苏教版七年级下册期末数学必备知识点真题经典及答案解析.doc

（完整版）苏教版七年级下册期末数学必备知识点真题经典及答案解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=2a5 B．a3•a2=a6 C．（a3）2=a9 D．a3÷a2=a
答案：D
解析：D
【分析】
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】
解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a3•a2=a5，故本选项不合题意；
C．（a3）2=a6，故本选项不合题意；
D．a3÷a2=a，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
2．如图，已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截，则下列说法中不正确的是（　　）

A．∠2与∠4是邻补角 B．∠2与∠3是对顶角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠1与∠2是同位角
答案：C
解析：C
【分析】
根据对顶角定义可得B说法正确，根据邻补角定义可得A说法正确，根据同位角定义可得D说法正确，根据内错角定义可得C错误．
【详解】
解：A、∠2与∠4是邻补角，说法正确；
B、∠2与∠3是对顶角，说法正确；
C、∠1与∠4是同旁内角，故原说法错误；
D、∠1与∠2是同位角，说法正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了对顶角、邻补角、同位角、内错角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
3．若方程组的解满足，则的取值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
答案：A
解析：A
【详解】
试题分析：根据方程组的特征把两个方程直接相加可得，再根据求解即可.
由题意得，则
∵
∴，解得
故选A.
考点：解二元一次方程组
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
4．对于下列命题：
①若，则；
②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角；
③无论取何值，代数式的值都不小于1．
④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
解析：A
【分析】
根据不等式的性质、三角形内角和定理、完全平方公式、以及平角的定义解答即可．
【详解】
解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题；
②在直角三角形中，两个锐角和等于第三个内角，原命题是假命题；
③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；
④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，当三个角都等于60°时，三个角的和等于180°，条件成立，所以原命题是假命题．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理知识点，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
5．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
答案：C
解析：C
【分析】
分别解出不等式，进而利用不等式的解得出m+1的取值范围，进而求出即可；
【详解】
解：∵不等式组 的解集是x＞2，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＞m+1，
不等式组的解集是x＞2，
∴不等式①解集是不等式组的解集，
∴m+1≤2，
解得：m≤1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程组，根据不等式组的解得出m+1的取值范围是解题的关键；
6．下列命题中：
①内错角相等；
②两点之间线段最短；
③直角三角形两锐角互余；
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行．
属于真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质、直角三角形的性质判断即可．
【详解】
解：①两直线平行，内错角相等，本说法是假命题；
②两点之间线段最短，本说法是真命题；
③直角三角形两锐角互余，本说法是真命题；
④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行，本说法是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查证明与命题、平行线的性质及直角三角形的性质，关键是熟记概念进行判断．
7．已知整数，，，…满足下列条件：，，，，…，依此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：C
【分析】
分别计算： 再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．
【详解】
解：探究规律：
，
，
，
，
，
，
，
…，
总结规律：
当是奇数时，结果等于；是偶数时，结果等于；
运用规律：

故选：．
【点睛】
本题考查的是数字类的规律探究，考查列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键．
8．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042
答案：D
解析：D
【分析】
先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可
【详解】
解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021，
∴第一项为：x2021，
第二项为：
故选：D
【点睛】
本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键
二、填空题
9．计算的结果是______．
解析：
【分析】
直接利用单项式乘以单项式运算法则求出答案.
【详解】
解：，
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
10．命题“若a＋b>0，则a>0，b>0”是_____命题(填“真”或“假”) ．
解析：假
【分析】
利用有理数的加法法则，举反例即可判断命题的正误．
【详解】
当a=2，b=﹣1,时，a+b﹥0成立，但a>0，b>0不成立，
故此命题是假命题，
故答案为：假．
【点睛】
本题主要考查命题的真假，解答的关键是熟悉判断命题真假的方法，即要判断命题的真假，需要看命题在其条件的约束下，结论是否一定成立．
11．一个正多边形的每个外角都是45°，则这个正多边形是正___边形．
解析：八
【分析】
根据多边形的外角和等于即可得．
【详解】
解：因为多边形的外角和等于，
所以这个正多边形的边数是，
即这个正多边形是正八边形，
故答案为：八．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题关键．
12．如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝___；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为____．
答案：A
解析：±5 -2x-2或-x-2
【分析】
先将x2-25因式分解，再根据关联多项式的定义分情况求出b；再分A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k两种情况，根据不含常数项．
【详解】
解：①∵x2-25=（x+5）（x-5），
∴x2-25的公因式为x+5、x-5．
∴若x2-25与（x+b）2为关联多形式，则x+b=x+5或x+b=x-5．
当x+b=x+5时，b=5．
当x+b=x-5时，b=-5．
综上：b=±5．
②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，
∴A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k，k为整数．
当A=k（x+1）=kx+k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则k+2=0，即k=-2．
∴A=-2（x+1）=-2x-2．
当A=k（x+2）=kx+2k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则2k+2=0，即k=-1．
∴A=-x-2．
综上，A=-2x-2或A=-x-2．
故答案为：±5，-2x-2或-x-2．
【点睛】
本题主要考查多项式、公因式，熟练掌握多项式、公因式的意义是解决本题的关键．
13．如果关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为_______________．
解析：k＞3
【分析】
先把方程组的两个方程相加求出x+y=k+1，再解不等式即可解答．
【详解】
解：由方程组解得：x+y=k+1，
由x+y＞4，
得：k+1＞4，
解得：k＞3．
则k的取值范围为k＞3；
故答案为：k＞3．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解和一元一次不等式，解决本题的关键是解二元一次方程组．
14．如图，在中，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，则的最小值为________．

