新高考新题型——数学多选题专项练习及答案.doc

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点
C．当，有4个零点 D．当时，有7个零点
【答案】ABD
【分析】
令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令，得，设，则方程等价为，
函数，开口向上，过点，对称轴为
对于A，当时，作出函数的图象：

，此时方程有一个根，由可知，此时x只有一解，即函数有1个零点，故A正确；
对于B，当时，作出函数的图象：

，此时方程有一个根，由可知，此时x有3个解，即函数有3个零点，故B正确；
对于C，当时，图像如A，故只有1个零点，故C错误；
对于D，当时，作出函数的图象：

，此时方程有3个根，其中，，由可知，此时x有3个解，由，此时x有3个解，由，此时x有1个解，即函数有7个零点，故D正确；
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．

2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1
【答案】AC
【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】
当时，；当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：

对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，，，故A正确；
对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；
对于D， 取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

3．函数，以下四个结论正确的是（　　）
A．的值域是
B．对任意，都有
C．若规定，则对任意的
D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或
【答案】ABC
【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】
由函数解析式可得，有如下函数图象：

∴的值域是，且单调递增即(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；
对于C，有，若，
∴当时，，故有.正确.
对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，
∴时，，有或（舍去）；
时，故恒成立；
时，，有或（舍去）；
综上，有或或；错误.
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法：当结论成立，若时结论也成立，证明时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.

4．下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的值域为，则函数的值域为
C．若函数有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则的取值范围是
D．已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B，利用数形结合及零点的分布求解判断C，作出函数与的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, 的定义域为，则由可得定义域为，故正确；
对于B，将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，故其值域相同，故错误；
对于C, 函数有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需，解得，故正确；
对于D, 作出函数与的图象，如图，

由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置或，观察图象可知，当有4个交点，当时，两条射线分别有2个交点，综上知方程恰有4个互异的实数根时，正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，图象确定，而是过关于对称的两条射线，参数确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即时左边射线与抛物线部分相切，时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

5．已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的最小值为 D．的最小值为2
【答案】BC
【分析】
利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.
【详解】

是偶函数， A错；

是偶函数，B对；
，当且仅当和时，等号成立，即当且仅当时等号成立，C对；

令，则
，令，得或
时，单调递增
当有最小值，最小值为4，D错
故选：BC.
【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.

6．设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的图象关于直线对称
B．f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C．f(x)在上单调递增
D．ω的取值范围是[)
【答案】CD
【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得的结果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.
【详解】
依题意得， ，如图：

对于，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故不正确；
对于，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，
对于，因为，，所以，解得，所以正确；
对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；
故选：CD.
【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

7．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为( )
A．函数是偶函数
B．,,恒成立
C．任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立
D．不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形
【答案】ACD
【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】
对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；
对于B，取，则，，故选项B错误；
对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；
对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．
故选：．
【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．

8．已知，则关于的方程，下列正确的是（ ）
A．存在实数，使得方程恰有1个不同的实数解；
B．存在实数，使得方程恰有2个不同的实数解；
C．存在实数，使得方程恰有3个不同的实数解；
D．存在实数，使得方程恰有6个不同的实数解；
【答案】ACD
【分析】
令，根据判别式确定方程根的个数，作出的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解.
【详解】
令，则关于的方程，
可得，
当时，，此时方程仅有一个根；
当时，，此时方程有两个根，
且，此时至少有一个正根；
当时，，此时方程无根；
作出的大致图象，如下：

当时，此时，由图可知，有个不同的交点，C正确；
当时，此时方程有两个根，且，此时至少有一个正根，
当、，且时，，有个不同的交点，D正确；
当方程有两个根，一个大于1，另一个小于0，
此时，仅有个交点，故A正确；
当方程有两个根，一个等于1，另一个等于0，，有个不同的交点，
当时，，此时方程无根.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.

