北京市师大实验数学七年级上学期期末试卷.doc

北京市师大实验数学七年级上学期期末试卷
一、选择题
1．2021的倒数的相反数是（ ）．
A． B． C． D．2021
2．若代数式不含项，则k的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．-3
3．按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．13
4．如图是由5个大小相同的立方体搭成的几何体，从上面看得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
5．点P为直线m外一点，点A、B、C是直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．2cm D．小于或等于2cm
6．如图所示，正方体的展开图为（ ）

A． B．
C． D．
7．已知是方程的解，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．下列说法一定正确的是 （ ）
①若几个角的和为180°，则这几个角互为补角．
②线段和线段不是同一条线段．
③两点之间线段最短
④若，则点是线段的中点
A．③ B．③④ C．①③④ D．①②③④
9．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，用火柴棍按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要火柴棍（ ）根。

A．4n B．4n-1 C．4n+1 D．3n+1
11．的系数是_______； 多项式6x2－3x＋5是______次三项式．
12．若是方程的一个解，则=______________．
13．已知(a－3)2+|b－1|=0，则式子a2＋b2的值为________．
14．已知，则的值为___________.
15．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且=3，则（a+b）2+2cd+2m2-m的值为______.
16．下图是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是____________.

17．有理数在数轴上的位置如图所示，则++__________．

三、解答题
18．观察下列式子：①；②；③；④；……可猜想第2021个式子为________．
19．计算：
（1）8+（﹣11）﹣（﹣5）
（2）﹣32×（﹣5）﹣90÷（﹣6）
20．化简
（1）
（2）
21．⑴ 如图，试用a的代数式表示图形中阴影部分的面积；
⑵ 当a＝2时，计算图中阴影部分的面积．

22．如图，是平面内三点．
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁；
②过点作直线的垂线段，垂足为；
③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段．
（2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________．

23．数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，
则，则．
①根据定义，填空：_________，__________．
②若有如下运算性质：．
根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；
③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27

错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．
24．某学校为了改善办学条件，计划购置一批A型电脑和B型电脑．经投标发现，购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买1台A型电脑和2台B型电脑共需8000元．
（1）购买1台A型电脑和1台B型电脑各需多少元？
（2）根据学校实际情况，购买A、B型电脑总数为30台，购买电脑的总费用不超过86250元，且A型电脑台数不少于B型电脑台数的2倍，该校共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．
25．（学习概念） 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
（理解运用）
（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
（拓展提升）
（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．

