资源描述
中学自主招生数学试卷
一．选择题（满分24分，每小题3分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．0是无理数 B．π是有理数 C．4是有理数 D．是分数
2．12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×103 B．2.6×103 C．0.26×104 D．2.6×104
3．下列计算错误的是（ ）
A．4x3•2x2＝8x5 B．a4﹣a3＝a
C．（﹣x2）5＝﹣x10 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
4．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6
6．解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（ ）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
7．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：
（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；
（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；
（3）作射线OC交AB边于点P．
那么小明所求作的线段OP是△AOB的（ ）
A．一条中线 B．一条高
C．一条角平分线 D．不确定
8．如图，平面内一个⊙O半径为4，圆上有两个动点A、B，以AB为边在圆内作一个正方形ABCD，则OD的最小值是（ ）
A．2 B． C．2﹣2 D．4﹣4
二．填空题（满分30分，每小题3分）
9．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为 ．
10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是 ．
11．因式分解：9a3b﹣ab＝ ．
12．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是 ．
13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为 ．
14．如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 ．
15．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．
16．反比例函数y＝﹣图象上三点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＞”连接）
17．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
18．如图1，在等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为 ．
三．解答题
19．（8分）（1）计算：2cos60°﹣（﹣π）0+﹣（）﹣2
（2）解不等式组：，并求不等式组的整数解．
20．（8分）先化简，再求值：（）•（x2﹣1），其中x是方程x2﹣4x+3＝0的一个根．
21．（8分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？
22．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．
23．（10分）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此求的比例购买这4000件物品，而筹集资金多少元？
24．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）试探究：当AB：BC＝ ，菱形AEDF为正方形？请说明理由．
25．（10分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：BE＝CF．
26．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
27．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
参考答案
一．选择题
1．解：A、0是有理数，所以A选项错误；
B、π不是有理数，是无理数，所以B选项错误；
C、4是有理数中的正整数，所以C选项正确；
D、是一个无理数，所以选项D错误．
故选：C．
2．解：2.6万用科学记数法表示为：2.6×104，
故选：D．
3．解：A、4x3•2x2＝8x5，故原题计算正确；
B、a4和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（﹣x2）5＝﹣x10，故原题计算正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原题计算正确；
故选：B．
4．解：由主视图定义知，该几何体的主视图为：
故选：A．
5．解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b；
B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b；
C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b；
D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b；
故选：C．
6．解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
故选：D．
7．解：利用作法可判断OC平分∠AOB，
所以OP为△AOB的角平分线．
故选：C．
8．解：如图，连接OA，OB，将△OAB绕点A逆时针旋转90°得到△PAD，
则OA＝PD＝4，∠OAP＝90°，
∴OP＝＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝99°，
∴∠DBP＝∠BAO，
∴△DBP≌△ABO（SAS），
∴PD＝OA＝4，
∵OD+PD≥OP，
∴OD≥OP﹣PD＝4﹣4．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．解：∵b＝+﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab＝（）﹣2＝4．
故答案为：4．
10．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则cos∠BAC＝＝，
故答案为：．
11．解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．
故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）
12．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，
∴，
解得：k＝．
故答案为：．
13．解：向左转的次数45÷5＝9（次），
则左转的角度是360°÷9＝40°．
故答案是：40°．
14．解：由一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，
根据图象可知：x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2，
故答案为：x＜2．
15．解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．
16．解：反比例函数y＝﹣图象在二、四象限，
点A在第二象限，y1＞0，
点B、C都在第四象限，在第四象限，y随x的增大而增大，且纵坐标为负数，所以y2＜y3＜0，
因此，y2＜y3＜0＜y1，即：y1＞0＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
17．解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．
18．解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
设AB＝a，则，
∴y＝，
当x＝时，y取得最大值2，
即P为BC中点时，CD的最大值为2，
∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，
∴PC＝BP＝4，
∴等边三角形的边长为8，
∴根据等边三角形的性质，可得S＝×82＝16．
故答案为：16．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．解：（1）原式＝2×﹣1﹣2﹣9
＝1﹣1﹣2﹣9
＝﹣11；
（2）
