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苏州星湾学校中考数学期末二次函数和几何综合汇编

一、二次函数压轴题
1．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．

2．基本模型
如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．
（1）模型拓展：
如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）拓展提升：如图4，在平面直角坐标系柳中，抛物线y=﹣（x+4）（x﹣6）与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，抛物线的对称轴交线段BC于点E，探求线段AB上是否存在点F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由．

3．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图像的性质正确的是　 　；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图像关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图像不经过第三象限．
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；
②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是　 　；
（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图像上，且﹣＜[a]≤2，则b的取值范围是　 　．

4．已知抛物线有最低点为F．
（1）当抛物线经过点E（-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M是直线下方抛物线上的一动点，过点M作平行于y轴的直线，与直线交于点N，求线段长度的最大值；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的交点为P，请结合图象求出点P的纵坐标的取值范围．
5．如图，边长为5的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上第一象限内一点，过点作于点，点的坐标为．连接．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求的值；
（3）①在点运动过程中，当时，点的坐标为________；
②连接，在①的条件下，把沿轴平移（限定点在射线上），并使抛物线与的边始终有两个交点，探究点纵坐标的取值范围是多少？
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：

…
-3

-2
-1
0
1
2

3
…

…
3

-1
0
-1
0

3
…
其中，______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．

7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，
（1）该函数的解析式为　 　，补全下表：
x
⋯
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1

1
2
3
⋯
y
⋯

2
﹣1
﹣2

2
1
2
⋯
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：　 　．
（3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集　 　．

8．综合与探究
如图，已知二次函数的图像与轴交于，B两点，与轴交于点C，直线经过B，C两点
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是线段 BC上一个动点，过点P作x轴的垂线于点Q，交抛物线于点D，当点Q是线段PD的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线BC上一点，N是平面内一点，当以P，D，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标．

9．已知抛物线（n为正整数，且）与x轴的交点为和．当时，第1条抛物线与x轴的交点为和，其他以此类推．
（1）求的值及抛物 线的解析式．
（2）抛物线的顶点的坐标为（_______，_______）；以此类推，第条抛物线的顶点的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_________．
（3）探究以下结论：
①是否存在抛物线，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
②若直线与抛物线分别交于点，则线段的长有何规律？请用含有m的代数式表示．
10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．
（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，
①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是　　　　；
②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

二、中考几何压轴题
11．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

12．问题情境：两张直角三角形纸片中，．连接，，过点作的垂线，分别交线段，于点，（与在直线异侧）．

特例分析：
（1）如图1，当时，求证：；
拓展探究：
（2）当，探究下列问题：
①如图2，当时，直接写出线段与之间的数量关系： ；
②如图3，当时，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
推广应用：
（3）若图3中，，设的面积为，则的面积为 ．（用含，的式子表示）
13．问题发现：（1）如图1，与同为等边三角形，连接则与的数量关系为________；直线与所夹的锐角为_________；
类比探究：（2）与同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：（3）中，为的中位线，将绕点逆时针自由旋转，已知，在自由旋转过程中，当在一条直线上时，请直接写出的值．

14．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．

（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：
①AF与BE的数量关系是　 　；
②∠ABE＝　 度．
（2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．
（3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．
15．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

（特例研究）
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=b= ；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；
（拓展证明）
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
16．（1）问题发现：如图1，在△ABC中和△DCE中，，，，点D是BC的垂线AF上任意一点．填空：
①的值为 ；
②∠ABE的度数为 ．
（2）类比探究：如图2，在△ABC中和△DCE中，，，点D是BC的垂线AF上任意一点．请判断的值及∠ABE的度数，并说明理由；
（3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出BE的长．

17．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点、分别在线段、上，．

（1）观察猜想：如图2，将绕点逆时针旋转，连接、，的延长线交于点．当的延长线恰好经过点时，点与点重合，此时，

①的值为______；
②∠BEC的度数为______度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转，点与点不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：若．，当所在的直线垂直于时，请你直接写出线段的长．
18．综合与实践
动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰的直角顶点与正方形的顶点重合（），按如图（1）所示重叠在一起，使点在边上，连接．

则可证：______，______三点共线；
发现问题：（1）如图（2），已知正方形，为边上一动点，，交的延长线于，连结交于点．
若，则______，______；
尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若，求证：；
拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当______时，为的6倍（直接写结果，不要求证明）．
19．综合与实践
数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．