答案：A
解析：
【分析】
在AB上取点，使，过点C作，垂足为因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小．
【详解】
解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H．

在中，依据勾股定理可知，
，
，
∵AE平分，
∴∠EAF=∠EA，
∵，AE=AE，
∴△EAF≌△EA，
∴，
∴，
当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题．
15．把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________．

答案：84°
【解析】
由正五边形内角，得
∠I=∠BAI==108°，
由正六边形内角，得
∠ABC==120°，
BE平分∠ABC，
∠ABJ=60°，
由四边形的内角和，得
∠BJI=360°−∠I
解析：84°
【解析】
由正五边形内角，得
∠I=∠BAI==108°，
由正六边形内角，得
∠ABC==120°，
BE平分∠ABC，
∠ABJ=60°，
由四边形的内角和，得
∠BJI=360°−∠I−∠BAI−∠ABJ=360°−108°−108°−60=84°，
故答案为84°.
点睛：根据正五边形的内角，可得∠I，∠BAI的值，根据正六边形，可得∠ABC的度数，根据正六边形的对角线，可得∠ABJ的度数，根据四边形的内角和公式，可得结果.
16．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF，的面积分别为6、8、10，则四边形DHOG的面积为________．

答案：8
【分析】
连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG
解析：8
【分析】
连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．
【详解】
解：连接OC，OB，OA，OD，

∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=8，S四边形CGOF=10，
∴6+10=8+S四边形DHOG，
解得：S四边形DHOG=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积，解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
17．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
答案：（1）2；（2）；（3）
【分析】
（1）根据负整数指数幂，零指数幂和绝对值的计算法则求解即可；
（2）根据同底数幂乘法和幂的乘方，合并同类项的计算法则求解即可；
（3）先计算多项式乘以多项式，单项
解析：（1）2；（2）；（3）
【分析】
（1）根据负整数指数幂，零指数幂和绝对值的计算法则求解即可；
（2）根据同底数幂乘法和幂的乘方，合并同类项的计算法则求解即可；
（3）先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，然后合并同类项即可．
【详解】
解：（1）

；
（2）

；
（3）

．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值，整式的混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18．因式分解：
（1）16x2－9y2
（2）(x2+y2)2－4x2y2
答案：（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可．
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式和完全
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可．
【详解】
（1）原式
；
（2）原式

