概率论基础教程 参考答案.pdf

附录A部分习题答案第1章1.67 600 000;19 656 000 2.1296 4.24;4 5.144;18 6.2401 7.720;72;144;72 8.120;1260;34 650 9.27 720 10.40 320;10 080;1152;2880;384 11.720;72;144 12.24 300 000;17 100 720 13.190 14.2 598 960 16.42;94 17.604 800 18.600 19.896;1000;910 20.36;26 21.35 22.18 24.48 25.52!/(13!)4 27.27 720 28.65 536;2520 29.12 600;945 30.564 480 31.165;35 32.1287;14 112 33.220;572第2章9.74 10.0.4;0.1 11.70;2 12.0.5;0.32;149/198 13.20 000;12 000;11 000;68 000;10 000 14.1.057 15.0.0020;0.4226;0.0475;0.0211;0.000 24 17.9.109 47 x 10618.0.048;19.5/18 20.0.9052 22.(n+l)/2n 23.5/12 25.0.4 26.0.492 929 27.0.0888;0.2477;0.1243;0.2099 30.1/18;1/6;1/2 31.2/9;1/9 33.70/323 36.0.0045;0.0588 37.0.0833;0.5 38.4 39.0.48 40.1/64;21/64;36/64;6/64 41.0.5177 44.0.3;0.2;0.1 46.5 48.1.0604 x 10-3 49.0.4329 50.2.6084 x IO-6 52.0.091 45;0.4268 53.12/35 54.0.0511 55.0.2198;0.0343第3章1.1/3 2.1/6;1/5;1/4;1/3;1/2;1 3.0.339 5.6/91 6.1/2 7.2/3 8.1/29.7/11 10.0.22 11.1/17;1/33 12.0.504;0.3629 14.35/768;210/768 15.0.4848 16.0.9835 17.0.0792;0.264 18.0.331;0.383;0.286;48.62 19.44.29;41.1820.0.4;1/26 21.0.496;3/14;9/62 22.5/9;1/6;5/54 23.4/9;1/2 24.1/3;1/226.20/21;40/41 28.3/128;29/1536 29.0.0893 30.7/12;3/5 33.0.76,49/7634.27/31 35.0.62,10/19 36.1/2 37.1/3;1/5;1 38.12/37 39.46/185 40.3/13;5/13;5/52;15/52 41.43/459 42.34.48 43.4/9 45.1/11 48.2/3 50.17.5;38/165;17/33 51.0.65;56/65;8/65;1/65;14/35;12/35;9/35 52.0.11;16/89;12/27;3/5;9/25 55.9 57.(c)2/3 60.2/3;1/3;3/4 61.1/6;3/20 65.9/13;1/2 69.9;9;18;110;4;4;8;120 所有被 128 除 70.1/9;1/18 71.38/64;13/64;13/64 73.1/16;1/32;5/16;1/4;31/32 74.9/19 75.3/4;7/12 78.p2/(l-2p+2p2)79.2 附录A 部分习题答案0.5550 81.0.9530 83.0.5;0.6;0.8 84.9/19;6/19;4/19;7/15;53/165;7/33 89.97/142;15/26;33/102第4章1.p(4)=6/91;p=8/91;p(l)=32/91;p(0)=1/91;p(-l)=16/91;p(-2)=28/91 4.1/2;5/18;5/36;5/84;5/252;1/252;0;0;0;0 5.n-2z;z=0,n 6.p(3)=P(-3)=1/8;p=p(-l)=3/8 