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初三数学二次函数的专项培优练习题附答案解析

一、二次函数
1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.

（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【解析】
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.

（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)；（3）t=1，(1+，2)和(1－，2).
【解析】
【分析】
（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；
（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；
（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．
【详解】
（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，
∴OC=3=n．
当y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B（3，0）．
在△AOC中，∠AOC＝90°，tan∠CAO=，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，
得
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；
(2) 如图1，

∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴 ∴P点的坐标为(t，－t+3)，
Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).
∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |
∴；
∵d，e是y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，
∴△≥0，即△=(m+3)2－4×(5m2－2m+13)≥0
整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，
∴△=0，m=1，
∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2
∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"
∴此时Q是抛物线的顶点，
延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，
∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，
∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+，x2=1－
综上：t值为1，M点坐标为(1+，2)和(1－，2).

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

4．抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当时，求点A，点E的坐标；
（Ⅱ）若顶点E在直线上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若，当满足值最小时，求b的值。
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；
（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时值最小，从而求出b的值.
【详解】
解：（Ⅰ）把点和代入函数，
有。解得

（Ⅱ）由，得
∵点E在直线上，

当时，点A是最高点此时，
（Ⅲ）：抛物线经过点，有

∴E关于x轴的对称点为
设过点A，P的直线为.把代入，得
把点代入.
得，即
解得，。
舍去.

【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

5．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．
【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m的取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出关于m的不等式组，求解即可。
【详解】
（1）解：抛物线与x轴有2个交点。理由如下：
∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．
∴抛物线与x轴有2个交点
（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上
∴抛物线的对称轴x=
∴ =2,即m=-2．
∴抛物线的表达式为y=x2-4x．
∴点A（0，0），点B（4，0）或点A（4，0），点B（0，0），点M（2，-4）
∴△ABM的面积为×4×4=8
（3）解：方法一（图象法）：
∵抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m，开口向上。
∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．
综上所述，m的取值范围m>-2.5
方法二（代数法）：
由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m．
∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m＞-2.5.
【点睛】
二次函数的综合应用题。与X轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。熟练运用顶点坐标（-，）

6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；
（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．
【详解】
解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴点A的坐标为(﹣3，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，
∴y＝a(x+3)(x﹣1)．
∵点C的坐标为(0，﹣1)，
∴﹣3a＝﹣1，得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；
(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，
则点F的坐标为(m，m 2+m﹣1)
∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣m 2+m+4
即y＝-(m﹣) 2+，
此时点E的坐标为(，)；
(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．
理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．
∴EG垂直平分CD
∴点E的纵坐标y＝＝1，
将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．
∵EG关于y轴对称，
∴点G的坐标为(2，1)；
②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG
设点E的坐标为(n，n+3)，
点D的坐标为(0，3)
∴DE＝＝
∵DE＝DC＝4，
∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．
∴点E的坐标为(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)
将点E向下平移4个单位长度可得点G，
点G的坐标为(﹣2，﹣2﹣1)(如图2)或(2，2﹣1)(如图3)
③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，
设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．
∴EC＝＝．
∵EC＝CD＝4，
∴2k2+8k+16＝16，
解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．
∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)
将点E上移1个单位长度得点G．
∴点G的坐标为(﹣4，3)．
综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

【点睛】
本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

7．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x=，
∴M2（，﹣）.
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

8．如图1，二次函数的图像与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点.

（1）求二次函数的表达式及点、点的坐标;
（2）若点在二次函数图像上，且，求点的横坐标;
（3）将直线向下平移，与二次函数图像交于两点(在左侧)，如图2，过作轴，与直线交于点，过作轴，与直线交于点，当的值最大时，求点的坐标.
【答案】（1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；（3）M（，﹣）
【解析】
【分析】
（1）求出a，即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，再确定ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；
【详解】
（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a＝，
∴y＝x2﹣x﹣3，
与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），
∴DH＝|x2﹣3x|，
∵S△ABC＝，
∴S△DBC＝＝6，
∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；
∴D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），
则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），
∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝,
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，
∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，ME+MN有最大值，
∴M（，﹣）
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.

9．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣（x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”．
（1）若直线AB的解析式为：y＝﹣3x+6，求AB的”姊线”CD的解析式为：　 　（直接填空）；
（2）若直线AB的”母线”解析式为：，求AB的”姊线”CD的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P为第二象限”母线”上的动点，连接OP，交”姊线”CD于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求y的最大值；
（4）如图3，若AB的解析式为：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊线”为CD，点G为AB的中点，点H为CD的中点，连接OH，若GH＝，请直接写出AB的”母线”的函数解析式．

【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m＝﹣，y最大值为；（4）y＝x2﹣2x﹣3．
【解析】
【分析】
（1）由k，b的值以及”姊线”的定义即可求解；
（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得点A、B、C的坐标，从而求得直线CD的表达式；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，
从而求得直线OP的表达式，将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标，
由此求得，从而求得y＝﹣m2﹣m+3，故当m＝﹣，y最大值为；
（4）由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得点C、D的坐标，由此可得点H坐标，同理可得点G坐标，
由勾股定理得：m值，即可求得点A、B、C的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．
【详解】
（1）由题意得：k＝﹣3，b＝6，
则答案为：y＝（x+6）；
（2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2或﹣4，
点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），
则直线CD的表达式为：y＝（x+4）＝x+2；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，
则直线OP的表达式为：y＝x，
将直线OP和CD表达式联立得，
解得：点Q（，）
则＝﹣m2﹣m+4，
y＝＝﹣m2﹣m+3，
当m＝﹣，y最大值为；
（4）直线CD的表达式为：y＝﹣（x+3），
令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝﹣3，
故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣），则点H（﹣，﹣），
同理可得：点G（﹣，），
则GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，
解得：m＝﹣3（正值已舍去），
则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），
则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.

10．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．
（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝x+3（2≤x≤10）．
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在　 　范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？

【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．
【解析】
【分析】
（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．
【详解】
（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．
∴设其解析式为y＝kx+b，
∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，
∴，
解得k＝﹣，b＝13，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+13，
当x＝6时，y＝10，
答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，
当x＝﹣＝9时，x＝9不在取值范围内，
∴当x＝8时，此时W最大值＝﹣x2+9x＝40万元；
（3）①由题意得：﹣x2+9x＝9x﹣（x+3）
解得x＝﹣2（舍去），x＝3，
答该公司买入杨梅3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．

11．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（，），对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a，把点B的坐标代入求得a的值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；
（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M的坐标是，
∴设抛物线解析式为y＝（a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，
∴点B的坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线的解析式为：y＝＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝的对称轴是直线x＝，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N的坐标是．
∴．
设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
∵PD∥MN．
当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝．
解得 m1＝（舍去），m2＝．
此时P（，1）．
∵PN＝，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形．
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在，理由如下：
设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），
∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，
∴P（n，﹣2n+4）．
由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB•OA＝×4×2＝4．
则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．
S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）
＝yD﹣yP
＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2．
当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．
此时点D的坐标是（1，4）．

【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

12．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w=（x-20-a）（-10x+500）=-10x2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a≤38，则当时，取得最大值，解方程得到a1=2，a2=58，于是得到a=2．
【详解】
解：（1）根据题意得，；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元．

对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a ≤38，
则当时，取得最大值，
∴
∴（不合题意舍去），
∴．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．

13．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过