播放版一阶电路和二阶电路的时域分析总.pptx

09 八月 20241 重点重点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算一阶电路时间常数的概念与计算；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量暂态分量(自由分量自由分量)和和(稳态分量稳态分量)强制分量概念；强制分量概念；(6)一阶电路的阶跃响应、冲激响应；一阶电路的阶跃响应、冲激响应；(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；阻尼及临界阻尼的概念及分析；09 八月 20242难点难点(1)电路初始条件的概念，除电路初始条件的概念，除 uC 和和 iL 之外各电压、之外各电压、电流初始值的确定；电流初始值的确定；(2)激励源为交流电源；激励源为交流电源；(3)一阶电路和二阶电路的区分，二阶电路的过阻一阶电路和二阶电路的区分，二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。本物理概念。与其它章节的联系与其它章节的联系 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。09 八月 202437-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从定状态。从一种稳定状态一种稳定状态转换到转换到另一种新稳定状态另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者说时，往往不能跃变，而是需要一定的时间，或者说需要一个过程，在工程上称为需要一个过程，在工程上称为过渡过程过渡过程。如：冰融。如：冰融化成水、汽车的加速与减速等。化成水、汽车的加速与减速等。引引 言言 电路中也有过渡过程，电路的电路中也有过渡过程，电路的过渡过程有时虽过渡过程有时虽然短暂，但在实践中却很重要。然短暂，但在实践中却很重要。09 八月 20244例：电阻电路例：电阻电路SUS+-(t=0)iR1R2R2US过渡期为零过渡期为零0tiR1+R2US含有动态元件含有动态元件电容和电感电容和电感的电路称动态电路的电路称动态电路。1.动态电路动态电路 当动态电路状态发生改变时（称之为换路）当动态电路状态发生改变时（称之为换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。这个变化过程称为电路的过渡过程。09 八月 20245例：例：电容电路电容电路uCiUS+-+-RS(t=0)CuCiUS+-+-RSC(t)S 接通电源后很长时接通电源后很长时间间，电容充电完毕，电，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：路达到新的稳定状态：S未动作前未动作前，电路，电路处于稳定状态：处于稳定状态：i=0,uC=US。i=0,uC =0。?有一个有一个过渡期过渡期0tuCRUS前一个稳前一个稳定状态定状态US新的稳新的稳定状态定状态t1i新稳定新稳定状态等状态等效电路效电路09 八月 20246例：例：电感电路电感电路uLiUS+-+-RSL(t)S 接通电源后很长时接通电源后很长时间间，电路达到新的稳定状，电路达到新的稳定状态，态，电感视为短路：电感视为短路：S未动作前未动作前，电路处于，电路处于稳定状态：稳定状态：uL=0,i=0,uL =0。有一个有一个过渡期过渡期0tiRUS前一个稳前一个稳定状态定状态US新的稳新的稳定状态定状态t1uLuLiUS+-+-RS(t=0)LUSR新稳定新稳定状态等状态等效电路效电路i=09 八月 20247换路的概念换路的概念电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件(L、C)，电路在换，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。要一定的时间来完成。支路接入或断开支路接入或断开电路参数改变电路参数改变产生过渡过程的原因产生过渡过程的原因+-1 1 1 10VC+-uC1A+-uS+-10VS1(t=0)S2(t=0.2s)3 2 iL09 八月 202482.动态电路的方程动态电路的方程若以若以电流为变量：电流为变量：+-uS(t0)RiC+-uC以以电压为变量，应用电压为变量，应用KVL和电容元件的和电容元件的VCR得：得：Ri+uC=uSi=CduCdtRCduCdt+uC=uSRi+uC=uSuC=1Cidt Rdidt+iC=duSdt例如例如 RC串联电路。串联电路。09 八月 20249再如再如 RL串联电路。串联电路。若以若以电压为变量：电压为变量：以以电流为变量，应用电流为变量，应用KVL和电感元件的和电感元件的VCR得：得：Ri+uL=uSuL=LdidtLdidt+Ri=uSRi+uL=uSi=1LuLdt R+-uS(t0)RiL+-uLLuL+duLdt=duSdt 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路一阶电路。