变换是则是前面两种变换的组合，任何复杂的变换都可以分解成按一定顺序的一组平移变换和旋转变换。设坐标系与原点不重合，方位也不相同，由前面两种变换关系可以得出一般方程如下
(2-5)
（4）齐次变换
考虑到复合变换式点是非齐次的，但可以等价的表示成齐次变换形式
(2-6)
其中，由一个4×4的矩阵算子乘以一个4×1的位置矢量得到。我们称式(2-6)中的4×4矩阵为齐次变换矩阵，同时可将式(2-6)简写为
(2-7)
其中，综合描述了平移和旋转变换。式(2-7)形式主要是便于公式推导，在计算机程序中一般不用它来进行矢量变换。

1. 平移齐次变换：
(2-8)
其中，表示平移变换，是纯平移向量相对于参考坐标系和轴的3个分量

2. 旋转齐次变换：
(2-9)
(2-10)
(2-11)
其中，表示旋转变换，表示cos，表示sin。

3. 复合齐次变换：

2.2 六自由度机械臂的建模与正运动学分析
2.2.1 机器人正运动学方程的D-H表示
在1955年，后人利用Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”发表的论文对机器人进行了表示和建模，并导出了运动方程。Denavit-Hartenberg(D-H)建模方法是根据机器人连杆和关节进行建模，这种建模方法简单通用，是表示机器人和对机器人运动进行建模的标准方法。它可用于表示在直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及RPY等坐标中的坐标变换，。另外，它也可以用于任何表示关节和连杆组合的机器人，如全旋转的链式机器人、SCARA机器人、Stanford机械臂等。C.R. Rocha, C.P. Tonetto, A. Dias等人比较了D-H运动学建模方法和基于螺旋理论的运动学建模方法，相比于D-H法建模，螺旋理论法对于整个链需要两个框架，而D-H法只需要一个框架；螺旋理论法坐标系可以随意选取而D-H法不能；螺旋理论法关节变量可能表示绝对位移等。相比于D-H法，螺旋理论法在运动学建模与分析也有一些优势，但没那么流行也没有一套标准化的公式方法[6]。
机器人一般由一些列关节和连杆按任意的顺序连接而成。为了对任意坐标系的机器人进行建模分析，我们需要给每个关节指定一个参考坐标系，确定从一个关节到下一个关节（一个坐标系到下一个坐标系）来进行变换的步骤。然后将基座到第一关节，第一关节到第二关节……第n-1关节到最后一个第n关节的所有变换结合起来，就可以得到机器人的总变换矩阵。
如图2-3所示，定义的连杆参数如下：表示绕关节n+1运动的轴；表示与之间的公垂线的长度（连杆长度）；表示绕轴由轴到轴所旋转的角度； 表示轴与轴之间的角度（扭角）；表示沿轴由轴到轴的距离。
图2-3[7]
假设现在的本地参考坐标系为，通过以下4步标准运动即可到达下一个本地参考坐标系。如图（2-4）所示。
图2-4
（1）绕轴旋转（如图2-4（b）所示），使与互相平行。因为和都垂直于轴，因此绕轴旋转可以使它们平行。
（2）沿轴平移距离，使得和共线（如图2-4（c）所示）。由于和已经平行并且垂直于，沿着移动则可使它们互相重叠。
（3）沿轴平移的距离，使得和的原点重合（如图2-4（d）和（e）所示），也令两个参考坐标系的原点重合。
（4）将轴绕轴旋转，使得轴与轴对准（如图2-4（f）所示）。现在坐标系和已经完全等同（如图2-4（g）所示）。坐标系的变换工作完成。
我们可以将两坐标系间的这些变换写成矩阵的形式，见式(2-12)

(2-12)
将各个连杆变换相乘，得
(2-13)
其中，表示末端连杆坐标系相对于基坐标系的描述。对于六自由度机械臂来说，就有6个A矩阵。

2.2.2 机械臂正运动学模型
以美国Pioneer公司生产的移动机械臂系统为研究对象。我们建立了如图2-5所示的Powercube机械臂的模型示意图[8]
图2-5 机械臂示意图
其中，符号“”和“⊙”分别表示方向为垂直纸面向里和垂直纸面向外，符号表示坐标系原点。为末端夹持器坐标系，其余为关节坐标系。图2-6所示为系统坐标系。
图2-6 系统坐标系
由图2-5以及D-H法我们可以分析出该机械臂的D-H参数表为
表1 PowerCube机械臂D-H参数表
坐标系

0
0

0

0

0
0

0

0

其中，，，，，
各关节的变换矩阵由公式（2-12）得：
，，， ， ， ，
。
为了简化书写，表示cos，表示sin。
总变换矩阵可以由式（2-13）得
(2-14)
由于矩阵结果较为复杂，在此先假设为
(2-15)
矩阵其中各项为：
(2-16)
(2-17)
(2-18)
(2-19)