探究展示：
“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：
证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．
又∵四边形BEDF是矩形，
∴EF经过点O，
∴OE=OF=EF，且EF=BD．
∴OE=OF，OA=OC．
∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）
∵AC=BD，EF=BD，
∴AC=EF．
∴四边形AECF是矩形．（依据2）
∴∠CEA=90°，
即AE⊥CE．
反思交流：
（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？
拓展再探：
（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．
（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．
20．（阅读理解）
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”．
（深入探究）
（1）如图1，在四边形中，，，请说明：四边形是“协和四边形”．
（尝试应用）
（2）如图2，四边形是“协和四边形”，为“协和线”，，，若点、分别为边、的中点，连接，，．求：
①与的面积的比；
②的正弦值．
（拓展应用）
（3）如图3，在菱形中，，，点、分别在边和上，点、分别在边和上，点为与的交点，点在上，连接，若四边形，都是“协和四边形”，“协和线”分别是、，求的最小值．

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一、二次函数压轴题

1．F
解析：（1）连线见解析，二次函数；（2）；（3）m=0或m=
【分析】
（1）根据描点法画图即可；
（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．
【详解】
解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．

（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，

则∠FGK=∠DHK=90°，
记FD交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF=KD，
∵∠FKG=∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG=DH，
∵直线AC的解析式为y=﹣x+4，
∴x=0时，y=4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的横坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER=2m，FR=﹣2m+4，
∵EF2=FR2+ER2，
∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，
令﹣+4=0，得x=，
∴0≤m≤．
∴当m=1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为2．
（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．
③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．

由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，
又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，
∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，
又∵BE2=（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，
化简得，3m2﹣10m+8=0，
解得m1=，m2=2（不合题意，舍去），
∴m=．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．
2．F
解析：（1）证明详见解析；（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8），当x=4时，y最大=2；（3）存在一点F，使得∠EFO=∠BAO；或．
【解析】
试题分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则，进而求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）首选求出A，C点坐标，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的长，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的长．
试题解析：（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴，即，
∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），
当x=4时，y最大=2；
（3）解：如图4，存在一点F，使得∠EFO=∠BAO，
理由：连接EF，FO，
抛物线y=﹣（x+4）（x﹣6），
对称轴为x==1，
把x=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6），得y=8，
∴B（0，8），即OB=8
把y=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6）得x1=﹣4，x2=6，
∴A（﹣4，0），C（6，0），
∴OC=6，OA=4，AC=10，
∴BC===10，
∴AB===4，
∵EH∥BO，
∴△CEH∽△CBO，
∴，即，
解得：BE=，
∵BC=AC=10，
∴∠CAB=∠CBA
∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，
由（1）可得△AFO∽△BEF，
∴，
设BF=x，则，
化简得：x2﹣4x+=0，
解得：x1=，x2=，
∴当BF=或时，∠EFO=∠BAO．

考点：二次函数综合题．
3．（1）③④；（2）①见解析；②或；（3）或
【分析】
（1）画出图象，根据函数的性质即可判断．
（2）①根据题意列表、描点、连线即可．
②将看成是一次函数，此函数与轴的交点是，因此要与图像有两个交点，则需要分情况讨论．当时，满足两个交点的要求；当时，与图像没有两个交点；当时，可以有两个交点，此种情况要代入，根据根的判别式求出的范围即可．
（3）因为，所以根据分段函数的图像，求解取值在到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点在函数图象上，则，即，代入到的取值范围中求解即可．
【详解】
解：（1）画出图象，根据图象可知，
①当时，随的增大而增大，故错误；
②该函数图象关于轴不对称，故错误；
③当时，函数有最小值为，正确；
④该函数图象不经过第三象限，正确；
故答案为：③④．
（2）①在平面直角坐标系中画出该函数图象，

②关于的方程有两个互不相等的实数根，
可以看成是和有两个交点．
是一次函数，与轴的交点为，
当时，满足两个交点的条件．
若将向下平移与图像有两个交点，则．
方程为，即．
△，
，
．
故答案为：或．
（3），
当时，，，解出．
当时，，，解出．
或．
点在函数图象上，
，
，
或．
故答案为：或．
【点睛】
此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解此题的关键．
4．E
解析：（1）①；②2；（2）；（3）
【分析】
（1）①把点E（-1，3）代入求出m的值即可；②先求出直线EF的解析式，设出点M的坐标，得到MN的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（2）写出抛物线的顶点式，根据平移规律即可得到的顶点式，进而得到的顶点坐标，即，消去，得到与的函数关系式，再由即可求得的取值范围；
（3）求出抛物线怛过点A（2，-3），函数H的图象恒过点B（2，-4），从图象可知两函数图象的交点P应在A，B之间，即点P的纵坐标在A，B点的纵坐标之间，从而可得结论．
【详解】
解：（1）①∵抛物线经过点E（-1，3）
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
②如图，

