数学平面向量多选题专项训练的专项培优练习题(及答案.doc

数学平面向量多选题专项训练的专项培优练习题(及答案

一、平面向量多选题
1．已知非零平面向量，,,则（ ）
A．存在唯一的实数对，使 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案：BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
【详解】
A选项，若与共线，与，都
解析：BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
【详解】
A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；
B选项，因为，,是非零平面向量,若，则，，所以，即B正确；
C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由不能推出；如与同向，与反向，且，则，故C错；
D选项，若，则，
，所以，即D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
2．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是等边三角形
D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4
答案：AC
【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；
对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；
对于，根据三角形面积公式求得，利
解析：AC
【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；
对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；
对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．
【详解】
解：由正弦定理可将条件转化为，
因为，故，
因为，则，故正确；
若，则由正弦定理可知，则，
因为，则，故错误；
若，根据正弦定理可得，
又因为，即，即有，所以，
因为，则，故，
整理得，即，
解得，故，则，
即，所以是等边三角形，故正确；
若的面积是，即，解得，
由余弦定理可得，即
设三角形的外接圆半径是，
由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，
故选：AC．
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
3．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】
∵，
整理可得：，
可得，
∵A为三角形内角，，
∴，故A正确
解析：AD
【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】
∵，
整理可得：，
可得，
∵A为三角形内角，，
∴，故A正确，B错误，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
由余弦定理得，
解得，故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．，其中为外接圆的半径
D．若为非直角三角形，则
答案：ABD
【分析】
对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.
【
解析：ABD
【分析】
对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.
【详解】
对于A，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故A正确；
对于B，若，则，则，即，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，在为非直角三角形，，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
5．是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．是单位向量 B．
C． D．
答案：ABD
【分析】
A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.
【详解】
A. 因为是边长
解析：ABD
【分析】
A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.
【详解】
A. 因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以 是单位向量，故正确；
B. 因为，，所以，所以，故正确；
C. 因为，所以，故错误；
D. 因为， ，所以，所以，故正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．在中，若，，，则C的值可以是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案：BC
【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.
【详解】
由正弦定理可得，所以，
又，所以，
所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC
【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.
【详解】
由正弦定理可得，所以，
又，所以，
所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
7．中，，，面积，则边（ ）
A． B． C． D．
答案：AB
【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
中，因为，，面积，
所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：，
解得，
当时，由余弦定理得：，
解得
所以或
解析：AB
【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
中，因为，，面积，
所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：，
解得，
当时，由余弦定理得：，
解得
所以或
故选：AB
【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
，且,平方得，即，可得，故A正确；
，可得，故B错误；
，可得，故C正确；
由可得，故D错误;
故选：AC
【点睛】
解析：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
，且,平方得，即，可得，故A正确；
，可得，故B错误；
，可得，故C正确；
由可得，故D错误;
故选：AC
【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥，∥，则∥
B．若，则是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数使得
答案：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于选项B，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；
对于选项C，两个非零向量
解析：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于选项B，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；
对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；
对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.
故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
答案：ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确.
故选：.
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
11．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若，则存在实数使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数使得，则
答案：AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；
若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；
若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
12．（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，，使，则
答案：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，
对于C，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，
对于C，当时，这样的有无数个，故C说法不正确.
故选：BC
【点睛】
若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.
13．下列命题中，正确的有（ ）
A．向量与是共线向量，则点、、、必在同一条直线上
B．若且，则角为第二或第四象限角
C．函数是周期函数，最小正周期是
D．中，若，则为钝角三角形
答案：BCD
【分析】
根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误
解析：BCD
【分析】
根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式得出，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，向量与共线，则或点、、、在同一条直线上，A选项错误；
对于B选项，，，所以，
则角为第四象限角，如下图所示：

则为第二或第四象限角，B选项正确；
对于C选项，作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数是周期函数，且最小正周期为，C选项正确；
对于D选项，，
，，
对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数，
则为钝角三角形，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.
14．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ）

A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个
B．满足的格点共有3个
C．存在格点，，使得
D．满足的格点共有4个
答案：BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以，，，且，，
得，，共三个，故正确．
当，时，使得，故正确．
若，则，，，且，，
得，，，共4个，故正确．
故选：．

【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
15．下列命题中正确的是( )
A．对于实数m和向量,恒有
B．对于实数和向量,恒有
C．若,则有
D．若,则
答案：ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确．
对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确．
对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对于：若，则成立，故正确．
故选：．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题16．题目文件丢失！

17．设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：A
【分析】
作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.
【详解】
如下图所示：

为的中点，则，
，，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．已知点O是内一点，满足，，则实数m为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
解析：D
【分析】
将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.
【详解】
由得：
设，则 三点共线
如下图所示：

与反向共线

本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.
19．设，，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
解析：A
【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，点，，， O为坐标原点，
根据与在方向上的投影相同，则,
即，可得，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
20．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．周期为 D．在上是增函数
解析：D
【详解】
当时,,∴f(x)不关于直线对称；
当时, ,∴f(x)关于点对称；
f(x)得周期，
当时, ,∴f(x)在上是增函数．
本题选择D选项.
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且，AE与BF交于点P，若，则（ ）

A． B． C． D．
解析：A
【分析】
设出，求得，再利用向量相等求解即可.
【详解】
连接AF，因为B，P，F三点共线，
所以，
因为，所以，
所以.
因为E是BC的中点，
所以.
因为，
所以，
则，
解得.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
22．在中，内角的对边分别是，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：B
【分析】
先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B，最后根据直角三角形解得a.
【详解】
因为，所以, C为直角，
因为，所以,
因此选B.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
23．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解析：C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得，进而可得，再利用正弦定理即可得出．
【详解】
解：，．
，
．
．
由正弦定理可得：，
．
故选：．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．在△中，M为BC上一点，，则△的面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．
解析：A
【分析】
由已知条件，令，，则在△中结合余弦定理可知，根据三角形面积公式即可求最大值
【详解】
由题意，可得如下示意图

令，，又，即有
∴由余弦定理知：
，当且仅当时等号成立
∴有
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值
25．在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：C
【分析】
由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．
【详解】
中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，可得G为重心，则，，且
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．
26．在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
解析：C
【分析】
由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD．
【详解】
设三边所对的角分别为，
由，则∴，正确；
由余弦函数性质知，B正确；
，，
当为钝角时就有，C错误，；
，，∴，D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
27．，为单位向量，且，则向量，夹角为（ ）
A． B． C． D．
解析：C
【分析】
首先根据题的条件，得到，根据，为单位向量，求得，进而求得向量夹角.
【详解】
因为，所以，
即，
因为，所以，
所以，因为向量，夹角的范围为，
所以向量，夹角的范围为，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.
28．已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
解析：C
【分析】
取夹角为，计算排除，得到答案.
【详解】
取夹角为，则，，排除，易知.
故选：.
【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
29．三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
解析：B
【分析】
先化简得，即得点P为三角形的垂心.
【详解】
由于三角形所在平面内一点P满足，
则
即有，
即有，
则点P为三角形的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
30．在中，已知，，若点、分别为的重心和外心，则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．14
解析：C
【解析】
【分析】
取的中点，因为、分别为的重心和外心，则，
再用、表示，，再根据向量的数量积的运算律计算可得.
【详解】
解：如图，取的中点，因为、分别为的重心和外心

故选：

【点睛】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．