高考数学（理）全国版统编教材课件：第九章 直线、平面、简单几何体 第8讲 空间的距离.pdf

第九章直线、平面、简单几何体考 点 搜 索空间两点间的距离，点到直线的 距离，点到平面的距离，两条平行 直线间的距离，两条异面直线间的 距离，直线到与它平行的平面的距 离,两个平行平面间的距离高考猜想1.用几何法或向量法求点到平面 的距离是考查的重点.2.利用化归与转化的数学思想，融计算与证明于一体解决有关距离的 问题，是高考试题的基本走向.1.两点间的距离-连结两点的线段的长度.2.点到直线的距离从直线外一点向直线引 垂线，点与垂足的连线段的长度.3.点到平面的距离从点向平面引垂线，点与垂足的连线段 的 长度.4.平行直线间的距离从两条平行线中一条 上任意取一点向另一条直线引垂线，点与垂足的连线段的长度.5.异面直线间的距离两条异面直线的 公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度.6.直线与平面间的距离-如果一条直线和一个平面平行?从直线上任意一点向平面 引垂线，点与垂足的连线段的长度.7.两平行平面间的距离-夹在两个平面之间的公垂线段的长度.8.若线段48平面小则两端点力、6至U平面a的距离 相等若线段N 6的中 点在平面a内,则两端点4、6到平面a的M巨离.相等9.设24为平面G的一条斜线段,A为 斜足）为平面G的一个法向量,点P到平 面G的距离为力则/=_也不n10.如图,4B为异面直线的公垂线闫。=加/0=,。1)=/,4 。所成的角为4则48=m2 rl2干 3-A m CDL4BCD是边长为2的正方形，以RD为棱 把它折成直二面角Z-RD-C E是CD的中点，则异面直线ZE、BC的距离为（D A.收 B.6 C.乎 D.1解：易证CE是异面直线上与左C的公垂 线段，其长为所求.易得CE=L所以选D.2.在 中）AB=15.ZBCA=120）若4BC所在平面G外一点尸到4 B.C的距离 都是14，则尸到a的距离是（BA.13 B.11 C.9 D.7解：作于点O,连结。4、OB.OC.因为P4=PB=PC 所以 OA=OB=OC.所以。是/4B。的夕卜心.所以ON=5c.2 sin ZBCA 2 sin 120所以尸O=J/“=11，所以选B.题型1 求点到平面的距离1.已知正四棱柱48。）4昂。101的底面边长为L侧棱长为2,点石为的中占.案点与1到平面皮汨的距离.解法1:连结当刀则与所以与A 平面万刀及分别取6。、万pDi的中点以、1,D、GEC连结ME.MC.因为BDLMC,BDCC 所以，平面MNCC.所以平面由汨，平面MNC 且M石为它们的交线.过点、N作NHLME,垂足为则平面出汨，所以NH等于点A到平面5DE的距离.由已知可得M7V=2,MC=正，CE=L 仄而ME=JMC?+CE?=旦.在吊中,2NH=MNsin ZNMH=MNcos ZEMC=MN-2;巫ME 3.故点DI至I平面由历的距离是.2解法2:设点Di到平面6ED的距离为因为 VDi-BDE=VB-DDiE,BC上平面CC1D1D)所以 S/BDE,d=S/DDiEBC.取50的中点连结及区 则如/，万。由已知可得，BD=Ji，ME=1MC：2+CE?所以5,51汨=又 S/ODIE=-2a 2 2&=()212=2 厂2BD ME=&.2x2xl=L BC=1,所以也=L则公孚.2 3故点与1到平面6OE的距离是塔解法3:如图所示建立空间直角坐标系,则 5(1,1,0)1(0,1,1)01(0,0 iLn=(x,y,为平面 6DE的一个法向量.因为n_L DE,HJ-DB)t n DE=0 o f J+Z=所以，即 nnDB=0 x+=0取x=L贝力=L z=l.所以=(LL 1),所以力函=2,n=yi.