12.p=1/16;p=1/8;p(2)=1/16;p(0)=1/2;p(i)=p;p(0)=1 13.p(0)=0.28;0(500)=0.27;p(1000)=0.315;p(1500)=0.09;夕(2000)=0.045 14.p(0)=1/2;p(l)=1/6;p(2)=1/12;p(3)=1/20;p(4)=1/5 17.1/4;1/6;1/12;1/2 19.1/2;1/10;1/5;1/10;1/10 20.0.5918;否；-0.108 21.39.28;37 24.p=11/18;最大值=23/72 25.0.46,1.3 26.11/2;17/5 27.A/(p+1/10)28.3/5 31.p*32.11-10 x(O.9)10 33.3 35.-0.067;1.089 37.82.2;84.5 39.3/8 40.11/243 42.p21/2 45.3 50.1/10;1/10 51.e-0-2;1-1.2e-0-2 53.1 e06；1 e21918 56.253 57.0.5768;0.6070 59.0.3935;0.3033;0.0902 60.0.8886 61.0.4082 63.0.0821;0.2424 65.0.3935;0.2293;0.3935 66.2/(2n+1);2/(2口-2);e-1 67.2/n;(2n-3)/(n-l)2;e-2 68.(1-e-5)80 70.p+(1-p)e-xt 71.0.1500;0.1012 73.5.8125 74.32/243;4864/6561;160/729;160/729 78.18 x(17)九一1/(35)九 81.3/10;5/6;75/138 82.0.3439 83.1.5第5章2.3.5e-5/2 3.否；否 4.1/2 5.1-(0.01)1/5 6.4;0;oo 7.3/5;6/5 8.2 10.2/3;2/3 11.2/5 13.2/3;1/3 15.0.7977;0.6827;0.3695;0.9522;0.1587 16.(O.9938)10 18.22.66 19.(c)l/2;(d)l/4 20.0.9994;0.75;0.977 22.9.5;0.0019 23.0.9258;0.1762 26.0.0606;0.0525 28.0.8363 29.0.9993 32.e-1;e-1/2 34.e-1;1/3 38.3/5 40.1/y第6章2.(a)14/39;10/39;10/39;5/39(b)84/429;70/429;70/429;70/429;40/429;40/429;40/429;15/429 3.15/26;5/26;5/26;1/26 4.25/169;40/169;40/169;64/169 7.p(z,J)=p2(l 8.c=1/8;EX=0 9.(12/+6/)/7;15/56;0.8625;5/7;8/7 10.1/2;l-e-a 11.0.1458 12.39.3e-5 13.1/6;1/2 15.TI/4 16.n(l/2)n-1 17.1/3 18.7/9 19.1/2 21.2/5;2/5 22.否；1/3 23.1/2;2/3;1/20;1/18 25.e-1/28.l/2e-t;1-3e-2 29.0.0326 30.0.3372;0.2061 31.0.0829;0.3766 32.e-2;1-3e-2 35.5/13;8/13 36.1/6;5/6;1/4;3/4 41.(7/+l)2jre-：E(2/+1);xe-xy ex42.1/2+3g/(4)/(4/)46.(l-2cZ/L)3 47.0.79297 48.l-e-5Aa;(l-e-Aa)552.r/jt 53.r 56.(a)u/(y+l)2附录A 部分习题答案3第7章1.52.5/12 2.324;199.6 3.1/2;1/4;0 4.1/6;1/4;1/2 5.3/2 6.35 7.0.9;4.9;4.2 8.(1(10)N)/p 10.0.6;0 11.2(n-l)p(l-p)12.(3n2-n)/(4n-2);3n2/(4n-2)14.m/(l-p)15.1/2 18.4 21.0.9301;87.5755 22.14.7 23.147/110 26.n/(n+1);l/(n+1)29.437/35;12;4;123/35 31.175/6 33.14 34.20/19;360/361 35.21.2;18.929;49.214 36.