(2-20)

(2-21)
(2-22)
(2-23)
(2-24)
(2-25)
(2-26)
(2-27)
其中ci表示，si表示。
2.3 逆运动学分析
2.3.1 逆运动学概述
对于机械臂的动作设计来说，我们真正关心的是逆运动学解。要让机械臂到达特定的位姿，我们需要确定各个关节的值。
不像式(2-12)那样有串联机械臂的正运动学方程通用的求解方法，串联机械臂的逆运动学问题在大多数情况下是很复杂的。求逆运动学解是在已知末端执行器相对于参考坐标系的位姿，如前面提到PowerCube机械臂的，试图求出各个关节的角度值，如。对于具有六自由度的机械臂来说，有12个方程，其中6个是未知的。这些方程是非线性超越方程，很难求解。我们在求解时需要考虑解的存在性、多重解性以及求解方法。
• 存在性：解是否存在的问题完全取决于机械臂的工作空间[5]。简单地说，工作空间是机械臂末端执行器所能到达的范围，解如果存在，则末端执行器就能到达这个工作区间。
• 多重解性：对于机械臂来说，到达一个指定位姿可能不止一种位形，而系统最终只能选择一个解，因此机械臂的多重解现象会产生一些问题。
• 解法：对于机械臂的可解性有如下定义：如果某种算法可以确定机械臂的位姿，即确定机械臂的各个关节角，那么机械臂可解[9]。机械臂的全部解法可以分为两类：封闭解和数值解法。
由于逆运动学问题的著名以及在工业上六自由度机械臂的实用性。众多学者做了大量的研究，利用不同的技巧包括数值和几何解法提出了不少逆运动学问题的解决方法。大多数的方法都聚焦于一个特定类型的串联机械臂，如具有交叉关节轴的机械臂。以下是应用逆运动学到兼具六自由度和六旋转关节机械臂的一些例子。Chen和Parker[32]使用逆运动学的数值解法来协助校准PUMA 560工业机械臂； Lloyd和Hayward [33]使用符号代数的方法为特殊配置的六自由度工业机械臂设计解决方案；Manseur和Doty {34}提出了提高解决六自由度机械臂逆运动学问题的高效算法； Pashkevich 实现了一个关于具有补偿枢轴的工业机械臂逆运动学的算法； Chapelle和Bidaud [36]对于PUMA 560和GMF Arc Mate六自由度工业机械臂模型，使用了解析法解决运动学问题。

2.3.2 逆运动学求解
现在我们给出机械臂的期望位姿为：
(2-28)
其中各个参数都是已知的。现在假设地上有一小球，我们要进行逆运动学分析算出各个关节角度，让机械臂达到小球位置。假定小球在机械臂的工作区间内。机械臂工作区间如下表所示：
表2 PowerCube机械臂的约束
关节
Min()
Max()
连杆
约束
1
160
-160
1
关节角工作范围
2
90
-110
2
碰到平台、自身
3
160
-160
3
关节角工作范围
4
120
-120
4
碰到平台、自身
5
120
-120
5
碰到平台、自身
6
360
-360
6
线缠绕(1080)

为了计算简便。我们这里假设关节角度3和5为0，即，。这样可以保证机械臂的夹持器垂直向下。
为了求解，选择左乘式（2-29）和式（2-14）得
(2-30)
等式左边矩阵为
(2-31)
由于等式右边矩阵较为复杂，仅列出与求解相关项，第三行第四列项为0。则由等式两端各项相等可得
(2-32)
假设小球坐标系和全局坐标系平行，则小球的位姿矩阵可以表示为
(2-33)
现在让，则由式(2-25)、(2-26)、(2-27)和矩阵中的对应各项的关系可以得到和的关系为：
且（保持夹持器垂直向下）。
此外，中的项对应了式(2-28)中的，由于，，式(2-28)可简化为：
(2-34)
其中表示
由和的关系和余弦二倍角公式可将式(2-33)化为：
(2-35)
则式(2-34)的判别式为
(2-36)
当时，即当时，式(2-35)方程无解，即机械臂无法达到此高度范围。当有解时，即时，求得方程解为：
(2-37)
对于地面上小球而言，，此时取。
中的项对应了式(2-16)中的，由于，，式(2-16)可简化为：
(2-38)
现在我们可以根据和的关系、已知的角求得
(2-39)
以上我们由给定位置的小球求得了相应的关节参数。由于逆解求法不唯一，且六自由度机械臂在相同位姿下可能存在多解性，如。因此我们需要选择一种在实际环境下对于机械臂的最优解（考虑功率、行程、受力、避障等情况）。