∵点F为抛物线的最低点，
∴
∴
设直线EF的解析式为：
把E（-1，3），F（1，-5）代入得，

解得，
∴直线EF的解析式为：
设，则
∴
∵
∴当时，MN有最大值，最大值为2；
（2）∵抛物线
∴平移后的抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴与的函数关系式为：
（3）如图，函数的图象为射线，

时，；
时，
∴函数H的图象恒过点（2，-4）
∵抛物线，
当时，；
当时，；
∴抛物线G恒过点A（2，-3）
由图象可知，若抛物线G与函数H的图象有交点P，则有
∴点P纵坐标的取值范围为：
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
5．F
解析：（1）；（2）；（3）①；②
【分析】
（1）由题可设抛物线解析式为，将N点坐标代入，求出a即可求出抛物线的函数表达式．
（2）过点作轴于，由题可设，故可求出PF的长．在中，利用勾股定理可求出PE的长，即发现，故．
（3）①由题意易求，即．结合（2）即可列出关于m的方程，解出m即可求出此时P点坐标．
②根据题意可知将沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点与点重合前和向下平移，一直到点与点重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．
【详解】
解：（1）由题可设抛物线解析式为，
把代入，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）如图，过点作轴于，

由题可设，
∴
∵在中，，即，
∴，
∴，即．
（3）①由题意可知，
∵，
∴，
∴．
由（2）可知，．
∴，
解得：（舍）．
故，即．

②根据题意可知将沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点与点重合前和向下平移，一直到点与点重合前．
Ⅰ当沿y轴向上平移，且点与点重合时，如图，.

∵,
∴此时P点向上平移1个单位得到，即．
∵点与点重合时，抛物线与△PEF的边有两个交点，即当时抛物线与△PEF的边有两个交点，
∴．
Ⅱ当沿y轴向下平移，且点与点P重合时，如图，.

∵，
∴此时P点向下平移4个单位得到，即．
∵点与点P重合时，抛物线与△PEF的边只有一个交点，即当时抛物线与△PEF的边只有一个交点，
∴．
综上可知．
【点睛】
本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
6．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②
【分析】
（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．
【详解】
（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；
故答案为：0；
（）如图所示

（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，
所以有三个根，分别是、、；
即答案为3；
②∵关于的方程有四个根，
∴函数的图象与y=a有四个交点，
由函数图象知：的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．
7．(1) y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；(3) ≤x≤或≤x≤．
【分析】
（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；
（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可
（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．
【详解】
解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，
故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；
当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；
补全表格如图，
x
⋯
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
⋯
y
⋯
7
2
﹣1
﹣2
-1
2
1
2
⋯
（2）函数图像如图所示，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；
（3）当x≥1时，x2﹣x+2﹣3x+3=x，
解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤；
当x＜1时，x2﹣x+2+3x﹣3=x，
解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤；
∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集为≤x≤或≤x≤．

【点睛】
本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．
8．B
解析：（1）；（2）P（2，1）；（3），，，
【分析】
（1）求出点B，带入求解即可；
（2）设，，，根据中点的性质列式计算即可；
（3）根据菱形的性质分类讨论即可；
【详解】
（1）令，解得：，
∴，
令，则，
∴，
把，代入中，
∴，
∴，，
∴；
（2）设，，，