-n/36 37.0 38.1/8 41.6;112/33 42.100/19;16 200/6137;10/19;3240/6137 45.1/2;0 47.l/(n-1)48.6;7;5.8192 49.6.06 50.2y2 51./4 53.12 54.8 56.(l-e-10/7V)57.12.5 63.-96/145 65.5.16 66.218 67.xl(2p-l)2n 69.1/2;1/16;2/8170.1/2;1/3 72.1/z;出+1)L；oo 73.国 1+cr2;是；6 79.Q.176;0.141第8章1.219/20 2.15/17;23/4;10 3.23 4.(4/3;0.8428 5.0.1416 6.0.94317.0.3085 8.0.6932 9.(327)2 10.117 11.20.057 13.0.0162;0.0003;0.2514;0.2514 14.n 23 16.0.013;0.018;0.691 18.&0.2 23.0.769;0.357;0.4267;0.1093;0.112 184第9章1.1/9;5/9 3.0.9735;0.9098;0.7358;0.5578 10.(b)l/6 14.2.585;0.5417;3.126715.5.5098附录B自检习题答案第1章1.(a)C,D,E,F这4个字母共有4!种不同的排序方法.对于每一种这样的排列，可将A,B 放在5个位置.即可把它们放在C,D,E,F字母的前面，或放在第2个位置，等等.但 A,B本身又可以以AB或BA的方式嵌入这5个位置，因此,一共有2 x 5 x 4!=240 种方法.另一种方法是想象B是粘在A的后面,这样一共有5!种方法，但也有可以 B粘在A的前面，这样也有5!种方法，故一共有2x5!=240种方法.(b)6个字母一共有6!=720种排列方式，其中有一半A在B前，一半A在B后，因 此,A在B之前的排列共有720/2=360种.(c)由于A,B,C三个字母的排列共有6种，因此,在720种全部排列中，有720/6=120 种排列为ABC这种顺序.(d)A在B之前的排列共有6!/2=360种，其中一半是C在D之前.因此,A在B前,C在D前的排列共有180种.(e)若将B粘于A的后面，C粘于D的后面，这样共有4!=24种方法.但由于A,B 的位置可以颠倒过来，即A可以粘于B的后面,类似，D可粘于C的后面.一共有 4种不同情况，因此共有4 x 24=96种排列.(f)E在最后共有5!种排列，因此，它不在最后共有6!-5!=600种排列.2.由于3个国家有3!种次序.而每个国家的人也有一个排序问题，因此,一共有3!4!3!3!种 排序法.3.(a)10 x 9 x 8=720(b)8x7x6+2x3x8x7=672若A,B都不入选，则共有8 x 7 x 6种选法.若只选A,没有B,则有3 x 8 x 7种 选法.故，A,B中只有一人入选,一共有2 x 3 x 8 x 7种选法.(c)8x7x6+3x2x8=384(d)3 x 9 x 8=216(e)9x8x7+9x8=5764(T)(犹)+(：)+R)0)5-(3,2,2)=2106.一共有Q)=35种位置的选择，每种选择可做成(26)3(10)4种牌子.因此，总共可做成35 X(26)3(10尸种不同的牌子.7.n个中选r个等价于n个中剔除(n-r)个.因此，等式两边经过计算是相等的.8.(a)10 x9x9-9=10 x 9n-1附录B 自检习题答案 5(b)9一 共有种位置选择，这种位置上放上0,而其余n-i个位置上可以 任意放 1,2,9./凿)(b)3g)(c)G)O=3n2(n-l)(d)n3(e)=3(；)+3*”1)+10.一共有9 x 8 x 7 x 6 x 5个数，其中没有两个数字是相同的.若容许某一指定数可重 复一次，则共有 Q x 8 x 7 x 6个数，因此，只容许有一个数可重复出现两次的一共 有9 x Q x 8 x 7 x 6个数.若在5位数中有两个数可重复，对于确定的两个数,一共 有7 x:个数.这样，一共有)7 x 个数,其中有两个数字重复一次.这样，总共9X8X7X6X5+9XAX8X7X6+(力7 x:1个5位数.11.(a)我们可以将这个问题看成一个7阶段的试验.首先从10对夫妇中选择6对夫妇，这 种选择的方法共有(弋)种方法.