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜5，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
20．解：（）•（x2﹣1）
＝
＝2x+2+x﹣1
＝3x+1，
由x2﹣4x+3＝0得x1＝1，x2＝3，
当x＝1时，原分式中的分母等于0，使得原分式无意义，
当x＝3时，原式＝3×3+1＝10．
21．解：（1）调查的总人数是：224÷40%＝560（人），故答案是：560；
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×＝54°，故答案是：54；
（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224＝84（人）．
；
（4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×＝1800（人）．
22．解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；
（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．
23．解：（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元/件，
可得：，
解得：x＝90，
经检验x＝90是原方程的解，
答：甲单价 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）设甲种物品件数y件，可得：
y+3y＝4000，
解得：y＝1000，
所以筹集资金＝90×1000+80×3000＝330000 元，
答：筹集资金330000 元．
24．（1）证明：∵AF∥ED，AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形；
（2）解：当AB：BC＝1：2，菱形AEDF为正方形．
理由如下：
∵AB：BC＝1：2，
而点E是边BC的中点，
∴AB＝EA，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠AEB＝45°，
∵△ABE≌△DCE，
∴∠DEC＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵四边形AEDF为菱形，
∴菱形AEDF为正方形．
故答案为1：2．
25．证明：连接DB、DF，
∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
26．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
27．解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，
∵cosα＝，∴sinα＝，
过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，
解得：a＝2或（舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC•CE＝CD2，
即：y＝x2﹣x+10（0＜x＜16且x≠10）…①，
（3）①当DF＝DC时，
∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10＝x2﹣x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x＝；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在；
故：AD的长为6和．
28．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12
∴四边形MNGF周长最小值为12．
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．
过点P作PE∥y轴交直线OD于点E
∵D（2，﹣6）
∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t， t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t
∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•xP+PE•（xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE•xD＝PE＝﹣t2+t
∵△ODP中OD边上的高h＝，
∴S△ODP＝OD•h
∴﹣t2+t＝×2×
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧
∴PE＝yP﹣yE＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•xP﹣PE•（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE•xD＝PE＝t2﹣t
∴t2﹣t＝×2×
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，0）
连接AC，交KL于点H
∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
中学自主招生数学试卷
一．选择题（满分24分，每小题3分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．0是无理数 B．π是有理数 C．4是有理数 D．是分数
2．12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（ ）
A．0.26×103 B．2.6×103 C．0.26×104 D．2.6×104
3．下列计算错误的是（ ）
A．4x3•2x2＝8x5 B．a4﹣a3＝a
C．（﹣x2）5＝﹣x10 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
4．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6
6．解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（ ）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
7．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：
（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；
（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；
（3）作射线OC交AB边于点P．
那么小明所求作的线段OP是△AOB的（ ）
A．一条中线 B．一条高
C．一条角平分线 D．不确定
8．如图，平面内一个⊙O半径为4，圆上有两个动点A、B，以AB为边在圆内作一个正方形ABCD，则OD的最小值是（ ）
A．2 B． C．2﹣2 D．4﹣4
二．填空题（满分30分，每小题3分）
9．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为 ．
10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是 ．
11．因式分解：9a3b﹣ab＝ ．
12．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是 ．
13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为 ．
14．如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 ．
15．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．
16．反比例函数y＝﹣图象上三点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＞”连接）
17．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
18．如图1，在等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为 ．
三．解答题
19．（8分）（1）计算：2cos60°﹣（﹣π）0+﹣（）﹣2
（2）解不等式组：，并求不等式组的整数解．
20．（8分）先化简，再求值：（）•（x2﹣1），其中x是方程x2﹣4x+3＝0的一个根．
21．（8分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？
22．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．
23．（10分）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此求的比例购买这4000件物品，而筹集资金多少元？
