第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析.pdf

第七章一阶电路和 二阶电路的时域分析重点1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；2.一阶电路和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；3.稳态分量、暂态分量求解；4.一阶电路和二阶电路的阶跃响应和冲激响应。下页7.1动态电路的方程及其初始条件1.动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历-个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例电阻电路+uA-i=Us/R2 i=Us/(R1+R2)与o电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uc=0K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态过渡状态K未动作前，电路处于稳定状态电感电路/=0,w=0K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路uL=0,i=Us/R.稳定状】新的稳定状态-t 过渡状态（,一 00）K未动作前，电路处于稳定状态a 士LuL=0,i=Us/RK断开瞬间i=0,w=oc注意工程实际中的 过电压过电流现象换路 电路结构、状态发生变化,支路接入或断开电路参数变化过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件L、C,电路在换路时能量发 生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。A 切 A，n 0=8P二过渡过程产生的必要条件：(1)电路中含有储能元件(内因)(2)电路发生换路(外因)2.动态电路的方程0)应用KVL和电容的VCR得：u(t)_LsRi+uc=us(t)i=C%L dt _.du-RC-+uc=us(t)at若以电流为变量：Ri+jidt=us(t)_di i du AtR-1=dt C dt应用KVL和电感的VCR得：_./、.diRI+UL=us(t)uL=.Ri+L-=us(t)(t)0)r 二 +1K JL若以电感电压为变量：J uLdt+uL=us(t)源阻路 有电电Ri+uL+uc=us(t)+diic di(i C-iij L(t)ldt dt.0)R+Ic+_Gcdu。/、c-LC/+AC-+u=式 f)dt2 dt c s若以电流为变量：Ri+L+idt=u,(t)dt CJ diR dt2.dt21.dus(Z)+Cl dt结论：(1)描述动态电路的电路方程为微分方程；(2)动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数;一阶电路一阶电路中只有一个动态元件，描述 电路的方程是一阶线性微分方程。dxa】-F ox=e(t)Z 0dt二阶电路二阶电路中有二个动态元件，描述电 路的方程是二阶线性微分方程。d2x dx/、八a2-+%+aox=e(t)0dt dt高阶电路 电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。dnx dn lx dx/、八a”-+an i-+v a.+a.x=e(t)0n dtn i dt 0 00+。)=理加)r0初始条件为，=0+时，i及其各阶导数的值例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压U。，求开关闭合后电容电压随时间的变化。q解 Ri+uc=0(/0).IJ M._du II I-RC+u=Q idt c-特征根方程：RCp+l=Q-p=-l/RC得通解：Uc(t)=kept=ke t代入初始条件得：k=Uo-uc(t)=Uoe说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确 定解答的必需条件。电容的初始条件|%=万;G dt=o+时刻=/+m：鸡)尤=%(o)+：J【G)/%(0+)=%(0)+1O迎当三）为有限值时c(0+)=c(0)q=cucq(0+)=q(0)结 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，论 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。L电感的初始条件 乙）二江（泗1 ft=乙（0）+小喈）药 1档ijo+=ijo +1仁t=0+时刻当为有限值时yj-Li4(o+)=4(0-)H/T(0+)=H/T(0_)结 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，论 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。