有源有源电阻电阻电路电路含一个含一个动态元件动态元件小小结结09 八月 202410再看再看 RLC串联电路串联电路 含有二个动态元件的含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶线性常微分方程，称二阶电路二阶电路。（在（在 75中中讨论）讨论）+-uS(t0)RiL+-uLC-+uC描述动态电路的电路描述动态电路的电路方程是微分方程；方程是微分方程；动态电路方程的阶数通动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件常等于电路中动态元件的个数。的个数。电路中有多个动态元电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高件，描述电路的方程是高阶微分方程。阶微分方程。LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=uS应用应用KVL和元件的和元件的VCR得得 结论结论09 八月 202411 动态电路的分析方法动态电路的分析方法(1)首先首先是根据是根据KVL、KCL和和VCR建立建立微分方程，然后是微分方程，然后是求解求解微分方程微分方程。(2)分析的方法有：分析的方法有：时域分析法，时域分析法，包括包括经典法经典法、状态、状态变量法、变量法、卷积积分、卷积积分、数值法。数值法。复频域分析法，包括拉普拉斯变复频域分析法，包括拉普拉斯变换法、状态变量法、付氏变换。换法、状态变量法、付氏变换。工程中的高阶微分方程应用工程中的高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。计算机辅助分析求解。09 八月 2024123.电路的初始条件电路的初始条件(1)t=0+与与t=0-的概念的概念 0+：换路后一瞬间。：换路后一瞬间。认为换路在认为换路在t=0时刻进行。时刻进行。0-：换路前一瞬间。：换路前一瞬间。f(0-)=lim f(t)t0t0f(0+)=lim f(t)t0t00-0tf(t)0+f(0-)=f(0+)f(0-)f(0+)明确：明确：i(t)及其各阶导数的值。及其各阶导数的值。在动态电路分析中，在动态电路分析中，初始条件为初始条件为 t=0+时时,u(t)、初始条件是得到确定初始条件是得到确定解答的必需条件。解答的必需条件。09 八月 202413(2)电容的初始条件电容的初始条件当当 i()为有限为有限值，此项为值，此项为0。结论：结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则则电容电压电容电压(电荷电荷)换路前后保持不变。换路前后保持不变。q(t)=t-i()d=0-i()d+t0-i()d=q(0-)+t0-i()d 当当 t=0+时时q(0+)=q(0-)+0+0-i()d 所以，在换路瞬间有：所以，在换路瞬间有：q(0+)=q(0-)q=C u，C不变时有：不变时有：uC(0+)=uC(0-)电荷守恒电荷守恒Ci+-uC体现体现09 八月 202414(3)电感的初始条件电感的初始条件用同样的方法可得：用同样的方法可得：Li+-uL 结论：结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则则电感电流（磁链）换路前后保持不变。电感电流（磁链）换路前后保持不变。在换路瞬间有：在换路瞬间有：Y Y(0+)=Y Y(0-)Y Y=Li，L不变时有：不变时有：iL(0+)=iL(0-)磁链守恒磁链守恒(4)换路定律！换路定律！q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)Y Y(0+)=Y Y(0-)iL(0+)=iL(0-)注意：注意：体现体现换路定律反映了能量不能换路定律反映了能量不能跃变。跃变。电容电流和电感电压为有限电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。值是换路定律成立的条件。09 八月 202415(5)初始值的计算初始值的计算解解t=0-时刻等效时刻等效的电路的电路求电路在开关闭合瞬间各求电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。支路电流和电感电压。由由t=0-时刻时刻的电路计的电路计算算uC(0-)和和iL(0-)。iC(0-)=0，C视为开路。视为开路。iL(0-)=12A，uC(0-)=24ViL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24V由等效电路算出由等效电路算出R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33 2 2 48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33 2 2 48ViuL(0-)=0，L视为短路。视为短路。由换路定律由换路定律09 八月 202416iC(0+)=48-243=8AuL(0+)=48-212=24Vi(0+)=iL(0+)+iC(0+)=12+8=20At=0+时刻的时刻的等效电路等效电路R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33 2 2 48ViR1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33 2 2 48ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24V由由 t=0+时刻的等效电路时刻的等效电路求各电压电流。