所以点与i到平面6OE的距离n DDi|2c d n 3点评：求点到平面的距离，一般是先 找到点在平面内的射影，然后转化为求这 两点连线段的长度，利用解三角形知识可 求得.若用向量法来解，先求得平面的一个 法向量,然后求此点与平面内任意一点连 线的向量在法向量上的投影长度即为所求 的距离.如图，在四棱锥P-Z5CD中，底面4825M巨形，E4,平面48cAe4=40=4闫5=2.以ZC的中点。为球心、NC为直径的球面交PD 于点拉，交PC于点N.求点N1 平面NCM的距离.I解法1:在AME4c中，IPC=X/42+22+42=6.I因为AUG由鲁，得川9 所以 NC：PC=5:9.故N点到平面力CM的距离等于P点到 平面ZCM的距离的号.9依题设知，ZC是所作球面的直径，AMMC.又因为E4,平面4BCD,则 E4LCD,又 CD LAD)所以CD，平面PAD,则所以平面尸CD,所以 又E4=AD,则M是/少的中点.所以尸,D到平面ZCM的距离相等.易得ZM=2 JI且M到平面N6CD的距离为2,MC:1MD?+CD?=2m则=9力拉,）。=2,S AACD=4.lv J设刀到平面ZCM的距离为几由 J/DUCM=F/CD,即2。=&可求得=侦，所以所求点离为为=座.9 27解法2:如图所示，建立空间直角坐标系,则4(0,0,0)/(0,0,4)1(2,0,0),C(2,4,0)(0,4,0)(0,2,2),设平面/CM的一个法向量H=(X由，就,nLAM-可得2x+4y=02y+2N=0令z=l,则=(2厂11).由条件可得，ANLNC.在中，PA2=PNPC,所以PN4,3则NC=PCPN=叫,所以竺=9 3 PC 9所以所求距离等于点尸到平面ZCM的距离的1.设点P到平面N CM的距离为九则AAP n n2763，所以所求的距离为9 27题型2 求平行线面间的距离2.在长方体4861)-4昂。101中，48=2,AD=AA1=1,E、歹分别为48 CD的中 点，求直线4F到平面CDpE的距离.解法1:连结刀E,交/尸 点M在矩形4BCD中，因为 4B=2,4D=L E为4B的中点所以 CEJLDE 又 DD：LC 所以CE，平面与所以平面平面刀。且它们 的交线是AE过点/作肋 垂足为N,则平面CDi 所以初V的长即为点M到平面。）声的距离.由已知，DE=，DDL 所以DE辛又歹是CD的中已、7GC所以初是刀E的中点，2MN MF由,瓦VM二/EDD1，得丽7港，所以MN=M=Jl.C 6因为4F平面CDpE,所以点M到平面CDpE的距离 即为直线力歹到平面CDpE的距离.解法2:如图所示建立空间直角坐标系,则E(L 1,0),C(0,2,刀1(0,0,1),4(L 0,所以薪=(0,L 0),CE=(1,-1 0),CDX=(0 5 2 1).设H=(X,y,z)为平面CD1的法向量.由得3=。.取产1,n CDX-2j+z=0 贝k=L z=2.所以=(L L 2),所以ZE=L|川=痴.所以点Z到平面CDiE的距离=上巴=迈.n 6因为4F平面CDpE,所以点N到平面CDpE 的距离即为直线力/到平面CD1的距离.故直线N歹到平面CDpE的距离为逅.6点评：求平行线面间的距离，也就是转化为 求该线上某点到平面的距离，然后求得的 点面距离即为线面距离.在棱长为4的正方体4BCD4B1G刀1中，M.N、E,尸分别是4山口AtG5,当G的中点，面万DEb间的距离.解：如图所示建立空间直角坐标系，则石(0，2,4)，6(4，4,0),力(4，0 所以旗=(0,2,4),AB=(05 4)0).生正而/TV U正DB=(4,4)0)，设=(x,y,z)为平面BDEF的法向量.由已,n _L DB2+4N=04x+4y=0取y=2,则 x=-2,z=-1.