9．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列正确的是（ ）
A．函数是上单调递增函数
B．对于任意实数，都有
C．函数（）有3个零点，则实数a的取值范围是
D．对于任意实数x，y，则是成立的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】
取反例可分析A选项，设出a，b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合可分析C选项，取特殊值可分析D选项．
【详解】
解：对于A选项，，故A错误；
对于B选项，令，q分别为a，b的小数部分，
可知，，，
则，故B错误；
对于C选项，可知当，时，则，
可得的图象，如图所示：

函数有3个零点，
函数的图象和直线有3个交点，且为和直线必过的点，
由图可知，实数a的取值范围是，故C正确；
对于D选项，当时，即r，q分别为x，y的小数部分，可得，，
；
当时，取，，可得，，此时不满足，
故是成立的充分不必要条件，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；

10．已知函数，下列关于函数的结论正确的为（ ）
A．在定义域内有三个零点 B．函数的值域为
C．在定义域内为周期函数 D．图象是中心对称图象
【答案】ABD
【分析】
将函数变形为，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC，由零点存在定理结合单调性可判断A，由可求出函数的对称点，即可判断D.
【详解】
解：由题意知，，
定义域为，
，
所以函数在定义域上单调递增，C不正确；
当时，，则上有一个零点，
当时，，所以在上有一个零点，
当时，，所以在上有一个零点，
当，，所以在定义域内函数有三个零点，A正确；
当，时，，当时，，
又函数在递增，且在上有一个零点，则值域为R，B正确；
，
所以，所以函数图象关于对称，D正确；
故选:ABD.
【点睛】
结论点睛:
1、与图象关于x轴对称；
2、与图象关于y轴对称；
3、与图象关于轴对称；
4、与图象关于轴对称；
5、与图象关于轴对称.

二、导数及其应用多选题
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
【答案】ABD
【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，当时，，，
所以，故切点为（0，0），
则，所以，故切线斜率为1，
所以在处的切线方程为：，即，故A正确；
对于B，，，则，
若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，
令，即在上恰有一个解，
则在上恰有一个解，
即与的图象在上恰有一个交点，
，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
而，
作出，的大致图象，如下：

由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，
即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；
对于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
设，，则，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，
所以在上的最大值为，
所以时，在上，恒成立，
即当时，才恒成立，
所以对任意，不恒成立，故C不正确；
对于D，当时，，，
令，则，即，
作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，
则在上恰有2个零点，故D正确.

故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.

12．对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．
【详解】
解：经验证，，，，都满足条件①；
，或；
当且时，等价于，
即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；
B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
由的单调性知，当时，，
∴，
令，，，
当且仅当即时，“”成立，
∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，
故是“偏对称函数”；
C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
有单调性知，当时，，
设，，则，
在上是减函数，可得，
∴，
即，符合条件③，故是“偏对称函数”；
D中，，则，则是偶函数，
而 （），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；
故选：BC．
【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．

13．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值 B．函数的值域为
C．有两个不同的零点 D．
【答案】ABD
【分析】
求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数的抽象图像可以判断BCD选项.
【详解】
函数的定义域为，求导，
令，解得：

极大值

所以当时，函数有极大值，故A正确；
对于BCD，令，得，即，当时，，，则
作出函数的抽象图像，如图所示：

由图可知函数的值域为，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数在上单调递减，且，则，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

14．已知函数对于任意，均满足.当时，若函数，下列结论正确的为（ ）
A．若，则恰有两个零点
B．若，则有三个零点
C．若，则恰有四个零点
D．不存在使得恰有四个零点
【答案】ABC
【分析】
设，作出函数的图象，求出直线与曲线相切以及直线过点时对应的实数的值，数形结合可判断各选项的正误.
【详解】
由可知函数的图象关于直线对称.
令，即，作出函数的图象如下图所示：

令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，
的定义域为，且，则函数为偶函数，
且函数的图象恒过定点，
当函数的图象过点时，有，解得.
过点作函数的图象的切线，
设切点为，对函数求导得，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
切线过点，所以，，解得，则切线斜率为，
即当时，函数的图象与函数的图象相切.
若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；
若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；
若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

15．下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
构造函数，利用导数分析其单调性，然后由、、、得出每个选项的正误.
【详解】
令，则，令得
易得在上单调递增，在上单调递减
所以①，即，即，故A错误；
②，即，所以可得，故B错误；
③，即，即
所以，所以，故C正确；
④，即，即，即
所以，故D正确；
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.