求各电压电流。电感用电感用电流源替代，电容用电电流源替代，电容用电压源替代，画出压源替代，画出t=0+的的等效电路。等效电路。09 八月 202417 注意注意t=0-时刻时刻的的等效等效电路电路t=0+时刻的时刻的等效电路等效电路R1+-U0SR2iLiC24V12A+-uL+-uCR33 2 2 48ViiL(0+)=iL(0-)=12AuC(0+)=uC(0-)=24ViC(0+)=8A iC(0-)uL(0+)=24V uL(0-)i(0+)=20A i(0-)R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33 2 2 48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33 2 2 48Vi09 八月 202418小结：小结：求初始值的步骤求初始值的步骤由换路前电路由换路前电路(稳定状态稳定状态)求求uC(0-)和和iL(0-)；由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)；画画0+等效电路；等效电路；由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的 0+值。值。b.电容用电压源替代，电感用电流源替代。电容用电压源替代，电感用电流源替代。a.指换路后的电路。指换路后的电路。c.取取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同。电感电流方向相同。09 八月 202419解题指导解题指导1：求：求 iC(0+),uL(0+)iSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiCiSiLS(t=0)L+-uLRC+-uCiC解：解：画画0-等效等效电路。电路。iL(0+)=iL(0-)=iSuC(0+)=uC(0-)=RiSuL(0+)=-RiSiC(0+)=iS-RiSRiSiL(0+)=iSS(t=0)+-uLRC+-iCLRiS=0由由0+电路得：电路得：画画0+等效电路。等效电路。由由换路定律换路定律得：得：09 八月 202420L+-10 10 iLC+-uC10 20Vt=0=0-时刻时刻解题指导解题指导2：求：求S闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。解：解：由由0-等效电路等效电路得：得：给出给出0+等效电路等效电路(t=0)+-10 10 iLLC+-uC10 20VS iL(0-)=2020=1AuC(0-)+-10 10 iL+-10 20V1A+-uL10ViSiCt=0+时刻时刻iS(0+)=2010-(-(-1010-1=2AuL(0+)=iL(0+)10=10ViC(0+)=-=-10uC(0+)=-=-1A=10 1=iL(0+)=uC(0+)=10V)09 八月 202421 一阶电路的分析方法一阶电路的分析方法经典法经典法 列写电路的微分方程，列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一求解电流和电压。是一种在种在时时间间域域中进行的分中进行的分析方析方法法。套用典型电路分析法套用典型电路分析法 记住一些典型电路记住一些典型电路(RC串联、串联、RL串联、串联、RC并并联、联、RL并联等并联等)的分析的分析结果，在分析非典型电结果，在分析非典型电路时可以设法套用。路时可以设法套用。7-2 一阶电路的一阶电路的零输入零输入响应响应三要素法三要素法 只要知道一阶电路的三个要只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。电路的最有效方法。含源含源电阻电阻NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路典型电路09 八月 202422零输入响应零输入响应 换路后外加激励为零，仅换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电由动态元件初始储能产生的电压和电流。压和电流。1.RC 电路的零输入响应电路的零输入响应SR+-uC(t=0)i+-uRU0i=-CduCdt所以所以duCdtRC+uC=0由由VCR得：得：uR=Ri，SR+-uC(t0+)i+-uRU0由由KVL得：得：-uR+uC =0uC(0+)=U0p=-RC1特征根特征根特征方程：特征方程：RCp+1=0通解为通解为 09 八月 202423uC=A e pt=Ae1RC-t得：得：uC=U0 et0代入初始值：代入初始值：uC(0+)=uC(0-)=U0SR+-uC(t=0)i+-uRU01RC-ti=RuC=RU0e1RC-t=I0e1RC-t或者由：或者由：i=-CduCdt求出。求出。