．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．
19．解方程组：
（1）．
（2）．
答案：（1）；（2）
【分析】
（1）用加减法求解．
（2）用加减法求解．
【详解】
解：（1），
②﹣①得x＝﹣1．
把x＝﹣1代入①得﹣1＋y＝5，解得y＝6．
所以，这个方程组的解为；
（2），
①
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）用加减法求解．
（2）用加减法求解．
【详解】
解：（1），
②﹣①得x＝﹣1．
把x＝﹣1代入①得﹣1＋y＝5，解得y＝6．
所以，这个方程组的解为；
（2），
①×2得4a﹣2b＝16③，
③＋②得7a＝21，
解得a＝3，
把a＝3代入①得2×3﹣b＝8，解得b＝﹣2，
所以，这个方程组的解为．
【点睛】
本题主要考查加减法解二元一次方程，掌握加减消元法、代入消元法是解题的关键
20．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）
答案：（1）；（2）无解
【分析】
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
解析：（1）；（2）无解
【分析】
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解：（1）去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组无解．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
三、解答题
21．已知2x﹣y＝3．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）若2＜y＜3，求x的取值范围；
（3）若﹣1≤x≤2，求y的最小值．
答案：（1）y＝2x﹣3；（2）2.5＜x＜3；（3）﹣5
【分析】
（1）移项即可得出答案；
（2）由2＜y＜3得出关于x的不等式组，分别求解即可；
（3）由-1≤x≤2得-2≤2x≤4，可得-5≤2x
解析：（1）y＝2x﹣3；（2）2.5＜x＜3；（3）﹣5
【分析】
（1）移项即可得出答案；
（2）由2＜y＜3得出关于x的不等式组，分别求解即可；
（3）由-1≤x≤2得-2≤2x≤4，可得-5≤2x-3≤1，据此知-5≤y≤1，继而得出答案．
【详解】
解：（1）由2x﹣y＝3可得y＝2x﹣3；
（2）由2＜y＜3得2＜2x﹣3＜3，
解2x﹣3＞2，得：x＞2.5，
解2x﹣3＜3，得：x＜3，
∴2.5＜x＜3；
（3）由﹣1≤x≤2得-2≤2x≤4，则﹣5≤2x﹣3≤1，
∴﹣5≤y≤1，
∴y的最小值为﹣5．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．某超市从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表：
蔬菜品种
西红柿
西兰花
批发价格（元/千克）
3.6
8
零售价格（元/千克）
5.4
14
请解答下列问题：
（1）第一天，该超市批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用了1520元钱，这两种蔬菜当天全部销售后一共赚多少元钱？
（2）第二天，该超市用了1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元，该超市最多能批发西红柿多少千克？
答案：（1）这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚960元钱；（2）该超市最多能批发西红柿100千克
【分析】
（1）设批发西红柿千克，西兰花千克，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用去了1520元钱
解析：（1）这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚960元钱；（2）该超市最多能批发西红柿100千克
【分析】
（1）设批发西红柿千克，西兰花千克，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300千克，用去了1520元钱，列方程组求解即可；
（2）设批发西红柿千克，根据当天全部售完后所赚钱数不少于1050元列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设批发西红柿千克，西兰花千克．
由题意得
解得
故批发西红柿200千克，西兰花100千克，
则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：（元）．
答：这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚960元钱．
（2）设批发西红柿千克，
由题意得，
解得．
答：该超市最多能批发西红柿100千克．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．
材料2：求方程的正整数解．
解：由已知得：……①
设（为整数），则……②
把②代入①得：．
所以方程组的解为 ，
根据题意得：．
解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3．
所以方程的正整数解是：，，．
根据以上材料回答下列问题：
（1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；
（2）仿照上面的方法，求方程的正整数解；
（3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）
答案：（1）①⑥；（2），，；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根
解析：（1）①⑥；（2），，；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根
【分析】
（1）依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除c，从而来判断是否有整数解；
（2）依据材料2的解题过程，即可求得结果；
（3）根据题意，设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）．则可得关于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整数解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）① ，因为3，9的最大公约数是3，而11不是3的整倍数，所以此方程没有整数解；
② ，因为15，5的最大公约数是5，而70是5的整倍数，所以此方程有整数解；
③ ，因为6，3的最大公约数是3，而111是3的整倍数，所以此方程有整数解；
④ ，因为27，9的最大公约数是9，而99是9的整倍数，所以此方程有整数解；
⑤ ，因为91，26的最大公约数是13，而169是13的整倍数，所以此方程有整数解；
⑥ ，因为22，121的最大公约数是11，而324不是11的整倍数，所以此方程没有整数解；
故答案为：① ⑥．
（2）由已知得：． ①
设(为整数)，则． ②
把②代入①得：．
所以方程组的解为．
根据题意得：，
解不等式组得：＜＜．
所以的整数解是-2，-1，0．
故原方程所有的正整数解为：，，．
（3）设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）．
根据题意得：．
所以．
设(为整数)，则．
∴．
根据题意得：，解不等式组得：．
所以的整数解是1，2，3，4．
故所有的正整数解为： ，，，．
答：有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根．
【点睛】
此题主要考查了求二元一次方程的整数解，理解题意，并掌握利用一元一次不等式组求二元一次方程的整数解的方法及是解题的关键．
24．如图①，平分，⊥，∠B=450,∠C=730．
（1） 求的度数；
（2） 如图②，若把“⊥”变成“点F在DA的延长线上，”，其它条件不变，求 的度数；
（3） 如图③，若把“⊥”变成“平分”，其它条件不变，的大小是否变化，并请说明理由．

答案：（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.
【分析】
（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE
解析：（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.
【分析】
（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．
【详解】
（1）∵∠B=45°，∠C=73°，
∴∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=31°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．
（2）同（1），可得，∠ADE=76°，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=14°．
（3）的大小不变.=14°
理由：∵ AD平分∠ BAC，AE平分∠BEC
∴∠BAC=2∠BAD，∠BEC=2∠AEB
∵ ∠BAC+∠B+∠BEC+∠C =360°
∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242°
∴∠BAD+∠AEB=121°
∵ ∠ADE=∠B+∠BAD
∴∠ADE=45°+∠BAD
∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-（∠AEB+∠BAD）=135°-121°=14°
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
25．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）（性质理解）
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；

（2）（性质应用）
如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）（拓展提高）
如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．

答案：（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】
（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；
（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=
解析：（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】
（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；
（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；
（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴；
（2）∵比大20°，+=+，
∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，
∵，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+=180°，
∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，
∴=100°；
（3）∵，是的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，
∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，
∵和的平分线和相交于点P，
∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，
∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，
即：∠P=45°-．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．