∵Q为PD中点，
∴，
∴，
∴，（舍），
∴；
（3）①如图，由题意可得：为菱形的边，为菱形的对角线，

由（2）可得：，，

设，，
由可得：
整理得：
解得：
检验：不合题意舍去，取

如图，为菱形的边，

同理可得：或
②如图，当为对角线时，

由，，
可得：重合，重合时，四边形为菱形，

综上：，，，；
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．
9．C
解析：（1） ；y ＝−（x−2）＋4；（2）（n，n ）；[（n＋1），（n＋1） ]；y＝x；（3）①存在，理由见详解；②CC＝2m．
【分析】
（1）），则＝2，则＝2＋2＝4，将点A、 的坐标代入抛物线表达式得：，解得： ，则点（4，0），将点A、的坐标代入抛物线表达式，同理可得：＝2，＝4，即可求解；
（2）同理可得：＝3，＝9，故点的坐标为（n，），以此推出：点[（n＋1），（n＋1）]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝ ，即可求解；
（3）①△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn ＝2ABn，即（2n）＝2（n＋），即可求解；
②y＝−（m−n＋1）＋（n−1），y＝−（m−n）＋n，CC= y−y，即可求解．
【详解】
解：（1），则＝2，则＝2＋2＝4，将点A、的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：，
则点（4，0），将点A、 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：＝2，＝4；
故y ＝−（x−）＋＝−（x−2）＋4；
（2）同理可得：＝3，＝9，故点的坐标为（n，），以此推出：点 [（n＋1），（n＋1）]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝；
故答案为：（n，n ）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；
（3）①存在，理由：
点A（0，0），点An（2n，0）、点（n，n ），
△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn ＝2ABn，即（2n）＝2（n ＋n），
解得：n＝1（不合题意的值已舍去），
抛物线的表达式为：y＝−（x−1） ＋1；
②y＝−（m−n＋1）＋（n−1），
y＝−（m−n）＋n，
CC＝y−y＝−（m−n）＋n ＋（m−n＋1）−（n−1）＝2m．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．
10．A
解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA=4；（3）点M的坐标为：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3．
【分析】
（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）①当△PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大．即当直线y=-x+m与抛物线只有一个交点时满足条件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；
②过点P作PE⊥x轴于点E，证明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，设P点坐标为（m，n），由题意得，m+1=-m2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】
（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：y=﹣x﹣1，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y=﹣x2+3x+4；
（2）①当△PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大，
所以P点在与直线AD平行并且与抛物线相切的直线上，即P点是这两个图像的唯一交点．
设P点坐标为(x，y)，依题意有：，
∴x2-4x+m-4=0
∵直线y=-x+m与抛物线相切，即只有一个交点，
∴42+4(m-4)=0
∴m=8，
∴x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2
∴y=6
由此得P点坐标为(2，6)
②过P作PE⊥x轴于E点，

由直线AC的解析式y=﹣x﹣1，可得A(-1，0)C(0，-1)，∴OA=OC
∵∠AOC=90°∴∠DAB=45°，
∴当AB平分∠DAP时，∠BAP=∠DAB，则∠BAP=45°，
∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE=EA
设P点坐标为(m，n)，依题意有m+1=﹣m2+3m+4，
∴m1=3，m2=-1(舍去)，
∴PE=EA=4，
∴PA=4
（3）NC=5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为(x，﹣x2+3x+4)、则点M(x，﹣x﹣1)，
由题意得：|yM﹣yP|=5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|=5，
解得：x=2或0或4(舍去0)，
则点M坐标为(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为(﹣，2)，
设点M坐标为(m，﹣m2+3m+4)、则点M(n，﹣n﹣1)，
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，2=，
解得：m=0或﹣4(舍去0)，
故点M(﹣4，3)；
故点M的坐标为：(2+，﹣3﹣)或(2﹣，﹣3+)或(4，﹣5)或(﹣4，3)
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键．
二、中考几何压轴题

11．（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和A
解析：（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．
【详解】
（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
（2）解：∠B+∠D=180°，
理由是：

如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴F、D、G在一条直线上，
和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，

如图，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中

∴△FAD≌△EAD，
∴DF=DE，
设DE=x，则DF=x，
∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：，
，
解得：x=，
即DE=．
【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
12．（1）详见解析；（2）①；②，证明详见解析；（3）．
【分析】
（1）在等腰三角形ABM中三线合一，即AM还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS证，可得，即可得证；
（2）①由题意可知，，，且，
解析：（1）详见解析；（2）①；②，证明详见解析；（3）．
【分析】
（1）在等腰三角形ABM中三线合一，即AM还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS证，可得，即可得证；
（2）①由题意可知，，，且，，可证∽，同理可证∽，可得，，即可得出BD与AN的数量关系；②过E点作AC的平行线，交AN的延长线于点P，连接PC，可证∽，即，可得，四边形为平行四边形，所以，即可得出BD与AN的数量关系；
（3）由（2）②已证四边形为平行四边形，所以，且∽，，所以，即ACE的面积可得．
【详解】
（1）证明：∵，于点，
∴，，（等腰三角形三线合一）
∵，
，
且，
∴，
∵，
∴，即．
∴，
∵，
∴，
在ABM和CAN中，

∴（AAS），
∴，∴．
（2）①．
∵由题意可知，，，且，，
∴，
∴∽，
同理，，，且，，
∴，
∴∽，
∴，即，，即，
∴．
②．证明：过E点作AC的平行线，交AN的延长线于点P，连接PC．

∴，
∵，
∴，
∴，
∵于点，∴．
∴．
∴．
∴，
∴∽，
∴，
∵，∴，，
∴．
∵，∴四边形为平行四边形．
∴，∴．
（3）．
∵由（2）②已证四边形为平行四边形，
∴，
又∵∽，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考察了等腰三角形三线合一、全等三角形的证明与应用、相似三角形的证明与应用、平行四边形的性质，解题的关键在于构造出全等三角形，且