(1)电压、电流是随时间电压、电流是随时间按同一指数规律衰减按同一指数规律衰减的函数；的函数；表明：表明：t0uC,i 2 3 4 I0U0连续函数连续函数跃变跃变09 八月 202424令令 =RC，称，称 为一阶为一阶电路的时间常数。电路的时间常数。(2)响应与初始状态成线性关系，响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与其衰减快慢与RC有关；有关；=RC=欧欧 法法=欧欧 库库 伏伏=欧欧 安秒安秒 伏伏=秒秒 反映电路过渡过程时间的长短。反映电路过渡过程时间的长短。即：即：大大过渡过程时间长，过渡过程时间长，的的物理含义物理含义 大大 小小电压初值一定：电压初值一定：R大大(C一定一定)i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长。放电时间长。C大大(R一定一定)W=Cu2/2 储能大储能大U0t0uC 小小过渡过程时间短。过渡过程时间短。09 八月 202425注意：注意：t0 2 3 5 U0U0e-1U0e-2U0e-3U0e-5U00.368U00.135U00.05U00.007U0uC=U0e-t ：是电容电压衰减到是电容电压衰减到原来电压原来电压 36.8%所需的所需的时间。工程上认为，时间。工程上认为，经经过过 3 5 时间，过时间，过渡过程结束。渡过程结束。的几何意义的几何意义U0t0uC 0.20.40.60.81.0 2 3 4 5 次切距的长度次切距的长度等于时间常数等于时间常数 以该点的斜率为固定变化以该点的斜率为固定变化率衰减，率衰减，经过经过 时间为零值。时间为零值。09 八月 202426次切距的长度等于时间常数：次切距的长度等于时间常数：M a at1 Q t2 uC(t1)MQ=PM tan a a=uC(t1)-duCdtt=t1=U0t0uC(t)=U0 e-tU0 e-t1U0 e-t1 1 1=t2-t1 任取一点任取一点P，通过通过P点点作切线作切线PQ。P 09 八月 202427(3)能量关系能量关系设设 uC(0+)=U0则电容放出能量：则电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：SR+-uC(t0+)i+-uRU021CU02WR=0 Ri2 dt=0 R(U0Re1RC-t)2dt=U0R2(-RC2e2tRC-)0=21CU02电容不断地释放能量，并被电阻吸电容不断地释放能量，并被电阻吸收，直到全部消耗完毕。收，直到全部消耗完毕。09 八月 202428例例1：电路如图，电容原充有：电路如图，电容原充有24V电压，求电压，求S闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。+-2 i1S5FuCi2i33 6+-i15FuC4 解解:这是求一阶这是求一阶RC电路电路的零输入响应问题。的零输入响应问题。t0有：有：uC=U0 et01RC-tU0=24V，所以：所以：uC=24 e20-tV t0i1=4uC=6 e20-tA分流：分流：i2=32i1=4 eAi3=3i1=2 eA20-t20-tRC=4 5=20s回到原电路回到原电路09 八月 202429例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i-+-250k+-uC1=5 FC2=20 FSu1u2解解：(1)仍是仍是一阶一阶 RC零输入响应问题零输入响应问题C1+C2C1C2C=5+20=520=4 Ft0+-uC+-i4 FuC250k 20V+-u uC(0+)=uC(0-)=-=-u1(0-)+u2(0-)=20V =RC=250103410-6=1s所以：所以：u=uC=20 e-t V t0i=250 103u=80 e-t A09 八月 202430例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。u1(t)=u1(0)+t0i()d C11u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i=80 e-t Ai-+-250k+-uC1=5 FC2=20 FSu1u2+-uC=4+t080 e-tdt51=(20-16e-t)Vu2(t)=u2(0)-t0i()d C21=24-t080 e-tdt201=(20+4e-t)Vu=20 e-t V t0u1()=20VuC()=u2()-u1()=0，u2()=20V。09 八月 202431例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。u1(0-)=4V，u2(0-)=24V。i=80 e-t Ai-+-250k+-uC1=5 FC2=20 FSu1u2+-uCu=20 e-t V t0(2)初始储能初始储能W1=21510-642=40 JWc=21Cu2(t)W2=212010-6242=5760 J最终储能最终储能W1+W2=5800 J=21(5+20)10-6202=5000 JW1+W2电阻耗能电阻耗能 WR=0 Ri2 dt=800 J09 八月 2024322.RL电路的零输入响应电路的零输入响应解之得：解之得：i=I0 eL-RSR+-(t=0)R0L12uL+-iU0i(0+)=i(0-)=U0R0didtL+Ri=0 (t0)=I0t(t0)uL=-=-I0 R eL-Rt电压、电流是电压、电流是随时间按同一随时间按同一指数规律衰减指数规律衰减的函数；的函数；SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0表明：表明：t0i，uL I0连续函数连续函数跃变跃变-I0R09 八月 202433令令 =L/R，称为一阶称为一阶RL电路时间常数。