26．已知在数轴上，一动点P从原点出发向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动7个单位长度到达点B．
（1）求点A、B表示的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为9，若存在，写出点P 表示的数；若不存在，说明理由；
（3）若小虫M从点A出发，以每秒0.5个单位长度沿数轴向右运动，另一只小虫N从点B出发，以每秒0.2个单位长度沿数轴向左运动．设两只小虫在数轴上的点C处相遇，点C表示的数是多少？
【参考答案】
一、选择题
2．A
解析：A
【分析】
根据倒数及相反数的概念进行求解即可．
【详解】
解：∵2021的倒数是，的相反数是，
∴2021的倒数的相反数是；
故选：A．
【点睛】
本题考查了倒数与相反数，熟练掌握倒数及相反数的概念是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
先将原多项式中含有的项进行合并同类项，再令项的系数为0，然后解关于的方程即可求解.
【详解】
原式=
依题意可知：=0
解得
故选D.
【点睛】
本题考查多项式的系数，解题的关键是掌握多项式的系数的概念.
4．D
解析：D
【分析】
首先用开始输入的值加上5，求出和是多少，然后把所得的和与9比较大小，所得的和大于9，则输出；所得的和不大于9，则再和5相加，直到所得的和大于9为止．
【详解】
解：（﹣2）+5＝3，3＜9，
3+5＝8，8＜9，
8+5＝13，13＞9，
∴若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是13．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据图中程序进行运算求解.
5．D
解析：D
【分析】
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】
从上面看，上边一层有3个正方形，下边一层中间有1个正方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短即可求解.
【详解】
解：因为点P为直线m外一点，点A、B、C是直线m上三点，，，，直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短可得：
点P到直线m的距离小于或等于2cm.
故选D.
【点睛】
本题主要考查直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的性质.
7．A
解析：A
【分析】
根据正方体的展开图的性质判断即可；
【详解】
A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
将x的值代入方程中即可求出m．
【详解】
将代入方程得：；
解得；
故选：D．
【点睛】
本题考查了方程的解的概念以及解方程等知识，解决本题的关键是牢记相关定义和解方程的基本步骤，考查了学生对知识的理解与应用的能力．
9．A
解析：A
【分析】
解答此题，要熟悉直线、射线、线段的概念，结合图形更易解答．
【详解】
解：①若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，故说法①错误；
②线段和线段是同一条线段，故说法②错误；
③两点之间线段最短，故说法③正确；
④若，则当A、B、P在同一条直线上时，点是线段的中点，故说法④错误
所以，正确的说法是③，
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段的性质、角的关系、两点间的距离，掌握相关概念和性质是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据题意知，据此对每个选项进行分析得出结论．
【详解】
A、，该选项错误；
B、，该选项正确；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴，有理数大小比较，绝对值以及乘方等知识．关键是通过数轴判断a、b的符号及大小．
二、填空题
11．D
解析：D
【分析】
通过观察图形可知，第一个图形是由四根火柴摆成，以后加三根就可加一个正方形，以此类推，得出结论．
【详解】
解：从图中可知n每增加1，就要多用3根火柴棍
n=1，所用火柴棍3+1=4根
n=2，所用火柴棍2×3+1=7根
n=3，所用火柴棍3×3+1=10根
n=4，所用火柴棍4×3+1=13根
…
第n个图形中就该有火柴棍3n+1．
故选择：D．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
12． 二
【解析】
【分析】
根据单项式的系数和次数定义求出即可．
【详解】
解：=·x2y,所以系数为，多项式6x2-3x+5是二次三项式，
故答案为，二．
【点睛】
本题考查了对单项式的应用，主要考查学生的理解能力．
13．-3．
【分析】
把原方程的解代入一元一次方程中，可得到关于的方程，解方程即可求得的值．
【详解】
把代入方程得，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元一次方程的解及代数式求解，理解一元一次方程的解的意义是解题的关键．
14．10
【分析】
根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵(a－3)2+|b－1|=0，
∴a－3=0，b－1=0，
a=3，b=1，
a2＋b2=32+12=9+1=10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和有理数的运算，解题关键是熟练运用非负数的性质求出字母的值，代入后准确计算．
15．5
【分析】
根据乘法分配律，将代数式变形=.
【详解】
因为
所以=
故答案为：5
【点睛】
考核知识点：整式化简求值.灵活运用分配律是关键.
16．17或23
【分析】
根据相反数、倒数的定义，计算出a+b，cd；由于m的绝对值为3，得到m的值．分别代入代数式并计算求值．
【详解】
解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为
解析：17或23
【分析】
根据相反数、倒数的定义，计算出a+b，cd；由于m的绝对值为3，得到m的值．分别代入代数式并计算求值．
【详解】
解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，
∴a+b=0，cd=1，m=±3， m2=9
∴（a+b）2+2cd+2m2-m=0+2×1+2×9-m=20-m
当m=3时，
原式=20-3=17；
当m=-3时，
原式=20-(-3)=23．
故答案是：17或23.
【点睛】
本题考查了有理数的相反数、倒数及绝对值的意义，解决本题的关键是根据相反数、倒数的意义，得到a+b=0，cd=1．
17．
【分析】
把−2按照如图中的程序计算后，若＜−5则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＜−5为止．
【详解】
解：根据题意可知，（−2）×4−（−3）＝−8＋3＝−5，
所以
解析：
【分析】
把−2按照如图中的程序计算后，若＜−5则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＜−5为止．
【详解】
解：根据题意可知，（−2）×4−（−3）＝−8＋3＝−5，
所以再把−5代入计算：（−5）×4−（−3）＝−20＋3＝−17＜−5，
即−17为最后结果．
故本题答案为：−17
【点睛】
此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．
18．
【分析】
根据绝对值的性质以及数轴的性质进行计算即可．
【详解】
由数轴得
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的运算问题，掌握绝对值的性质以及数轴的性质是解
解析：
【分析】
根据绝对值的性质以及数轴的性质进行计算即可．
【详解】
由数轴得

∴

故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的运算问题，掌握绝对值的性质以及数轴的性质是解题的关键．
三、解答题
19．
【分析】
仔细观察等式两边的数点特点，找到规律用来表示，代入即可．
【详解】
解：观察式子，得到如下规律：
第1个式子为：，
第2个式子为：，
第3个式子为：，
第个式子为：
解析：
【分析】
仔细观察等式两边的数点特点，找到规律用来表示，代入即可．
【详解】
解：观察式子，得到如下规律：
第1个式子为：，
第2个式子为：，
第3个式子为：，

