幻方解法整理归纳.doc

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）
奇数阶幻方
n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：
把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数：
(1)每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

口诀：
1居首行正中央,
依次右上莫相忘
上出格时往下放,
右出格时往左放.
排重便往自下放,
右上出格一个样

图一
2、单偶数阶幻方——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）
① 把阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二)

图二
（注意A、B、C、D的相对位置不能改变，因为为奇数，所以A、B、C、D均为奇数阶幻方）
② 用连续摆数法在A中填入构成幻方，同理，在B中填入、在C中填入、在D中填入均构成幻方（）(如图三)

图三
（因为为奇数，所以A、B、C、D均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）
③ 在A的中间一行上从左侧的第二列起取个方格，在其它行上则从左侧第一列起取个方格，把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调(如图四)：

图四
不管是几阶幻方，在A中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当时，，所以本例中只取了一个数）
④ 在A中从最右一列起在各行中取个方格，把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调。（如图五）

图五
3、双偶数阶幻方——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例）
① 把阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六）

图六
② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格（如图七）

图七
（正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格）
③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格（如图八）

图八
（从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入阶幻方，当遇到有底色的方格时空出不填即可）
④ 从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入阶幻方，这样填满了有底色的方格(如图九)
图九即为所求幻方。

图九

或者
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。（图中红色数字可用中心对称得到）