然后在选出的6对夫妇中的每一对选出1人，这 样一共选出6人.根据推广的计数法则可知，一共有型”种不同的选择方法.(b)首先从10对夫妻中选出6对夫妻，这种选法一共有(弋)种.然后，从中选择3对 夫妻，这3对夫妻中的男人就是选中的人员，这种选法一共有 Q 种选法.依据计 数法则可知，一共有()(；)=41；！种选择方法.另一种方法是，先从10个男 人中选出3个男人，然后从与这些男人无关的女人中选出3个女人.这样一共有(17)(3)=3!13!41种选择方法Q)+C)G)=343。上式左边第一项给出由3个女的和3个男的组成一个委员会的可能组成方式.第二项是 由4个女的和2个男的组成委员会的可能组成方式.13.3+4=4的解的组数)(/1+75=5的解的组数)3+g=6的解的组数)=ora14.总和为j的正向量共有个，因止匕，一共有灯个这样的向量.15.先假定有k个学生通过了考试,这样可有(小 组.由于每个组内各人成绩还有顺序，因此,由k个学生通过考试时，一共有仁)划种可能性.显然，总起来有ELo C)k!种可能的 结果.6 附录B 自检习题答案16.由4个数组成的集合个数为(?)=4845.其中不含前5个数的子集为(：)=1365.它的反面，即至少含有口,2,5)中一个数的组数有4845-1365=3480个.另一种 计算方法是I15)17.两边乘以2,得n(n 1)=k(k 1)+2k(n A:)+(n k)(n k 1)上式右边经过整理得k2(l 2+1)+k(l+2n n n+l)+n(n 1)作为组合解释，可考虑n个学生中，有k个女生.从n个学生中找出2个代表，一共有 种方法.若两个代表全由女生组成的话，一共有C)种组成方式.若由一男一女组 成的话，一共有k(n-k)种组成方法.若全由男生组成一共有,种方法.将这些 组合方法加起来，就是Q.18.有3种方法可从单亲且有一个孩子的家庭中选择；有3 x 1 x 2=6种方法可从单亲且 有二个孩子的家庭中选择；有5 x 2 x 1=10种方法可从有独生子的双亲家庭中选择；有 7 x 2 x 2=28种方法可从有二个孩子的双亲家庭中选择；有6x2x3=36种方法可从 有三个孩子的双亲家庭中选择.总起来，一共有80种可能的选择方法.19.首先选定三个位置放置数字，然后在相应的位置中放置数字或字母.这样一共有 0 x 26 x 25 x 24 x 23 x 22 x 10 x 9 x 8块牌子.如果三个数字必须放在连续的位置上，数字 的位置只有6种可能，这样一共可有6 x 26 x 25 x 24 x 23 x 22 x 10 x 9 x 8块牌子.第2章1.(a)2 x 3 x 4=24(b)2x3=6(c)3 x 4=12(d)A8=(c,面(c,米饭(c,土豆)(e)8(f)A8C=(c,米饭)2.记4为“买一套西服”，B为“买一件衬衫”，C为“买一条领带”，则P(A U B U C)=0.22+0.30+0.28-0.11-0.14-0.10+0.06=0.51(a)1-0.51=0.49(b)买两样以上的概率为P(AB U ACU BC)=0.11+0.14+0.10-0.06-0.06-0.06+0.06=0.23 因此正好买一样东西的概率为0.51-0.23=0.28.3.根据对称性，第14张牌可以是52张牌中的任意一张，因此相关概率为4/52.更形式的 说法是：52!个结果中，第14张牌为“A”(指红桃“A”，或方块“A”，)的概率为4 x 51 x 50-2 x 1 4=(52)!=52附录B 自检习题答案 7记事件4为“第1张 4 出现在第14张牌”，我们有P=.汽47瞥；312 7 52 x 51 x 40 x 394.记D为事件“最小温度为70”.则F(A UB)=P+P-F(AB)=0.7-P(AB)P(C UP)=F(C)+P(D)-P(CD)=0.2+P(D)-P(DC)利用事实，A U 8=。U O,4B=CD,将上述两式相减得：0=0.5-P(D)或 P(D)=0.5.5.z x 52 x 48 x 44 x 40 八 0iZ1 x 52 x 39 x 26 x 13 八3)52 x 51 x 50 x 49=。例位 52 x 51 x 50 x 49=。由6.记R为“两球均为红球”的事件，B为“两球均为黑球”的事件，则P(R UB)=P(R)+P(B)=：i)i/6 x 10 6 x 10 27.