16．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上有解，则
【答案】ACD
【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解问题的应用判断D．
【详解】
函数，所以，
令，即，解得，
当时，，故在上为单调递增函数．
当时，，故在上为单调递减函数．
所以在时取得极大值，故正确；
当时，，在上为单调递增函数，
因为，所以函数在上有唯一零点，
当时，恒成立，即函数在上没有零点，
综上，有唯一零点，故错误．
由于当时，，在上为单调递减函数，
因为，所以，故正确；
由于在上有解，故有解，
所以，设，则，
令，解得，
当时， ，故在上为单调递减函数．
当时，，故在上为单调递增函数．
所以．
故，故正确．
故选：ACD．
【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

17．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数没有极值
B．若，则函数有极值
C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【分析】
先对进行求导，再对进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.
【详解】
解：由题意得，函数的定义域为，且，
当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，
又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
∴有且只有一个零点，
当时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
当时，取得极小值，同时也是最小值，
∴，
当x趋近于0时，趋近于，趋近于，
当x趋近于时，趋近于，
当，即时，有且只有一个零点；
当，即时，有且仅有两个零点，
综上可知ABD正确，C错误．
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

18．已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．若，则
C．在区间上的值域为
D．若函数，且，在上单调递减
【答案】ACD
【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A：当时，可得，可得在区间上单调递减；当，可得，可得在区间上单调递减，最后作出判断；
对于选项B：由在区间上单调递减可得，可得，进而作出判断；
对于选项C：由三角函数线可知，所以，，进而作出判断；
对于选项D：，可得，然后利用导数研究函数在区间上的单调性，可得，进而可得出函数在上的单调性，最后作出判断.
【详解】
， ，
当时，，由三角函数线可知，
所以，即，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
当，，，所以，，
所以在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故选项A正确；
当时，，
所以，即，故选项B错误；
由三角函数线可知，所以，，
所以当时，，故选项C正确；
对进行求导可得：
所以有，
所以，所以在区间上的值域为，
所以，在区间上单调递增，因为，
从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.

19．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数，可得，
令，即，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；
由当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，
当时，可得，所以函数在上没有零点，
综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；
由函数在上单调递减，可得，
由于，
则，
因为，所以，即，
所以，所以C正确；
由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

20．关于函数，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
【答案】ABD
【分析】
逐一验证，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.
【详解】
对于A：当时，，，
所以，故切点为，
，所以切线斜，
故直线方程为，
即切线方程为：，故选项A正确；
对于B：当时，，，
，恒成立，
所以单调递增，又，
，
所以存在，使得，
即，则在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以存在惟一极小值点，故选项B正确；
对于 C、D：,，
令得：，
则令，，
，令，
得：，，，
由函数图象性质知：
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以当，，时，取得极小值，
即当时，取得极小值，
又 ，即,
又因为在，单调递减，
所以，
所以，，时，取得极大值，
即当 时，取得极大值.
又，即，
当时，，
所以当，即时，
在上无零点，所以选项C不正确；
当时，即时，
与的图象只有一个交点，
即存在，在有且只有一个零点，
故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.

三、三角函数与解三角形多选题
21．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值.则（ ）
A． B．若，则
C．的最小正周期为3 D．在上的零点个数最少为1346个
【答案】AC
【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断；根据已知三角函数值求角的方法，可得，，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断和选项；因为，所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取，进而可判断．
【详解】
解：由题意得，在的区间中点处取得最小值，
即，所以A正确；
因为，
且在上有最小值，无最大值，
所以不妨令，
，
两式相减得，，
所以，即B错误，C正确；
因为，
所以函数在区间上的长度恰好为673个周期，
当，即时，
在区间上的零点个数至少为个，即D错误.
故选:AC.
【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．

22．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是（ ）
A．若，的最大内角是最小内角的倍
B．若，则一定为直角三角形
C．若，则外接圆半径为
D．若，则一定是等边三角形
【答案】ABD
【分析】
对于A选项，求得，由此确定选项正确.对于B选项，求得，由此确定选项正确.对于C选项，利用正弦定理求得外接圆半径，由此确定选项错误.对于D选项，证得，得到，确定选项正确.
【详解】
对于A选项，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，，由正弦定理得，
，，由于，所以，故B选项正确.
对于C选项，，，，
设三角形外接圆半径为，则，故C选项错误.
对于D选项，，故，同理可得，
要使，
则需，
所以，所以，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径，要注意公式是，而不是.