电路时间常数。响应与初始状态成线性关系，其响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与衰减快慢与L/R有关；有关；的大小反映了电路过渡过程时间的长短：的大小反映了电路过渡过程时间的长短：L大大所以所以 =L/R大，大，放电慢。放电慢。大大过渡过程时间长，过渡过程时间长，小小过渡过程时间短。过渡过程时间短。物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：=亨亨 欧欧=韦韦 安安 欧欧=伏伏 秒秒 安安 欧欧=秒秒 R小小 P=Ri2小小W=21LiL2 起始能量大起始能量大 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小09 八月 202434(3)能量关系能量关系设设 i(0+)=I0则电感放出能量：则电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：21LI02WR=0 Ri2 dt=0 R(I0 eRL-t)2dt=I0L2Re2RtL-)0=21LI02RLuL+-i2R(-电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。09 八月 202435例题分析例题分析 P144 例例7-2试求：试求：；i(0+)和和i(0-)；i(t)和和uV(t)；uV(0+)。造成电压造成电压表损坏。表损坏。=R+RVL=0.189+51030.398=79.6(s)i(0-)RU=0.18935=185.2 Ai(t)=185.2 e-12560t AuV(t)=)=-RV i(t)uV(0+)=926 kV!实践中，实践中，要切断要切断 L 的电的电流，必须考虑流，必须考虑磁场能量的释磁场能量的释放问题。放问题。解：解：i(0+)=i(0-)=185.2 AS+-RL+-URVuVi0.189 0.398H5k 35V某某300kW汽轮发电机汽轮发电机励磁回路的电路模型励磁回路的电路模型Vt0+=-926 e-12560t kV09 八月 202436小结小结一阶电路的零输入响应由储能元件的初值引起一阶电路的零输入响应由储能元件的初值引起,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；f(t)=f(0+)e-tRC电路：电路：uC(0+)=uC(0-)RL电路：电路：iL(0+)=iL(0-)衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 ；RC电路：电路：=RC，RL电路：电路：=RL一阶电路的零输入响应与初始值成正比，一阶电路的零输入响应与初始值成正比，称为零输入线性。称为零输入线性。同一电路中所有响应具有相同的时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。09 八月 202437回顾数学知识：回顾数学知识：非齐次微分方程特解的计算非齐次微分方程特解的计算以以dydt+Ay=f(t)为例为例输入输入f(t)的形式的形式常数常数PP0+P1t (P0可以为可以为0)P0+P1t+P2t2 Q0+Q1t+Q2t2 Pe-mt(mA A)Qe-mtPe-mt(m=A A)Q t e-mtPsin t (或或Pcos t)特解特解y*的形式的形式常数常数QQ0+Q1t Q1sin t+Q2 cos t或或 Q cos(t+)09 八月 2024387-3 一阶电路的一阶电路的零状态零状态响应响应零状态响应：零状态响应：在动态元件初值在动态元件初值为为 0 的状态下，的状态下，t0 时由电路时由电路中外施激励引起的响应。中外施激励引起的响应。1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程解答形式：解答形式：uC=uC+uC uC(0-)=)=0方程：方程：duCdtRC+uC=US uC 为为非齐次方程特解：非齐次方程特解：uC=Q故又称故又称强制分量。强制分量。这是电路的稳态解，这是电路的稳态解，称称稳态分量。稳态分量。由于该分量与输入激由于该分量与输入激励的变化规律有关，励的变化规律有关，US09 八月 202439 uC 为为齐次方程通解：齐次方程通解：US+-(t0+)+-uCRC+-uRi解答形式：解答形式：uC=uC+uC 方程：方程：特解：特解：uC=USuC=A e1RC-t随着时间的推移，将消随着时间的推移，将消失，故称失，故称暂态分量暂态分量。由于其变化规律只与电由于其变化规律只与电路结构和参数有关，故路结构和参数有关，故又称又称自由分量自由分量。零输入也是这一规律。零输入也是这一规律。