(a)1/Q=1.3 x 10-8(b)/(1)=3.3 x 10-6(：)(*)/(弋)+L3 X 10-8+3.3 x 10-6=18 x 10-4&3)3；：；3=。.9/(一)眦。(c)(：)/C：)=0Q6994 J9.令s=UL1 4,考虑随机地从s种选一元素，则P=N(A)/N(S),有关结果可从命题4.3和4.4得至J.10.当1号马的名次确定的情况下，一共有5!=120种可能排名.因此N=360,类似 地,N(B)=120,N(AB)=2 x 4!=48.由自检习题 9,我们得 N(A U 8)=432.11.一种办法是先计算它的补事件：至少有一种花色在这一副牌中不出现.记4表示“牌中 没有花色产，=1,2,3,4.则4P(U4)=P(4)-p(44)+-。人人人)i=l i j i:ii i ji由下面的恒等式看出两种方法得到的结果是相同的：n n1;小夕,二小巧:优+小小:f-zffp包 i=l j=l i j i i j/l i i jt附录B 自检习题答案 1316.记E=4比8得到更多正面朝上,=几次掷硬币后，4的正面朝上次数比8的正面朝上次数多,Bw=几次掷硬币后，8的正面朝上次数比A的正面朝上次数多,Ae=S次掷硬币后，4的正面朝上次数与8的正面朝上次数相同,则P(E)=P(EAW)P(AW)+P(EBW)P(BW)+F(E|Ae)F(Ae)=1 x F(AW)+0 x F(BW)+；P(Ae)=P(AW)+Jp(Ae)由于 P(AW)=F(BW).由等式 1=F(Aw)+F(Bw)+F(Ae)得 F(AW)=；-；。(乙).由此可知，P(E)=F(AW)+:P(4)=:-/人)+:P(4)=:17.(a)不真.在掷两个骰子的游戏中，记E=和为7点,F=第一次掷的结果不是4,G=第二次不是3.可以验证，区F相互独立，E,G相互独立，但尸仔防1(1巴和为7，但没有4,3 5/36 _ 5口石尸口一。没有4,3 35/36 35壬初P(E(F U G)=P(EF U FG)=P(EF)+P(EG)因为EFG=0=P(E)P(尸)+P(G)=P(E)P(F UG)FG=(i(c)P(GEF)=生髭)=。*鲁 由于E与尸G相互独立ryn/r)ryn/r J=P(P(E)P(F)G)由独立性假设=P(G)18.(a)一定不对.若它们互不相容，则0=1(48)*F(A)P(B).(b)一定不对.若它们相互独立，则F(AB)=F(A)x F(B)0.(c)一定不对.若它们互不相容，则P(A UB)=P+F(B)=1.2.(d)可能正确.19.(a),(b),(c)三个概率分别为 0.5,(0.8)3=0.512,(0.9)7 x 0.4783.20.记Di=1,2)为第i个收音机是坏的.又令4(8)表示“这批收音机是由工厂A(工厂 B)生产的”.p(n2|i?i)=P。)P(D1D2A)P(A)+P(D1D2B)P(B)P(D1iA)P(A)+P(D1B)P(B)0.052 x 1/2+0.012 x 1/2 _ 130.05 x 1/2+0.01 x 1/2=30014 附录B 自检习题答案21.P(A|B)=1 即0(48)=P(B),而 P(BCAC)=1 即 P(ACBC)=F(AC).因此,为证明 本题，只需由F(AB)=F(B)=P(ACBC)=F(AC).这可由下式推得：F(BCAC)=F(A U B)c)=1-F(A U B)=1-P-P+F(AB)=1-F(A)=F(AC)22.当口=0时，结论显然成立.记4表示“经过n步以后，在坛子内有i个红球”，依归纳 法假设P（4）：1 i=1,n+1n+1用均表示“经过n+1步以后坛子里有j个红球”这一事件，则n+1 n+1p(耳)=E=n E P(约 14)i=l i=l=几;jp(鸟)+P(坊 A)经过n步以后，坛子内一共有九十 2个球.P（耳表示坛子中有n十2个球，其中j-1个红球，从中随机地取出的是一个红球的概率,这样1步以后，坛子内就有z个红球，显然p(耳|41)=J-171+2而相应的P（耳|4）表示在抽球之前坛子内有/个红球,n+2-J个蓝球,而取出的是一个蓝球的概率，这样将这些概率代入P（Bj）的公式，得n+2-J71+2按归纳法，完成了证明.23.记4为“第i个人宣称拿到了 Z,则。=一，丁）/M）=Tn 12n-13n-l4n 2xAM2表示“第一个人只能从2张4中选一张，从加-2张非，A，中选-1张”.