24．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）试探究：当AB：BC＝ ，菱形AEDF为正方形？请说明理由．
25．（10分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：BE＝CF．
26．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
27．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
参考答案
一．选择题
1．解：A、0是有理数，所以A选项错误；
B、π不是有理数，是无理数，所以B选项错误；
C、4是有理数中的正整数，所以C选项正确；
D、是一个无理数，所以选项D错误．
故选：C．
2．解：2.6万用科学记数法表示为：2.6×104，
故选：D．
3．解：A、4x3•2x2＝8x5，故原题计算正确；
B、a4和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（﹣x2）5＝﹣x10，故原题计算正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原题计算正确；
故选：B．
4．解：由主视图定义知，该几何体的主视图为：
故选：A．
5．解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b；
B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b；
C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b；
D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b；
故选：C．
6．解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
故选：D．
7．解：利用作法可判断OC平分∠AOB，
所以OP为△AOB的角平分线．
故选：C．
8．解：如图，连接OA，OB，将△OAB绕点A逆时针旋转90°得到△PAD，
则OA＝PD＝4，∠OAP＝90°，
∴OP＝＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝99°，
∴∠DBP＝∠BAO，
∴△DBP≌△ABO（SAS），
∴PD＝OA＝4，
∵OD+PD≥OP，
∴OD≥OP﹣PD＝4﹣4．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．解：∵b＝+﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab＝（）﹣2＝4．
故答案为：4．
10．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则cos∠BAC＝＝，
故答案为：．
11．解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．
故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）
12．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，
∴，
解得：k＝．
故答案为：．
13．解：向左转的次数45÷5＝9（次），
则左转的角度是360°÷9＝40°．
故答案是：40°．
14．解：由一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，
根据图象可知：x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2，
故答案为：x＜2．
15．解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．
16．解：反比例函数y＝﹣图象在二、四象限，
点A在第二象限，y1＞0，
点B、C都在第四象限，在第四象限，y随x的增大而增大，且纵坐标为负数，所以y2＜y3＜0，
因此，y2＜y3＜0＜y1，即：y1＞0＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
17．解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．
18．解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
设AB＝a，则，
∴y＝，
当x＝时，y取得最大值2，
即P为BC中点时，CD的最大值为2，
∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，
∴PC＝BP＝4，
∴等边三角形的边长为8，
∴根据等边三角形的性质，可得S＝×82＝16．
故答案为：16．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．解：（1）原式＝2×﹣1﹣2﹣9
＝1﹣1﹣2﹣9
＝﹣11；
（2）
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜5，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
20．解：（）•（x2﹣1）
＝
＝2x+2+x﹣1
＝3x+1，
由x2﹣4x+3＝0得x1＝1，x2＝3，
当x＝1时，原分式中的分母等于0，使得原分式无意义，
当x＝3时，原式＝3×3+1＝10．
21．解：（1）调查的总人数是：224÷40%＝560（人），故答案是：560；
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×＝54°，故答案是：54；
（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224＝84（人）．
；
（4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×＝1800（人）．
22．解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；
（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．
23．解：（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元/件，
可得：，
解得：x＝90，
经检验x＝90是原方程的解，
答：甲单价 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）设甲种物品件数y件，可得：
y+3y＝4000，
解得：y＝1000，
所以筹集资金＝90×1000+80×3000＝330000 元，
答：筹集资金330000 元．
24．（1）证明：∵AF∥ED，AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形；
（2）解：当AB：BC＝1：2，菱形AEDF为正方形．
理由如下：
∵AB：BC＝1：2，
而点E是边BC的中点，
∴AB＝EA，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠AEB＝45°，
∵△ABE≌△DCE，
∴∠DEC＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵四边形AEDF为菱形，
∴菱形AEDF为正方形．
故答案为1：2．
25．证明：连接DB、DF，
∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
26．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
27．解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，
∵cosα＝，∴sinα＝，
过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，
解得：a＝2或（舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC•CE＝CD2，
即：y＝x2﹣x+10（0＜x＜16且x≠10）…①，
（3）①当DF＝DC时，
∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10＝x2﹣x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x＝；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在；
故：AD的长为6和．
28．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