23．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．存在满足
C．若，则为钝角三角形
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；
B项，由和余弦函数在递减可判断；
C项，显然，分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；
D项，根据和正弦函数的单调性得出和，再由放缩法可判断.
【详解】
解：对于A选项，若，则，则，即，故A选项正确；
对于B选项，由，则，且，在上递减，于是，即，故B选项错误﹔
对于C选项，由，得，在上递减，
此时：若，则，则，于是；
若，则，则，
于是，故C选项正确；
对于D选项，由，则，则，在递增，于是， 即，同理，
此时，

所以D选项正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.

24．已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得是偶函数 B．
C．是奇数 D．的最大值为3
【答案】BCD
【分析】
根据得到，根据单调区间得到，得到或，故CD正确，代入验证知不可能为偶函数，A错误，计算得到B正确，得到答案.
【详解】
，，则，，
故，，，
，则，故，，，
当时，，，
在区间上单调，故，故，即，
，故，故，
综上所述：或，故CD正确；
或，故或，，不可能为偶函数，A错误；
当时，，，故；
当时，，
，故，
综上所述：，B正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

25．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．把函数f(x)的图象上的各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则是函数y=g(x)的一个周期
B．对，若，则
C．对成立
D．当且仅当时，f(x)取得最大值
【答案】AC
【分析】
根据三角函数的变换规则化简即可判断A；令， ，判断函数的单调性，即可判断B；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出的最大值，从而得到的取值；
【详解】
解：因为，令，所以，所以，
对于A：将图象上的各点的横坐标变为原来的倍，则，所以
，所以是函数y=g(x)的一个周期，故A正确；
对于B：因为，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，对称轴为，开口向上，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故B错误；
对于C：

，故C正确；
因为，，当时取得最大值，令，则，所以，解得，即当时，函数取得最大值，故D错误；
故选：AC
【点睛】
本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令，将函数转化为二次函数；

26．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．在区间上单调递减
C．在上有且仅有个最小值点
D．的值域为
【答案】BC
【分析】
利用特殊值法可判断A选项的正误；化简函数在区间上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B选项的正误；由可得的周期为，再在上讨论函数的单调性、最值，可判断CD选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为，，所以，
所以的图象不关于点中心对称，故A错误；
对于B选项，当时，，
，所以，函数在区间上单调递减，B选项正确；
对于C选项，，所以为函数的周期.
当时，，，
所以在区间上单调递增，，；
由B选项可知，函数在区间上单调递减，
当时，，.
所以，函数在上有且只有个最小值点，C选项正确；
对于D选项，由C选项可知，函数的值域为，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

27．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到
C．是的一条对称轴
D．的一个对称中心是
【答案】AB
【分析】
首先化简函数，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项.
【详解】
，
A.函数的最小正周期，故A正确；
B.根据图象的平移变换规律，可知函数的图像向左平移个单位而得到，故B正确；
C.当时，，不是函数的对称轴，故C不正确；
D.当时，，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是，故D不正确.
故选：AB
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.

28．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的初相为
B．若函数在上单调递增，则
C．若函数关于点对称，则可以为
D．将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为2023
【答案】AB
【分析】
根据选项条件一一判断即可得结果.
【详解】
A选项：函数的初相为，正确；
B选项：若函数在上单调递增，则，，，所以，，又因为，则，正确；
C选项：若函数关于点对称，则，所以
故不可以为，错误；
D选项：将函数的图象向左平移一个单位得到是偶函数，则，所以故不是整数，则不可以为2023，错误；
故选：AB
【点睛】
掌握三角函数图象与性质是解题的关键.

29．如图，已知函数的图象与轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．的最小正周期为4
C．一个单调增区间为
D．图象的一个对称中心为
【答案】BCD
【分析】
先利用设，得到点A处坐标，结合周期公式解得选项A错误，再利用最高点解出得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD正确.
【详解】
由，设，则，，
选项A中，点A处，，则，即，，解得，A错误；
选项B中，依题意，得，故，
最小正周期，B正确；
选项C中，由，得，结合最高点，知，即，当时，，故是的一个单调增区间，C正确；
选项D中，时，故是图象的一个对称中心，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
思路点睛：
解决三角函数的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.

30．设函数，已知在有且仅有个零点，则（ ）
A．在上存在、，满足
B．在有且仅有个最小值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【答案】AD
【分析】
化简函数的解析式为，令，由可求得，作出函数的图象，可判断AB选项的正误；由图象得出可判断D选项的正误；取，利用正弦型函数的单调性