这 样，因此，小）=二；可以将分牌的结果看成两次试验，试验2成功表示第Z张“A”给了第一个玩牌者，当n充分大时,这两个试验就相互独立,成功的概率为1/2,这样，问题变成了两次试验至少有 一次成功的条件下，求两次都成功的概率（=1/3）,因此，n充分大时，可用例2b那样的 伯努利试验来逼近.附录B 自检习题答案 1524.(a)设几次收集到的优惠券的顺序为，1,必心，其相应的概率为=鼠加 因此，n次收集到n种不同的优惠券的概率为niYILiPi-(b)设足，上各不相同,则P回EG=O此处及1，表示没有21,类型的优惠券，在n次收集优惠券，每次都没 有收集到加，区而各次收集优惠券又相互独立，因此P(瓦1瓦九)有上述表达 式.现在利用事件和的概率公式得到网0年)=亡5飞)(丁)i=l k=l由于1-表示几种优惠券都收集到的概率，由3)知这个数等于n/nn,将这个值代入P(ULi)的展开式中，得到i-：；=E(-)fc+ir;Tfc=1或加=暧-(-1尸C)(火 fc=i或n加=(-1叱)(”4 k=025.记 A=EF。,B=FEC,。=E n 死则 A,B,C 互不相容，且EUF=AUBUCE=AUC F=BUCP(E|石 UR)=P(En(EUF)=P(4)P()11 J一 F(EUF)-F(A)+F(B)+F(C)P(E|F)=P(EF)=PI 1)P(F)F(B)+F(C)由上式看,P(E|E UF)P(EF)是显然的.第4章1.由于概率之和为1,我们利用这个条件得4PX=3+0.5 1从而 PX=0=0.375,PX=3=0.125,故 EX=1 x 0.3+2 x 0.2+3 x 0.125=1.075.16 附录B 自检习题答案2.利用题中的关系，得g=dpo,i=1,2,其中Pi=PX=仆.由于这些概率之和为1,得夕。(1+C+C?)=1 今夕=J 十；十因此，c+2r2 EX=-J023.令X为掷硬币的次数，X的分布列为22=/+(1 P)2 夕3=1 一22=2P(1 p)因此，EX-2P2+3P3=2P2+3(1 p2)=3 p2 (1 p)24.随机地选定一个家庭，而这个家庭有i个儿童的概率为m/m,因此rEX=ini/m i=l由于有2个儿童的家庭总数为电,因此这些儿童的总数为电，抽到的儿童来自这样的家庭的概率为，电/期.因此，力2电石丫=冒 irii 2=1因此，我们必须证明 i2m imi=l i=lr/r im THi=l i=l上式等价于r r r r ni工产期加。mj=l i=l。=1 j=lr r v r-EEi2TliTlj 旺 ijriirij i=l j=l z=l j=l对于固定的左边和式nxn3的系数为z2+;2,右边和式电电系数为2ij,所以上式 等价于产+广22ij而这个不等式是明显的.11.也可这样解.若令Pi=,则上式等价于(3)(i2Pi)(E ipi2.而这个不等式是显然 的.译者注附录B 自检习题答案 175.记p=PX=1,则 EX=p,Var(X)=p(l 0，由问题条件知P=3p(l-p)解此方程得夕=2/3.因此PX=0)=1/3.6.假定你押上X,而赢X的概率为a输力的概率为1 p.此时，你赢钱的期望为xp rc(l p)=(2p l)x当夕1/2时，这个值为正，当p 1/2,这个值为负.若告诉你正面朝上的概率为0.6,则你应该押10元(最大容许的押宝的值)若告诉你是0.3,则你应该押0元，这样你期望 的利润为2 x(1.2 1)x 10+2 X。C=1-C其中C为信息费.若没有这个信息，则你的期望的所得为；(2 x 0.6 l)x+；(2 x 0.3 l)x=，x 0.2+；x(0.4)x=O.lx因此，在没有信息的情况下，你应该押0元，使损失最小.比较这两种赌博方式可看出，只 要。力因此，你应该转向蓝纸，而期望得到更多.(b)设慈善家写的数为名(写在红纸上)，则在蓝纸上写上2力或x/2,注意若y 7/2,此 时蓝纸上写的数字总是比y大，因此按规定接受了蓝纸上提供的数字，即2/或力2.ERy(x)=5/4 x/22y如果x/2y2x,此时，如果蓝纸上，写的是2名，你就接受2名；若蓝纸上写上x/2,你就转向红纸，此时，你得到的是ERy(x)=2/(1/2)+/(1/2)=3x/2 x/2y 2x最后，若2xy,此时蓝纸上的数被拒绝，你的收入为Ry=x 2x y对于y值，期望收入为x x 夕/2ERy(a?)