全解：全解：uC=US+A A e1RC-t由初始条件由初始条件 uC(0+)=0得：得：A A=-=-USuC=US-US e1RC-t=US(1-e)1RC-t(t0)duCdtRC+uC=USi=CduCdt=USRe1RC-t009 八月 202440US+-(t0+)+-uCRC+-uRi表明表明uC=US(1-e)1RC-t(t0)i=USRe1RC-t电压、电流是随时间按同电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；一指数规律变化的函数；稳态分量稳态分量(强制分量强制分量)+暂态分量暂态分量(自由分量自由分量)电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：uC 连续函数连续函数uC tuC 0USuC跃变跃变t0iR-USRUS09 八月 202441电源电源提供的提供的能量：能量：电阻电阻吸收的吸收的能量：能量：W=0US i(t)dt=USq=CUS2WR=0i2(t)R dt=21CUS2 =RC结果表明：电源提供的能结果表明：电源提供的能量一半转换为电场能量存量一半转换为电场能量存储于储于C 中，另一半在充电中，另一半在充电过程中消耗在过程中消耗在 R上。不论上。不论RC的值是多少，充电效的值是多少，充电效率总是率总是50%。US+-(t0+)+-uCRC+-uRi响应变化的快慢，由时间响应变化的快慢，由时间常数常数 =RC 决定；决定；大充大充电慢，电慢，小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；能量关系能量关系电容电容存储的存储的能量：能量：WC=21CUS209 八月 202442=0.2 e-200t A例：例：t=0时时，开关，开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0-)=0，求求(1)电容电压和电流；电容电压和电流；(2)uC=80V时的充电时间时的充电时间t。解：解：(1)这是一个这是一个RC电路零状电路零状S100V+-(t=0)+-uC500 10 Fi态响应问题，有：态响应问题，有：=RC=50010-5=510-3 suC=US(1-e)1RC-t=100(1-e-200t)V(t0)i=CduCdt=10-5100200e-200t(2)设经过设经过t1秒，秒，uC=80V80=100(1-e-200t1)Vt1=8.045ms 09 八月 2024432.RL电路的零状态响应电路的零状态响应(1)激励是恒定直流激励是恒定直流换路前：换路前：iL(0+)=iL(0-)=0 换路后：换路后：iR+iL=ISSRL+-ISuL(t=0)iRiL(t0+)iR=uLR=LRdiLdtLRdiLdt+iL=ISLR =解得：解得：iL=IS(1-e )-t式中：式中：uL=LdiLdt=RIS e-t(t0)tuL,0iL ISRIS09 八月 202444(2)激励是正弦电压激励是正弦电压设设 us=Umcos(t+u)则则 Ldidt+Ri=Umcos(t+u)通解：通解：i=A e-t特解的形式：特解的形式：i=Imcos(t+)把把 i 代入微分方程：代入微分方程：Im、为待定系数。为待定系数。RImcos(t+)-LImsin(t+)=Umcos(t+u)Im|Z|cos(t+)=Umcos(t+u)式中式中R2|Z|=+(L)2tg =R LLR =t0+us+-+-uLRLi+-uR比较得：比较得：Im=Um|Z|=u-，09 八月 202445|Z|Um特解：特解：i=Imcos(t+)cos(t+u-)|Z|Umi=cos(t+u-)+Ae-t由由i(0+)=i(0-)=0定出：定出：A=-|Z|Umcos(u-)|Z|Umi=cos(t+u-)-cos(u-)e|Z|Um-t全解：全解：稳态分量稳态分量 i 是与外施是与外施激励同频率的正弦量激励同频率的正弦量暂态分量暂态分量 i 随时间随时间的增长衰减为零。的增长衰减为零。R上的电压上的电压 uR=RiL上的电压上的电压 uL=Ldidt=t0+us+-+-uLRLi+-uR09 八月 202446讨论讨论(1)若若 S闭合时闭合时 u-=90o，则则 i=0。说明电路不发生说明电路不发生过渡过程而立即进入稳态。过渡过程而立即进入稳态。t0+us+-+-uLRLi+-uR|Z|Umi=cos(t+u-)-cos(u-)e|Z|Um-t t0i i=iuR=Ri|Z|RUmcos(t+u-)-Umcos(u-)e|Z|R-tuL=LdidtUm cos(t+u-+90o)|Z|L=Umcos(u-)e|Z|R-t=09 八月 202447i0i|Z|Um|Z|Um-当当 很大时，很大时，i衰减缓慢。衰减缓慢。在在 u=时闭合时闭合 S，约过，约过半个周期，半个周期，iL的最大瞬时的最大瞬时值值(绝对值绝对值)将接近稳态振将接近稳态振幅的两倍。幅的两倍。稳态振幅稳态振幅过渡中的最大瞬时值过渡中的最大瞬时值可见，电路的过渡过程可见，电路的过渡过程与与 S动作的时刻有关。动作的时刻有关。t0+us+-+-uLRLi+-uR|Z|Umi=cos(t+u-)-cos(u-)e|Z|Um-tti(2)若若S闭合时闭合时 u=|Z|Umi=cos t-e|Z|Um-t09 八月 202448例：例：t=0开关打开，求开关打开，求t 0后后iL、uL及及u。