所以=(2 2,-1),所以nAB=8,n=3.n AB所以点Z到平面由)E歹的丑巨离d=8故平面AMN与平面5OE尸间的距离为/.83青”参考题题型 异面直线间的距离1.四棱锥P-4BCD的底面是边长为4的 正方形，E4,底面4BCD,。/=小 龙异而 直线PC和Z5的笈巨离.解法1:分别取/7的中点N,连结网人C B XZ/4 MN.由已知可得 7/7/PAM/CBM,k_飞所以PM=CM,从而MNUc.连结ZC取/4C的中点及连结ME、NE,则放NE PA.因为4B16C,ABPA.所以48 1 ME,ABNL 从而48,平面MVE,所以AB，MN）所以版 异面直线PC和4万的公垂;因为上4,平面4BCD,所以八名，平面4BCD.在Ar/ME7V中,ME=-BC=-,NE=-PA=-.、_2/-2 2 2所以 MN=a.故异面直线PC和48的离是正.2解法2:如图所示建立空间直角坐标系.由已知可得，P(0,0,a),B(%0,0)C(m a,0),所以4=(0)尸AB=(d(h 0),PC=(a,a,)设九=(x,y,z)为异面直线尸C和45的公垂线的一个万回向重.，-A柱)J fi _L A B 彳 了 f x=0n _L PC x+ay-az=Q1取N=L 贝 y=l.所以=(0)L 1),仄而n方=%41 n=AP.因为向重在方向上的投影长J，叫 Ca=7,=an 2/T故异面直线PC和48的距离为史2题型 点到直线的距离2.在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为 次巨形，例棱R4,平面4BCD,AB=6 BC=L PA=2,E为PD的中点.过点E作平面7MC的垂线，交平面于点N,求点N到直线48和4P的距离.解法1:在平面4BCD 内过刀作ZC的垂线，交48于b，则NNZXF=6AB连结PF则在中加产=UA cos NADF 3AF=AD tan NADF=.3 因为DF，A3 DFPA.所以DE，平面R4c又因为NE，平面7MC 且点E在侧面245 内，所以NEDE!LN为P歹的中点.所以点N到48的距离为AP=,故点N到4P的距离为L尸=旦2 6解法2:如图所示建立空间直角坐标系,则4(0,0,0)，Bg 0,0),CG/L L 0),D(0,L 0),P(0)0,2),E(0 J,1).2 kZ由于点N在侧面218内，故可设点N的坐标为(长 0，0於、】1贝IJNE=($D 由NE，平面H1G 可得竺兰=0即 NE./C=Oa B xr-x,-,l-z)(0,0,2)=0262，1力(C/，0)=0z-1=0化简彳*屈+；=0,所以;I CX 二-6 1=1所以点N的坐标为（3，0,1.6从而点N到48,4P的距离分别为L理.61.求点到平面的距离大致有四种方法：一是直接法，即过这个点作平面的垂线，通 过解三角形求垂线段长.如果点在平面内的射 影位置能够确定在某条直线上，则用此法求 解较适宜；二是体积法，即翳点到平面的距 离看作是某个三棱锥的高，再由体积相等建 立方程求解.如果点在平面内的射影位置难以 确定，则可用此法求解；三是转移法)即过这个点找一条或作 一条与这个平面平行的直线，从而将这个 点到平面的距离转化为这条直线上另一个 点到平面的距离.也可以过这个点找一条或 作一条直线与这个平面相交,再在这条直 线上另取一点，那么这两个点与直线和平 面的交点的距离之比等于这两个点到平面 的距离之比；四是向量法，即利用点至I平面的距离 的向量公式求解,或求过这个点的平面的 垂线段对应向量的坐标，进而求模.2.求直线到与它平行平面的距离，关 键是在直线上找一个适当的点，将问题转 化为求点到平面的距离求两个平行平面的 距离也是如此.