=37/2。/24x n z=1 FBin(n,1 p)n i 1上面最后一个等式是利用事件和它的对立事件的概率之间的关系.9.由 EX=np,Var(X)=np(l p).通过 np-6,np(l p)=2.4,解得 p 0.6,n-10,故PX=5=(2)(06)5(0.4)510.令X。为第5次取出的球的号码，则PX4k=PXr 0=EX/PX 0=_i=l16.(a)1/n(b)记D表示女生i和女生j选择不同的男生，此时我们有P(G0)=P(G&P(。)+P(GG|OC)P(O。)=P(GG/|O)P(O)+0(P(GG/1。)=0)由于P()=选择同一男生n=选择同一男生储=p3,同时选上男生1=n x冗2=nfc=l这样，P)&(-XT-/因此 P(GiGj)=PGiG/P(Gj)=(n-l)/n2.(c)(d)当n充分大时,P(GiGj)很小，并且与P(Gi)很接近.由此可知形成夫妇的对数 近似于泊松分布，均值为ELi PGJ=1.从而，Poe-Pk X e/kl.为求给定k个女生都被配成夫妇的概率，利用条件概率计算.记D为“这k个女生 找到不同的男生”.P(G GQ=P(G.CM”。)I T r)(7-)(1、A 1),(n A:+1)?i!GM”=(J 标=仇i)!科因此，V P(G,GQ=(?)0(&GQ=/7M/n!n!7M7,2fc、卜=PX=i=i=n i=nn+m1Mm 1 i.N+M.、n+m 1附录B 自检习题答案 2124.由于每个球以相同的概率Pi,并且相互独立地进入坛子z,X,的分布是参数n=10,p=Pi 的二项分布.同样的理由可知，Xt+Xj的分布是参数n=10,p=Pi+Pj的二项分布.同样的理由可知，X1+X2+X3的分布是参数口=10,P=01+P2+23的二项分布，故PX1+X2+X3=7=+02+夕3)7(2 4+P5)325.如果第i个人拿到自己的帽子，则记X、=1,否则记X。=0.这样x=x。i=l是拿到自己帽子的人数.等式两边求期望得到 n n n nEX石 Xi 2 2 PX,=1=2 l/71=1i=l i=l i=l i=l倒成第二个等式是利用事实：第5个人以相等的概率拿到任何一个帽子，因此他拿到自己 帽子的概率为1/n利用式(9.1),得到EX2=Eg+EKX,i=l 2=1 j/i对于i*j,EXiXj=PXi=1,Xj=1=PXi=lPXj=1|X=1=：X J 因此，nEX2=1+匕士小T)=l+n(n-l)1 1、=2 n(n 1)这样Var(X)=2-l2=1第5章i.设x是玩球的时间(分)(a)PX 15=1-PX 15=1 5 x 0.025=0.875(b)F20 X 35=10 x 0.05+5 x 0.025=0.625(c)PX 36=4 x 0.025=0.122 附录B 自检习题答案2.(a)1=J；cxn da?=c/(n+1)c=n+1(b)PX吗=5+1)/九 de=xn+1l=1-xn+13.首先由下式确定。的值1=/cx4dx 32c/5 今 c=5/32Jo(a)EX=d 击=)祟=5/3J/o(b)EX2=：/；力6 d力=：1：=20/7 令 Var(X)=20/7 (5/3产=5/634.由1=/(。力+kt:2)de=a/2+b/3Jo0.6=/(ax2+bx3)dx=a/3+5/4Jo我彳门得至U a=3.6,b=2.4.因此，(a)PX 1/2=JQ/2(3.6X-2.4x2)dx=(1.8/-0.8aj3)|J/2=0.35(b)EX2=f0(3.6x3-2.4x4)dx=0.42 今 Var(X)=0.065.对于i=1,，nPX=i=FInt(nL7)=i-1=Pi-1 nU i=PP-1 2 1=1/nI n n)(式中nU表示nU的整数部分.)6.如果你的竞价为x,70 x 0.1=9/10(b)PU 0.2U 0.1=PU 0.2/PU 0.1=8/9(c)PU 0.3U 0.2,U 0.1=PU 0.3/PU 0.2=7/8(d)PU 0.3=7/10将(a),(b),(c)所得的概率相乘得到(d)的概率.8.记X为测试数据，令Z=(X-100)/15,注意Z是标准正态随机变量.(a)PX 125=PZ 25/15 x 0.0478(b)F90 X 110=F-10/15 Z 10/15)=PZ 2/3-PZ -2/3=PZ 2/3-1-PZ .4。