(4)换路定律%(0+)=心(0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值,wc(O+)=i/c(O)“WL(0+尸 L(0一)以0+户必0-)注意：则电容电压(电荷)换路前后保持不变。换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流(磁链)换路前后保持不变。(1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。(2)换路定律反映了能量不能跃变。(3)换路定则仅用于换路瞬间来确定过渡过程中和乙的初 始值。(4)c(0+)和乙(0+)称为独立的初始条件，其余的成为 非独立的初始条件。5.电路初始值的确定(1)由0电路求c(0-)或以0-)例1|t=0时打开开关k,求看0+).UOk,40k|1OV kT迎+电容开路c(0一)=8V(2)由换路定律+0+等效电路i注意：电压、电流的舄族电容用电 压源替代c(O+)=c(0_)=8V(3)由0+等效电路求心(0+)Qi(0+)=-=0.2mA八 10I 飞0二)=0飞。+)思考：换路时，电容电流、电感电压、电阻电流及电压有无跳变？求犯(0+)解 先求|(0)例2，=0时闭合开关k(0)=里=24八 1+4)=0.W)=0由换路定律：以0+尸必0一)=2A%(0+)=2x4=8P求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求0-和，（）一）；2.由换路定律得WJO+和乙 0+。3.画0+等效电路。换路后的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。（取0+时刻值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同）。4.由0+电路求所需各变量的0+值。例3 求dO+),肛(0+)解 由0-电路得:0+)=0一)=心0+电路c(0+)=c(0一)=&s由0+电路得：小0+)=4一等=0A犯(0+尸-Ris例4 求K闭合瞬间各支路电流和电感电压20 解 由0一电路得:由0+电路得:乙(0+)=乙(0)=48/4=124%(0一)=%(0+)=2x12=24V，c(0+)=(48-24)/3=8440+)=12+8=204JO+)=48 2x12=24P思考：图（a 电路中的开关闭合已久，上0 时断开开关，试求开关转换前和转后瞬间的 电容电压和电容电流。解：图（a 电路，t=0-时，电容电压为恒定值,电容电流为0,电容相当于开路。用分压公式得“c（。+）=3）=xlO=-xlO=5VR+R2 2益阻&和4的电流%(0-)=/2(0-)=10/2=5A开关断开后如图（b。电压源对电容不再起 作用，由于Q0时刻电容电流有界，电容电压不能跃变，由此得 uc 0+）=忆（一）=5V此时电容电流与电阻4的电流相同，可得 五（。+）=72（0+=-：=-5A电容电流由“（0O=0A变化到正（0。=-5人。电 阻&的电流由.（0-=5A变化到4 0+=0A7.2 一阶电路的零输入响应零输入响应 一换路后外加激励为零，仅由动态元件初-始储能所产生的电压和电流。1.AC电路的零输入响应已知 UC Q=UQCK（片 0 dtuR=Ri一A+%=0C RC+c=0J dt c1 c（O+=。特征方程RCp+l=Q 特征根 1则 uc=Ae=A J 正p=-RCuc-Ae RC 代入初始值 c(O+)=c(。)=4uc=UQe RC t0 的。或 i=c/=-CU.e(_-)=4 J 以 dt RC R从以上各式可以得出：(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;令X=RC,称T为一阶电路的时间常数H=RC=欧I法=m=欧拿秒T=RCRCT时间常数r的大小反映了电路过渡过程时间的长短工大一过渡过程时间长2小一过渡过程时间短物理含义 电压初值一定:C大（A一定）W=Cu2/2 储能大放电时间长A大（C一定）i=u/R 放电电流小，0 7 27 37 5 工4 Uo-1 U0e-2 ue-3 u。/4 0.368 4 0.135 4 0.05 t/0 0.007 C/o：电容电压衰减到原来电压 所需的时间。工程上认为，经过3L5看过渡过程结束。(3)能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.c=FcR设40+尸4电容放出能量:-cul2电阻吸收(消耗)能量:f 8),00 U cWR=J i2Rdt=Jo(RC y Rdt 二勺二魏上一鼻嘘R Jo R 2例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输 合入响应问题，有：2。