第个式子为：，
第2021个式子为：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了数的规律探索，解题的关键是：找到等式中每个数与序数之间的关系，是解题的突破口．
20．（1）2；（2）60
【分析】
（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
（1）8+（﹣11）﹣（﹣5）
＝8﹣11
解析：（1）2；（2）60
【分析】
（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
（1）8+（﹣11）﹣（﹣5）
＝8﹣11+5
＝2；
（2）﹣32×（﹣5）﹣90÷（﹣6）
＝﹣9×（﹣5）+15
＝60．
【点睛】
本题主要考查有理数的混合运算法则，要注意运算顺序.
2（1）；（2）
【分析】
（1）先去括号，再合并同类项即可．
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】
（1）原式
．
（2）原式．
．
【点睛】
本题考查了整式的加减计算
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先去括号，再合并同类项即可．
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】
（1）原式
．
（2）原式．
．
【点睛】
本题考查了整式的加减计算问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
22．24
【分析】
（1）由2个矩形面积之和表示出阴影部分面积即可；
（2）将x的值代入计算即可求出值．
【详解】
(1)根据题意得：阴影部分的面积=a(2a+3)+a(2a+3−a)=3a2
解析：24
【分析】
（1）由2个矩形面积之和表示出阴影部分面积即可；
（2）将x的值代入计算即可求出值．
【详解】
(1)根据题意得：阴影部分的面积=a(2a+3)+a(2a+3−a)=3a2+6a；
(2)当a＝2时,原式=3×22+2×6=24.
答：图中阴影部分的面积是24.
【点睛】
本题考查代数式求值和列代数式，解题的关键是根据题意列代数式.
23．（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
解析：（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，

（1）①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5．
依据为：垂线段最短．
故答案为：5，垂线段最短．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
24．①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．
【分析】
①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；
②
解析：①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．
【分析】
①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；
②根据运算性质：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）进行计算；
③通过9=32，27=33，可以判断f（3）是否正确，同样依据5=，假设f（5）正确，可以求得f（2）的值，即可通过f（8），f（12）作出判断．
【详解】
解：①根据定义知：f（10b）=b，
∴f（10）=1，
f（103）=3．
故答案为：1，3．
②根据运算性质，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，
f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．
故答案为：0.6020；0.6990．
③若f（3）≠2a-b，则f（9）=2f（3）≠4a-2b，
f（27）=3f（3）≠6a-3b，
从而表中有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（3）=2a-b；
若f（5）≠a+c，则f（2）=1-f（5）≠1-a-c，
∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，
f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，
表中也有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（5）=a+c，
∴表中只有f（1.5）和f（12）的对应值是错误的，应改正为：
f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，
f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．
∵9=32，27=33，
∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．
【点睛】
本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．
25．（1）购买1台A型电脑需要3000元，1台B型电脑需要2500元；（2）3种，详见解析．
【分析】
（1）设购买1台A型电脑需要x元，1台B型电脑需要y元，根据“购买1台A型电脑比购买1台B型
解析：（1）购买1台A型电脑需要3000元，1台B型电脑需要2500元；（2）3种，详见解析．
【分析】
（1）设购买1台A型电脑需要x元，1台B型电脑需要y元，根据“购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买1台A型电脑和2台B型电脑共需8000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；
（2）设购买A型电脑m台，则购买B型电脑(30﹣m)台，根据“购买电脑的总费用不超过86250元，且A型电脑台数不少于B型电脑台数的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】
解：（1）设购买1台A型电脑需要x元，1台B型电脑需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买1台A型电脑需要3000元，1台B型电脑需要2500元．
（2）设购买A型电脑m台，则购买B型电脑(30﹣m)台，
依题意得：，
解得：20≤m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购买A型电脑20台，B型电脑10台；
方案2：购买A型电脑21台，B型电脑9台；
方案3：购买A型电脑22台，B型电脑8台．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，找出题目中的数量关系列出方程组和不等式组是解答本题的关键．
26．（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．
【分析】
（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；
解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．
【分析】
（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】
解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，

∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，
∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时

∵∠MPQ=α
∴∠QPN=α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时

∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有
，，
①当时，如图：

∴，
解得：；
②当，即时，如图：

∴，
解得：；
③当，如图：

∴，
解得：；
④当，如图：

∵，，
∴，
解得：；
∵的最大值为：，
∴不符合题意，舍去；
综合上述，t=，4，5秒．
【点睛】
本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
27．（1） ；（2）或； （3）
【分析】
（1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案；
（2）由题意得：再分当时，当＜＜时，当时，三种情况讨论，从而可得答案；
（3）设两只小虫的相
解析：（1） ；（2）或； （3）
【分析】
（1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案；
（2）由题意得：再分当时，当＜＜时，当时，三种情况讨论，从而可得答案；
（3）设两只小虫的相遇时运动时间为，结合题意可得： 解方程求解时间，再求点对应的数即可．
【详解】
解：（1）动点P从原点出发向左移动4个单位长度到达点A，
则点对应的数为：
再向右移动7个单位长度到达点B，
则点对应的数为：
（2）存在，理由如下：
设对应的数为： 则由题意得：

当时，

经检验：符合题意，
当＜＜时，方程左边
此时方程无解，
当时，

经检验：符合题意，
综上：点P到点A和点B的距离之和为9时，或
（3）设两只小虫的相遇时运动时间为，结合题意可得：

点对应的数为：
【点睛】
本题考查的是数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的解法，一元一次方程的应用，掌握数轴上点运动后对应的数的表示规律，两点间的距离，分类讨论是解题的关键．