2.4 运动学仿真
2.4.1 构建机械臂对象
由于实物机械臂的昂贵性，操作不便性，以及体积庞大。本文中的大部分实验都采用Matlab仿真实现，利用仿真不仅能够很好地验证理论的正确性，也在对理论以及空间结构的理解上更为直观。借由计算机强大的计算能力以及Matlab提供的良好平台，本文选取Matlab Robotics Toolbox作为机械臂的仿真工具。
图2-7 PowerCube机械臂对象（初始位姿）以及滑块控制图
箱[10]。借助这个工具箱强大的函数库，机械臂的正逆运动学求解、轨迹规划的仿真、动作的仿真都有了很好的处理。本文参考了文献中的仿真工具的使用方法，对机械臂进行了仿真。首先我们要构建机械臂对象。由于机械臂是由多个连杆构成，依据前面的D-H表参数，我们可以通过Link函数构建各个关节，并通过这些关节构建出机械臂对象。如图2-7左图所示，为构建出的机械臂对象（初始位姿）。我们还可以根据图2-7右图所示的滑块控制图来调节相应关节变化，观察机械臂的运动情况。

Matlab构建机械臂代码如下：
d1 = 10; a1 = 12.5; d3 = 33.5; a4 = 18; d6 = 15; d7 = 5;
th1=0; th2=0; th3=0; th4=0; th5=0; th6=0; th7=0;
u1=-pi/2; u2=pi/2; u3=-pi/2; u4=0; u5=-pi/2; u6=pi; u7=0;
L1 = LINK([u1 a1 th1 d1 0],'standard');
L2 = LINK([u2 0 th2+pi/2 0 0],'standard');
L3 = LINK([u3 0 th3+pi d3 0],'standard');
L4 = LINK([u4 a4 th4-pi/2 0 0],'standard');
L5 = LINK([u5 0 th5+pi/2 0 0],'standard');
L6 = LINK([u6 0 th6 d6 0],'standard');
L7 = LINK([u7 0 th7 d7 0],'standard');
pb = robot({L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7});
pb.name = 'PowerCube机械臂';
drivebot(pb);

2.4.2 正运动学仿真
正运动学仿真主要用到fkine函数。给出各个关节角度值，使机械臂到达符合关节角度的位姿。fkine函数可以由给出各个关节角度值求出位姿矩阵。
这里我们假定各个关节角度值为[0 0 0 -pi/2 0 0 0]，即让第四关节旋转-90度。仿真部分代码如下
qs = [0 0 0 -pi/2 0 0 0]; % 期望位姿关节角
T = fkine(qs) %f正运动学解
仿真结果为
(2-40)
T矩阵即为给定关节下的位姿矩阵。

2.4.3 逆运动学仿真
现在假设小球的位姿矩阵为式(2-39)中的矩阵。我们来进行一次“逆推”，即由此矩阵逆解出小球到达此位姿的各个关节角度。
相应代码如下
R = 0:0.056:5;
qz = [0 0 0 0 0 0 0]; % 初始位姿关节角
T = [1 0 0 46; 0 1 0 0; 0 0 1 -18; 0 0 0 1]; % 期望位姿矩阵
qi = ikine(pb,Q) %逆运动学求解
q0 = jtraj(qz,qs,R); plot(pb,q0);
我们在其中进行了轨迹规划的动态演示。逆解结果qi为qi = [0 0 0 -pi/2 0 0 0]，和正运动学仿真中的qs相同。因为我们正是由正运动学解反过来求解逆运动学解，两者相等说明了仿真的正确性。
抓取小球的最终位姿如下

图2-8 抓取小球的位姿

2.5 本章小结
本章首先介绍了机械臂的建模所需的空间描述和变换等理论知识，在通过这些理论知识引出机械臂的D-H建模方法。并通过对PowerCube机械臂进行了正运动学建模，得出了关键性的D-H参数表，通过这个参数表，在仿真中构建了机械臂模型。在逆运动学分析中，本文提出了PowerCube机械臂的在特殊情况下的一种解法。采用了Robotics Toolbox工具箱对运动学进行仿真。对逆运动学中提到的抓取小球这个特例进行了正运动学和逆运动学求解。进一步验证了正逆运动学之间的关系和理论的正确性。

3. 机械臂的轨迹规划
3.1 轨迹规划概述
机器人轨迹规划是在机械臂运动学和动力学基础上，讨论在关节空间和笛卡尔空间中机器人运动的轨迹规划和轨迹生成的方法[11]。
所谓路径：是指为机器人构型的一个特定序列，而不考虑机器人构型的时间因素。所谓路径规划：是给出机器人和作业环境的具体描述，规定起始位姿和终止位姿，并且满足几何学和动力学约束的一条无碰撞的空间移动路径。机器人的路径规划主要有两种。一是基于模型和基于传感器的路径规划。基于模型的方法有：C2空间法、自由空间法、网格法、矢量场流的几何表示法。相应的搜索算法有启发式搜索算法、遗传算法等。二是全局路径规划和局部路径规划。局部路径规划主要解决机器人的定位和跟踪问题，主要方法