丁t 5 三 3Q|I一 c uc 6QI出 0-/代入 Uo=24P=RC=5x4=20suc-24e 20 V 0 tii=c14-6e 20T42 _L i _L分流得：3=h=4。2。4 i3=-i1=2e 20A等效电路t02.RL电路的零输入响应i(0)=/(0)=-=/0 1V1+IVL+Ri=O Z 0 dt特征方程Lp+R=OR特征根 P=-yi(t)=Aept代入初始值/(0+)=70-A=i(0+)=/0R得 1(0=二4 JX t 0乙=/一r0从以上式子可以得出:(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数;如o(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与有关;T=L/R令T=L/R,称为一阶RL电路时间常数r 1 ri r亨i r韦i r伏秒i r孙ir 卜 A=诙11=W=l的-1-1TIR7时间常数r的大小反映了电路过渡过程时间的长短工大一过渡过程时间长 7小一过渡过程时间短物理含义 电流初值i(0)一定：L大 W=Li2/2起始能量大K小P=Ri?放电过程消耗能量小放电慢T大(3)能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设必0+)=/。电感放出能量：-电阻吸收(消耗)能量：*it r/j?2z 1 了-2=/温e)lo=2/例1Q0时，打开开关K,求产 电压表量程：50V1OViL 产 10k。解 4(0+)=/(0)=IAA=10QRv=10M1 tlzZ=4H，L=e 4+10000tQ=4x10%uv=-RviL=-lOOOOe 2500z t 01M0+尸loooov造成0损坏。现象：电压表坏了求电感电压和电流。例2片0时，开关K由1一2,以0+)=乙(0一)24 6=-x-=2 A4+2+3/6 3+6A=3+(2+4)6=6QL 6，T-=1SR 6上演=12/v 0L dt小结1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应，都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。AC电路 c（+）=c（）电电路以0+户30一）2.衰减快慢取决于时间常数7AC电路 T=RC 5 AE电路 T=LIR衣为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。tM=J（0+e 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。零状态响应7.3 一阶电路的零状态响应动态元件初始能量为零，由，0电路 中外加输入激励作用所产生的响应。1.AC电路的零状态响应 列方程:兴=0 ；7-uC 0一）=0解答形式为：U=cRC-F uc Usdt非齐次线性常微分方程齐次方程通解0,，uc+uc齐方特群 非次程南U，一特解（强制分量，稳态分量）RC+uc=Us的特解Atuc=Us与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解通解（自由分量，暂态分量）tAC%+0 的通解 一 urc=Ae RCdt变化规律由电路参数和结构决定全解|c（，）=+=Us+Ae RC由初始条件c（o+）=o定积分常数 Ac 0+=A+q=0 A=usuc=Us-Use=Us(l-e)(0)从以上式子可以得出：i=dt R 1 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：+暂态分量（自由分量）稳态分量（强制分量）(2)响应变化的快慢，由时间常数T=RC决定；T大，充电 慢，T小充电就快。(3)响应与外加激励成线性关系；I+T C(4)能量关系 仆*三91电容储存：CU弋-2 5电源提供能量：J；Usid，=Us0=C仆电阻消耗 reRat=r(e)2Rdt=：。大Jo Jo A 2电源提供的能量一半消耗在电阻上,一半转换成电场能量储存在电容中。例 片0时，开关K闭合，已知c（。一）=。，求（1）电容电压和电流，（2 c=80V时的充电时间t。解（1 这是一个RC电路零状 态响应问题，有：一 AC=500 x10 =5x10二 j+clOOVlOptF 5000=q(l 正)=100(le 2t)V(Z0)i=Cducdt=0.2e200tA(2)设经过&秒，c=80V80=100(1-e 200tl)-h=8.045ms2.RL电路的零状态响应已知(0-尸0,电路方程为：L-+RiL=Us dt L,乙=*+小 iJ0+)=0f A=今 JvUs TL=(1-e)Ad/4uL=L =Use L dtR 例1 片0时，开关K打开，求t0后忆、L的及电流源的端电压。