北师大版八年级上册压轴题数学数学模拟试题.doc

北师大版八年级上册压轴题数学数学模拟试题一、压轴题1如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足（1）a= ；b= ；直角三角形AOC的面积为 （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒问：是否存在这样的t，使得ODP与ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，若DOC=DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分GOD点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究GOD，OHC，ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)解析：（1）6；8；24；（2）存在时，使得ODP与ODQ的面积相等；（3）GOD+ACE=OHC，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论,即可求出ABC的面积；（2）先表示出OQ，OP，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出OAC=AOD，进而判断出OGAC，即可判断出FHC=ACE，同理FHO=GOD，即可得出结论【详解】解：(1) 解：（1），a-6=0，b-8=0，a=6，b=8，A（0，6），C（8，0）；SABC=682=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24 (2) 由时, 存在时,使得ODP与ODQ的面积相等(3) ）2GOA+ACE=OHC，理由如下：x轴y轴，AOC=DOC+AOD=90OAC+ACO=90又DOC=DCOOAC=AODy轴平分GODGOA=AODGOA=OACOGAC，如图，过点H作HFOG交x轴于F，HFACFHC=ACE同理FHO=GOD，OGFH，GOD=FHO，GOD+ACE=FHO+FHC即GOD+ACE=OHC， 2GOA+ACE=OHCGOD+ACE=OHC【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键2如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，EDF30，ABC40，CD平分ACB，将DEF绕点D按逆时针方向旋转，记ADF为（0180），在旋转过程中；（1）如图2，当 时，当 时，DEBC；（2）如图3，当顶点C在DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，此时的度数范围是 ；1与2度数的和是否变化？若不变求出1与2度数和；若变化，请说明理由；若使得221，求的度数范围解析：（1）10，100；（2）5585；1与2度数的和不变，理由见解析5560【解析】【分析】（1）当EDAB40时，得出3040，即可得出结果；当时，DEAB，得出5030180，即可得出结果；（2）由已知得出ACD45，A50，推出CDA85，当点C在DE边上时，3085，解得55，当点C在DF边上时，85，即可得出结果；连接MN，由三角形内角和定理得出CNMCMNMCN180，则CNMCMN90，由三角形内角和定理得出DNMDMNMDN180，即2CNMCMN1MDN180，即可得出结论；由，1260，得出22（602），解得240，由三角形内角和定理得出2NDMA180，即23050180，则2100，得出10040，解得60，再由当顶点C在DEF内部时，5585，即可得出结果【详解】解：（1）B40，当EDAB40时，而EDF30，解得：10；当时，DEAB，此时A+EDA180，解得：100；故答案为10，100；（2）ABC40，CD平分ACB，ACD45，A50，CDA85，当点C在DE边上时，解得：，当点C在DF边上时，当顶点C在DEF内部时，；故答案为：；1与2度数的和不变；理由如下：连接MN，如图所示：在CMN中，CNM+CMN+MCN180，CNM+CMN90，在MND中，DNM+DMN+MDN180，即2+CNM+CMN+1+MDN180，；221，1+260，240，即，解得：60，当顶点C在DEF内部时，的度数范围为【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键3（1）如图1，和都是等边三角形，且，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、恰交于点求证：； 如图2，在（2）的条件下，试猜想，与存在怎样的数量关系，并说明理由解析：（1）详见解析；（2）详见解析；，理由详见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60，进而得出BCE=ACD，判断出（SAS），即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出（SAS），（SAS），即可得出结论； 先判断出APB=60，APC=60，在PE上取一点M，使PM=PC，证明是等边三角形， 进而判断出（SAS），即可得出结论【详解】（1）证明：和都是等边三角形， BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60， ABC+ACE=DCE+ACE， 即BCE=ACD， （SAS）， BE=AD； （2）证明：和是等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60， ACB+BCD=DCE+BCD， 即ACD=BCE， （SAS）， AD=BE， 同理：（SAS）， AD=CF， 即AD=BE=CF； 解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则AQC=BQP， 由知， CAD=CBE， 在中，CAD+AQC=180-ACB=120， CBE+BQP=120， 在中，APB=180-（CBE+BQP）=60， DPE=60， 同理：APC=60， CPD=120， 在PE上取一点M，使PM=PC， 是等边三角形， ，PCM=CMP=60， CME=120=CPD， 是等边三角形， CD=CE，DCE=60=PCM， PCD=MCE， （SAS）， PD=ME， BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键4如图，在中，点为内一点，且（1）求证：；（2）若，为延长线上的一点，且求的度数若点在上，且，请判断、的数量关系，并说明理由若点为直线上一点，且为等腰，直接写出的度数解析：（1）证明见解析；（2）；，理由见解析； 