=0.05其中Z为标准正态随机变量.但是PZ 1.645=0.05因此 C丁 一 407=1.645 或 1=51.515这样，你应该在12点过8.485分以前动身.10.令X为轮胎的寿命(单位：1000英里)，令Z=(X-34)/4,则Z为标准正态随机变量.(a)PX 40=PZ 1.5.0.0668(b)F30 X 35=P-1 Z 0.25=PZ 1 0.44PX 40|X 30=PX 40/PX 30=PZ 1.5/FZ -1 x 0.07911.令X为下一年的雨量，记Z=(X 40.2)/8.4(a)PX 44=PZ 3.8/8.4仁 PZ 0.4524 y 0.3255(b)Q(0.3255)3(0.6745)412.记M2为样本中每年至少有收入z(单位：千元)的男人数.需 为相应的女人数，令Z为 标准正态随机变量.(a)PW25270=PW25269.5_ r W25-200 x 0.3469.5-200 x 0.34-t,200 x 0.34 x 0.66/200 x 0.34 x 0.66，仁 PZ20.2239七 0.4114(b)FM25 0 120=PM25 120.5_ r M25-200 x 0.587 120.5-200 x 0.587 -i,200 x 0.587 x 0.413、,200 x 0.587 x 0.413，u PZ 0.44522 0.6719(c)PM202150=PM202149.5_ r M20-200 x 0.745 0.0811忆 0.467724 附录B 自检习题答案(PW202100=Fw299.5_ r W20-200 x 0.534 99.5-200 x 0.534 一 t，200 x 0.534 x 0.466/，200 x 0.534 x 0.4661 PZ2-1.0348仁 0.8496因此,PM202150PW202100 X 0.3974.13.由于指数分布是无记忆的，其结果为e-4生14.(a)e-22=e-4(b)F _Jl)=eT_e-9(c)人=2力e/e”=2t(d)令Z为标准正态随机变量，利用恒等式EX=PX 吗de,得到EX=e-x2 dx=2T父/e2/2 dy=21/2y/2nPZ 0=，冗/2 Jo Jo(e)利用理论习题5,得到r0 2 2=/2xe x dx=e X|Q0=1Jo因此,Var(X)=l-jt/4.15.(a)PX6=expX)d力=er-(b)PX 6=1 _ PX 8|X 6=1-PX 8/PX 6=l-e-5-65/e-3-45 0.889216.对于力20F1/X(x)=Pl/X ”=PX W 0+PX21/4=1/2+1-取(1/优)上式求导，得力产=日2/x(l/,)=谟兀(1 J(i/,)2)=k对于7 0=PX n/36而X是二项随机变量，参数为n,p=1/38.附录B 自检习题答案 25(a)当口=34,p=PX234/36=PX 0.5(连续性修正)_ r X _ 34/38 0.5-34/38-t，34 x 1/38 x 37/38，34 x 1/38 x 37/38=p(X-34/38一 I，34 x 1/38 x 37/38-0.4229 k$(0.4229)x 0.6638通过34次赌博，如果你能赢一次以上的话，你就会赢.准确概率为1-(37/38尸4=0.5961.(b)当 n=1000,PX27.5=k/X-1。/38 27.5-1000/38yiOOO x 1/38 x 37/38，1000 x 1/38 x 37/38x 1-$(0.2339)x 0.4075准确概率为0.3961.(c)当n=100000,PX2777.5=/X-1。/38 2777.5-100 000/38A/100 000 x 1/38 x 37/38，100 000 x 1/38 x 37/38 1-(2.883)7 0.0020准确概率为0.0021.18.设X表示电池的寿命.所求的概率为PXs+tX t,故PX stX t=PX s-t.X t _ PX s+tPX tPX o_ PXs+力|类型1电池+PX s+力|类型2电池02 PX 力|类型1电池小+PX 力|类型2电池22_ e-A1(s+f)pi+e-A2(s+i)p2e-x1tp1+ef 2tp2另一个方法是以电池类型为条件，然后利用指数分布无记忆性，PX s+tXt=PXs+4X力类型