50 10Q这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有:=10+10=200%=2x10=20/T=L/R=2/20=Q.1S110ig=Us/Req=Adi劭9)=%=20eu=5，s+10i+uL=20+lOeV-iot7.4 一阶电路的全响应全响应 电路的初始状态不为零，同时又有外加 激励源作用时电路中产生的响应。1.全响应以RC电路为例，电路微分方程:RC-F uc Usdt c s解答为 c(0=Uc+UQ稳态解UQ=Us,t暂态解=T=RC由起始值定Ac(0)=Uo心(0+)=/+4=f-Usuc=US+AeT=Vs+(i70 Us)e T 0强制分量（稳态解）自由分量（暂态解）2.全响应的两种分解方式（1）着眼于电路的因果关系全响应=强制分量（稳态解）+自由分量（暂态解）物理概念清晰(2).着眼于两种工作状态便于叠加计算全响应=零状态响应 零输入响应c（0一）=。0 Mc（0）=0 c（0一）=Uo0例1 片0时，开关K打开，求t0后的无、L解这是一个RL电路全响应问 8。题，有：、了一一一乙(0一)=乙(0+)=Us/R.=6Z“+K(I).24VT=L/R=Q.6/12=1/2QS T-40零输入响应：%(，)=6e 2以 ft 24零状态响应：iL=(1-e 20zM12全响应：iL(0=6/2，+2(1-一2配)=2+4一2。，或求出稳态分量：乙(oo)=24/12=2A全响应：iL(t)=2+Ae-2QtA代入初值有：6=2+A-A A=4伤112 片时，开关K闭合，求t0后的左c及电流源两端17J 的电压。(%(0一)=1K。=1户)、解这是一个RC电路全响应 问题，有：稳态分量：c()=1。+1=11 z=RC=(l+l)xl=2s全响应：uc(t)=ll+Ae tVc)=11-10,。ic(t)=5eQ5tA c dtIQIQ IQd嬴任IA汇u(t)=lxl+lxic+uc=12-5e W3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程:dt其解答一般形式为：f(t)=/(oo)+Ae T令，=0+/(O+)=/(8)O+A-直流激励时：，/()o+=/(0)/)=/3)+(0+)-/(8小T/(oo)稳态解一用t-8的稳态电路求解三要素,/(0)初始值一A用0+等效电路求解工 时间常数V分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题例1 已知：/=0时合开关,求换路后的。0.667-二 _解“C(0+)=%(0-)=2 V-0%3)=(2 1)x1=0.667VT-ReqC=X 3=2 SUc(0=Uc(00)+(o+)-uc(00)e Tuc=0.667+(2-0.667)e&=Q.667+L33e t 0例2 片0时，开关闭合，求t0后的无、%、h解三要素为：G 器 髭”.乙(0-)=口(0+)=10/5=2/1+心 工乙3)=10/5+20/5=64。了丫：0-5H 20vli T=L/R=0.6/(5/5)=l/5s-应用三要素公式 iL(0=iL(00)+iL(0+)-iL(oo)e-7iL(t)=6+(2-6)e 5t=6-4e5t t0uL(t)=L=0.5x(4e 5t)x(-5)=lOe 5tV dt.)=(10 /5=2 2e5tA4)=(20 /)/5=4 2e5tA三要素为：乙(。)=乙(0+)=10/5=24 乙 3)=10/5+20/5=6/T=L/R=Q.6/(5/5)=1/5S(10-20)+1=01 100+等效电路(00)=10/5=2，式加43)=20/5=4/乙=6+(2 6).=6 4.0方=2+(0-2)e-5t=2-2e5tA 3=4+(2 4)e5t=4-2c例3 已知：片0时开关由1-2,求换路后的。解三要素为:+0.1F+c2Aiuc(O)=uc(O)=-8Vc(oo)=4ix+2%=6i=12V T R C=10 x 0.1=Is。=Q)+c(0+)c(s)e/(，)=12+8 12e u-io.一=12-20cR=u/L=100A已知：电感无初始储能t=O时合曷,t=0.2s时合九2 1H 求两次换路后的电感电流，。例43Q10V%(片0)/.，20k2(/=0.2s)解 0t 0.2si(0.2)=2-25 2=L26I(0.2)=1.26r2=Z/7?=l/2=0.5 i(oo)=10/2=5Z i)=5 374-2。2)A 0to.2s）例6脉冲序列分析1.RC电路在单个脉冲作用的响应(1)Qt0)=A。4”0R1L-RC 1 ftT吃0us=l(0ZT 2)=“(r)=l-J正 Vc2()=V T=RCt-T%Q)=Ucl()+，2(0+)一 c2()e 鼠,工-Tuc2(t)=(l-e)e V,tTA2(，)=-%(，tTT1 RC t-Ti=_J记 4 tT2 R(a)T7；为输出AR0T输出近似为输入的微分(b)T T,%为输出输出近似为输入的积分_。T0(b)T T7.7 一阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数定义而；葭 01 I-o单位阶跃函数的延迟-（“0）1 01（o =激励为单位阶跃函数时，电路 中产生的零状态响应。