7.5或15或82.5或150【解析】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；（2）利用SSS证得ADCBDC，可求得ACD=BCD=45，CAD=CBD=15，即可解题；连接MC，易证MCD为等边三角形，即可证明BDCEMC即可解题；分EN=EC、EN=CN、CE=CN三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解【详解】（1）CB=CA，DB=DA， CD垂直平分线段AB，CDAB；（2）在ADC和BDC中，ADCBDC（SSS），ACD=BCD=BCA=45，CAD=CBD=15，BDC=180-45-15=120；结论：ME=BD，理由：连接MC，CAB=CBA=45，CAD=CBD=15，DBA=DAB=30，BDE=30+30=60，由得BDC=120，CDE=60，DC=DM，CDE=60，MCD为等边三角形，CM=CD，EC=CA=CB，DMC=60，E=CAD=CBD=15，EMC=120，在BDC和EMC中，BDCEMC（AAS），ME=BD；当EN=EC时，=7.5或 =82.5；当EN=CN时， =150；当CE=CN时，点N与点A重合，CNE=15，所以CNE的度数为7.5或15或82.5或150【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题5RtABC中，C=90，点D、E分别是ABC边AC、BC上的点，点P是一动点令PDA=1，PEB=2，DPE=（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且=60，则1+2= ；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则、1、2之间的关系为 ；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到ABC形外，如图（4）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由 解析：(1)150；(2)1290；(3)1902，理由详见解析；(4)2901，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，CDP=180-1，CEP=180-2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论【详解】解：(1) 1+CDP=180，CDP=180-1，同理：CEP=180-2，根据四边形的内角和定理得，CDP+DPE+CEP+C=360，C=90，180-1+180-2+90=360，1+2=90+=90+60=150，故答案为：150； (2) 1+CDP=180，CDP=180-1，同理：CEP=180-2，根据四边形的内角和定理得，CDP+DPE+CEP+C=360，C=90，180-1+180-2+90=360，1+2=90+，故答案为：1+2=90+；(3)1902 理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，2DFE，DFEC1，1C2902 (4)2901，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，PGDEGC，1801C1802，2901故答案为2901【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将1，2，转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题6某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究（1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P，A64，则BPC ；（2）如图2，ABC的内角ACB的平分线与ABC的外角ABD的平分线交于点E其中A，求BEC（用表示BEC）；（3）如图3，CBM、BCN为ABC的外角，CBM、BCN的平分线交于点Q，请你写出BQC与A的数量关系，并说明理由；（4）如图4，ABC外角CBM、BCN的平分线交于点Q，A=64，CBQ，BCQ的平分线交于点P，则BPC= ，延长BC至点E，ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则R= 解析：（1） 122；（2）；（3）；（4）119，29 ；【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，再利用与表示出，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出与，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出BPC的度数；根据（2）的结论可以得到R的度数【详解】解：（1）、分别平分和，故答案为：；（2）如图2示，和分别是和的角平分线，又是的一外角，是的一外角，；（3），结论（4）由（3）可知，再根据（1），可得；由（2）可得：;故答案为：119，29【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键7如图1，在平面直角坐标系中，点的坐为，点的坐标为，在中，轴交轴于点（1）求和的度数；（2）如图，在图的基础上，以点为一锐角顶点作，交于点，求证：；（3）在第（）问的条件下，若点的标为，求四边形的面积解析：（1）OAD=ODA=45；（2）证明见解析；（3）18【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；（2）通过“ASA”可证得ODBOAP，进而可得BO=OP；（3）过点P作PFx轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQBC于Q，由“AAS”可证OBMOPF，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC的面积【详解】（1）点A的坐为（2，0），点D的坐标为（0，-2），OA=OD，AOD=90，OAD=ODA=45；（2）BOE=AOD=90，BOD=AOP，ABC=ACB=45，BAC=90，AB=AC，OAD=ODA=45，ODB=135=OAP，在ODB和OAP中，ODBOAP（ASA），BO=OP；（3）如图，过点P作PFx轴于点F，延长FP交BC于N，过点A作AQBC于Q，BCx轴，AQBC，PFx轴，AQx轴，PNBC，AOM=BMO=90，点Q横坐标为2，BAC=90，AB=AC，AQBC，BQ=QC，点B的标为（-2，-4），BM=2，OM=4，BQ=4=QC，PFx轴，OFP=OMB=90，在OBM和OPF中，OBMOPF（AAS），PF=BM=2，OF=OM=4，BCx轴，AQx轴，NFx轴，OM=AQ=FN=4，PN=2，PNC=90，ACB=45，ACB=CPN=45，CN=PN=2，四边形BOPC的面积=SOBM+S梯形OMNP+SPNC，四边形BOPC的面积=24+4（2+4）+22=18【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键8已知：中，过B点作BEAD，(1)如图1，点在的延长线上，连，作于，交于点求证：；(2)如图2，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点在CB延长线上，且，连接、的延长线交于点，若，请直接写出的值解析：（1）见详解，（2），证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明，只要证明即可；（2）结论：如图2中，作于只要证明，推出，由，推出即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，于，(AAS)，（2）结论：理由：如图2中，作于，（3）如图3中，作于交AC延长线于，设，则，【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法9阅读并填空：如图，是等腰三角形，是边延长线上的一点，在边上且联接交于，如果，那么，为什么？解：过点作交于所以（两直线平行，同位角相等）（_）在与中所以，（_）所以（_）因为（已知）所以（_）所以（等量代换）所以（_）所以解析：见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明，写出证明过程和依据即可【详解】解：过点作交于，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等），在与中，（）（全等三角形对应边相等）（已知）（等边对等角）（等量代换）（等角对等边）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.10如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究（1）如图1，展开后，测得，则可判定a/b，请写出判定的依据_；（2）如图2，若要使a/b，则与应该满足的关系是_；（3）如图3，纸带两条边线a，b互相平行，折叠后的边线b与a交于点C，若将纸带沿（，分别在边线a，b上）再次折叠，折叠后的边线b与a交于点，AB/，求出的长解析：（1）内错角相等，两直线平行；（2）1+22=180；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：3=4，若ab，则3=2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：当B1在B的左侧时，如图2，当B1在B的右侧时，如图3，分别求出的长，即可得到答案【详解】（1），ab（内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：3=4，若ab，则3=2，4=2，2+4+1=180，1+22=180，要使ab，则与应该满足的关系是：1+22=180故答案是：1+22=180；（3）当B1在B的左侧时，如图2，AB/，ab，AA1=BB1=3，=AC- AA1=7-3=4；当B1在B的右侧时，如图3，AB/，ab，AA1=BB1=3，=AC+AA1=7+3=10综上所述：=4或10【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键11（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若BAC=DAE，AB=AC，AD=AE，则ABDACE（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现（深入探究）（2）如图2，ABC和AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：BD=EC；BOC=60；AOE=60；EO=CO，其中正确的有(将所有正确的序号填在横线上)（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，ABC=BDC=60，试探究A与C的数量关系解析：（1）证明见解析；（2）；（3）A+C=180【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出BAD=CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出ABDACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出BOC=60，再判断出BCFACO，得出AOC=120，进而得出AOE=60，再判断出BFCF，进而判断出OBC30，即可得出结论；（3）先判断出BDP是等边三角形，得出BD=BP，DBP=60，进而判断出ABDCBP（SAS），即可得出结论【详解】（1）证明：BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE，在ABD和ACE中， ，ABDACE；（2）如图2，ABC和ADE是等边三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60，BAD=CAE，在ABD和ACE中， ，ABDACE，BD=CE，正确，ADB=AEC，记AD与CE的交点为G，AGE=DGO，180-ADB-DGO=180-AEC-AGE，DOE=DAE=60，BOC=60，正确，在OB上取一点F，使OF=OC，OCF是等边三角形，CF=OC，OFC=OCF=60=ACB，BCF=ACO，AB=AC，BCFACO（SAS），AOC=BFC=180-OFC=120，AOE=180-AOC=60，正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=CE，BD=CE，CF=OF=BD，OF=BF+OD，BFCF，OBCBCF，OBC+BCF=OFC=60，OBC30，而没办法判断OBC大于30度，所以，不一定正确，即：正确的有，故答案为；（3）如图3， 