这是这是RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路。应问题，先化简电路。+-uL20 2HiL1A5+-u10+-uL10 2HiLS2A(t0)LReq =220=0.1siL=Isc(1-e )-t=(=(1-e-10t)AuL=LdiLdt=Req Isc e-t=20e-10t Vu=5 2=(=(20+10e-10t)ViL(0+)=)=iL(0-)=)=0 diLdt+iL=IscReq=20，Isc=1A。解：解：由原电路得：由原电路得：解得：解得：+10iL+uL09 八月 202449全全响响应应稳稳态态解解暂暂态态解解7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应1.全响应：全响应：电路的初始状态不电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。作用时电路中产生的响应。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+)=uC(0-)=U0uC =US +(+(U0-US)eduCdtRC+uC=US(1)着眼于电路的两种工着眼于电路的两种工作状态作状态 看成是稳态分看成是稳态分量量(强制分量强制分量)与暂态分与暂态分量量(自由分量自由分量)之和。之和。=+2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量自由分量自由分量-t物理概念清晰。物理概念清晰。09 八月 202450零零状状态态响响应应零零输输入入响响应应(2)着眼于因果关系着眼于因果关系全全响响应应=+uC =US +(+(U0-US)e-t uC=US(1-e )-t+U0 e-t此种分解方式此种分解方式便于叠便于叠加计算加计算，体现了线性，体现了线性电路的叠加性质。电路的叠加性质。US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=U0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=0US+-S(t=0)+-uCRC+-uRiuC(0-)=U0=+09 八月 2024513.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路(1)在恒定激励下在恒定激励下f(t)=f()+f(0+)-f()e由由初始值初始值、稳态值稳态值和和时间常数时间常数三个要素决定。三个要素决定。全响应全响应 =稳态分量稳态分量 +暂态分量暂态分量说明一阶电路的响应说明一阶电路的响应uC =US +(+(U0-US)e-tf(0+)是初始值，是初始值，用用t=0+时刻时刻的的等效电路求解。等效电路求解。f()是是稳态值，稳态值，用换路后用换路后的稳态的稳态(t)电路求解。电路求解。-t 是时间常数，是时间常数，用换路后用换路后的的电路求解。电路求解。09 八月 202452(2)在正弦电源激励下在正弦电源激励下f(t)=f(t)+f(0+)-f(0+)-tef(t)：换路后的稳态响应：换路后的稳态响应(特解特解)，f(0+)：是稳态响应：是稳态响应 f(t)的初始值。的初始值。求求f(t)的方法是待定系数法的方法是待定系数法是与激励同频率的正弦量；是与激励同频率的正弦量；f(0+)：是初始值，是初始值，用用t=0+时刻的时刻的等效电路求解。等效电路求解。：是时间常数，是时间常数，用换路后用换路后的的电路求解电路求解。或或相量法相量法(第第8、9章章)。关键是求关键是求f(t)，得到，得到后可求出后可求出f(0+)。f(0+)、的求法与恒定激励下相同。的求法与恒定激励下相同。09 八月 2024534.解题指导解题指导 例例1换路前：换路前：iL(0-)=-IS=-2A求换路后的戴维宁电路求换路后的戴维宁电路SUs=10V+-(t=0)iLRLiIsab4H2 2A?Uoc+-(t0+)iLReqLab=10-22=6 VUoc=Us-RIsReq=R=2 求求iL的三个要素：的三个要素：iL(0+)=iL(0-)=-2AiL()=Uoc/Req=6/2=3 A =L/Req=4/2=2 sf(t)=f()+f(0+)-f()e-tiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5t Ai(t)=IS+iL(t)=5-5 e-0.5t A09 八月 202454例例2：电路如图，求：电路如图，求uL。SiL+-2AuL4 2 4 12-+8Vi1+-2i10.1HUoc=4i1+2i1Req=10 ui解：解：iL(0-)=-4A=iL(0+)SiL+-2AuL4 2 4 12-+8Vi1+-2i10.1H(t0)求换路后的戴维宁电路求换路后的戴维宁电路=12Vui=(4+4)i1+2i1i1uL(0+)=Uoc-Req iL(0+)=12-10(-4)=52ViLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1HUoc09 八月 202455也可以先求也可以先求 iL：uL=LdtdiLuL()=0 =ReqL=0.01s100.1uL=