O(0。丁Uc0(0尸0uc(t)=(l-e RC)s(01，=RCti=e Rc/2 o的区别上页下页上页 下页应用叠加定理us=10(/)-10(/-0.5)阶跃响应为:+5k f I 一 r=7?C=100 xW6x5xl0-3=0.5s)咐C4f 3)=(1-厂总C如二1人1nA c dz 5上页 下页由齐次性和叠加性得实际响应为：1 1ic=5-e2(Z)-e-2(t-0-5)e(t-0.5)二 e2t(t)-2一%_ 0.5)mA+o 5k-5e”0.5)产上页 下页分段表示为：ic=e2ts(t)-e2(t0-5)e(t-0.5)0Z0.5)=1 0.5)=0 2zir=e0.5s/s(t)=1-0.5)=1ic=e-2t-。一2J0.5)=/2(5.5)(0T _)=0.632。-2(皿)上页下页分段表示为：，c)=e2t mA(0/0.5s)1 t mA)波形036800.5A*S)-0.632上页 下页7-8 一阶电路的冲激响应单位冲激函数1.单位脉冲函数p(t)M，)=),00J P)d，=1J 002.单位冲激函数5(/)1/A-A/2 A/21 A A)=1+7)_(”-)1 ZA/-0-00A啊p)=bA-0定义况,)=:。3.单位冲激函数的延迟双“。）方0-4)=0 Q1),00SQ%)dr=lJ 00a（o）（i）04.B函数的筛分性=/（o）3（t）dt=/（o）川）划 00同理有：f/Q 5_4 d/=/Q。）J00*大。在办处连续例 sin+1 5 t-dt J-00 671 71 71=sin+=+=L026 6 2 6二、冲激响应：单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应1.分二个时间段来考虑冲激响应例L g h 口 一+电容充电C_3 R干c _ o+-8零输入响应 I”40-)=0(1).t 在 00+间。华+2=5。)at Ruc不可能是冲激函数，否则KCL不成立C%山+冬山扉叫)山 =0=1Cuc(0+)-uc(0)=1 4(0+)=3、%(0一)电容中的冲激电流使电容电压发生跳变 LF(2).，0+零输入响应=L 正 to+c c=_=正c R RC1 1/=丁 RC（t 2 二个不等负实根过阻尼R=二个相等负实根临界阻尼R2J-Cuc=4。+4。，(o+)=uf 4+4=up?4=等+4=%=pp（七e 一小血）2 1 设巴闫为-A/Pi-Pidi-TT 00=%2)f j减小，Ul I/2 1/片2%时L最大t 0,UL Q t oo,E=0di dt“0(Pi-Pi)(P-P2eP2t)片i为极值时的%即i=0时的力计算如下:(A ePlt-P2/)=oP2 ePltmP eP2fmIn PiPi-Pi由，町/必可确定“L为极小时的九能量转换关系0t tm/减小i减小.-AJa?+A2+(2)R 2特征根为一对共轨复根令：（衰减系数）（谐振角频率）则 0=，；_ 3?（固有振荡角频率）P=5+jo）外 的解答形式:uc=+A2ePlt=。一叫 4/+*）经常写为:uc=AeSt sin3+/)A,P为待定常数%(O+)=Uo/sin/=Uo由初始条件由+“4.A彳 An-(0)=0.Z(N)sm+Aa)cos0=0 dt7CO,CO o,合间的关系:CD sin P=oc Q,0=arctg 飞 o力二%UoCOcopuc=也3+)G)uc=%sin(&+/3)CD.是其振幅以土%U。为包线依指数衰减的正弦函数。CD片0时u=U0.nn-p=L 包=_/sin 0”月）dt co兀+0,2K+P.nn+P能量转换关系:0 cot P特例：R=0时贝|5=0,co co，6=uc=U。sin（女+90 =uLi=%sinw 一等幅振荡coL/_.甲j(3)R=2J-CRP=P2=F=-6 乙L由初始条件，ducI dtc(o+)=uf 4=u(o+)=o-4(*)+4=o解出:4=44=U.5/=Uo3(l+)du UQ Ti=-c-tec dt LuL=L/=U0e (1 31)非振荡放电小结：R2 过阻尼，非振荡放电 =4*+4,R=2 临界阻尼，非振荡放电uc=Are-St+A2te-dt R2,欠阻尼，振荡放电 uc=Ae-dtnGJt+p%(0+)由初始条件du+定帛数-rr(0)I at可推广应用于一般二阶电路 电路如图，t=0时打开开关。求 C，并画出其变化曲线。例L解(1)wc(0)=25V/L(0)=5A(2)开关打开为RLC串 联电路，方程为：=八 一2 Gcdll。CLCJ+RC+U”。dt dt特征方程为：50P2+2500P+106=0P=-25 jl39 uc=Ae-25t sin(139r+0)uc=Ae-25t sin(139,+/)(3)c(0+)=25 f Asin 3=250+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量/(0+)()由初值df+定常数 dt I