延长DC至P，使DP=DB，BDC=60，BDP是等边三角形，BD=BP，DBP=60，BAC=60=DBP，ABD=CBP，AB=CB，ABDCBP（SAS），BCP=A，BCD+BCP=180，A+BCD=180【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键12已知在ABC中，ABAC，射线BM、BN在ABC内部，分别交线段AC于点G、H（1）如图1，若ABC60，MBN30，作AEBN于点D，分别交BC、BM于点E、F求证：12；如图2，若BF2AF，连接CF，求证：BFCF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若BFEBAC2CFE，求的值解析：（1）见解析；见解析；（2）2【解析】【分析】（1）只要证明2+BAF1+BAF60即可解决问题；只要证明BFCADB，即可推出BFCADB90；（2）在BF上截取BKAF，连接AK只要证明ABKCAF，可得SABKSAFC，再证明AFFKBK，可得SABKSAFK，即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，ABAC，ABC60ABC是等边三角形，BAC60，ADBN，ADB90，MBN30，BFD601+BAF2+BAF，12证明：如图2中，在RtBFD中，FBD30，BF2DF，BF2AF，BFAD，BAEFBC，ABBC，BFCADB，BFCADB90，BFCF（2）在BF上截取BKAF，连接AKBFE2+BAF，CFE4+1，CFB2+4+BAC，BFEBAC2EFC，1+42+412，ABAC，ABKCAF，34，SABKSAFC，1+32+3CFEAKB，BAC2CEF，KAF1+3AKF，AFFKBK，SABKSAFK，【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题13在中，是直线上一点，在直线上，且（1）如图1，当D在上，在延长线上时，求证：；（2）如图2，当为等边三角形时，是的延长线上一点，在上时，作，求证：；（3）在（2）的条件下，的平分线交于点，连，过点作于点，当，时，求的长度解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EFAC交AB于F，根据已知条件得到ABC是等边三角形，推出BEF是等边三角形，得到BE=EF，BFE=60，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明ABFCBF，得AF=CF，再证明DH=AH=CF=3【详解】解：（1）AB=AC，ABC=ACB，DE=DC，E=DCE，ABC-E=ACB-DCB，即EDB=ACD；（2）ABC是等边三角形，B=60，BEF是等边三角形，BE=EF，BFE=60，DFE=120，DFE=CAD，在DEF与CAD中，DEFCAD（AAS），EF=AD，AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：DE=DC，EDC=30，DEC=DCE=75，ACF=75-60=15，BF平分ABC，ABF=CBF，在ABF和CBF中，ABFCBF（SAS），AF=CF，FAC=ACF=15，AFH=15+15=30，AHCD，AH=AF=CF=3，DEC=ABC+BDE，BDE=75-60=15，ADH=15+30=45，DAH=ADH=45，DH=AH=3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键14在经典几何图形的研究与变式一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线，上，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变的形状.如图2，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线，上，且与之间的距离为1，与之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度. 解析：（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明ABMCAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使AMB=CNA=120，证明AMBCAN，得到CN=AM，再通过PBM和QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在APB中，利用勾股定理算出AB的长；（3）在l3上找M和N，使得BNC=AMC=60，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明BCNCAM，得到CN=AM，在BPN和AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：BAC=90，NAC+MAB=90，NAC+NCA=90，MAB=NCA，在ABM和CAN中，ABMCAN（AAS），AM=CN=2，AN=BM=1，AB=；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使AMB=CNA=120，BAC=120，MAB+NAC=60，ABM+MAB=60，ABM=NAC，在AMB和CNA中，AMBCNA（AAS），CN=AM，AMB=ANC=120，PMB=QNC=60，PM=BM，NQ=NC，PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，解得：，CN=AM=，AB=；（3）如图，在l3上找M和N，使得BNC=AMC=60，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60，BCN+ACM=120，BCN+NBC=120，NBC=ACM，在BCN和CAM中，BCNCAM（AAS），CN=AM，BN=CM，PBN=90-60=30，BP=2，BN=2NP，在BPN中，即，解得：NP=，AMC=60，AQ=3，MAQ=30，AM=2QM，在AQM中，即，解得：QM=，AM=CN，PC=CN-NP=AM-NP=，在BPC中，BP2+CP2=BC2，即BC=，AB=BC=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.15在ABC中，BAC=45，CDAB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且NCM=135，CN=CM，如图（1）求证：ACN=AMC；（2）记ANC得面积为5，记ABC得面积为5求证：；（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求ACN=AMC=135-ACM；（2）过点N作NEAC于E，由“AAS”可证NECCDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；（3）过点N作NEAC于E，由“SAS”可证NEACDP，可得AN=CP【详解】（1）BAC=45，AMC=18045ACM=135ACMNCM=135，ACN=135ACM，ACN=AMC；（2）过点N作NEAC于E，CEN=CDM=90，ACN=AMC，CM=CN，NECCDM（AAS），NE=CD，CE=DM；S1ACNE，S2ABCD，；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，理由如下：过点N作NEAC于E，由（2）可得NE=CD，CE=DMAC=2BD，BP=BM，CE=DM，ACCE=BD+BDDM，AE=BD+BP=DPNE=CD，NEA=CDP=90，AE=DP，NEACDP（SAS），AN=PC【点睛