资源描述
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为，，连接交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）线段可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出，的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究与的数量关系，给出结论并说明理由．
2．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系
3．综合与实践
背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．
已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝ ．
4．已知直线，点P为直线、所确定的平面内的一点．
（1）如图1，直接写出、、之间的数量关系 ；
（2）如图2，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数．
5．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
6．如图1，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．
（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
7．阅读型综合题
对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则 ， ；
（2）已知，．若正格线性数，（其中为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．
8．观察下面的变形规律：
；；；…．
解答下面的问题：
（1）仿照上面的格式请写出= ；
（2）若n为正整数，请你猜想= ；
（3）基础应用：计算：．
（4）拓展应用1：解方程： =2016
（5）拓展应用2：计算：．
9．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得，
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）________；
（2）_________；
（3）求的和（，是正整数，请写出计算过程）.
11．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
，，，，……
（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．
（2）①计算：．
②若a为最小的正整数，，求：
．
12．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，因为，请确定是______位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，请确定的十位上的数是_____________；
(3)已知和分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：；．
13．如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴的正半轴上，的面积等于18．
（1）求点的坐标；
（2）如图，点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，同时点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，点、点的速度都为每秒1个单位，设运动时间为秒，的面积为，求用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点作，连接并延长交于，连接交于点，若，求值及点的坐标．
14．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．
（1）证明：；
（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，现将四边形经过平移后得到四边形，点的对应点的坐标为．
（1）请直接写点、、的坐标；
（2）求四边形与四边形重叠部分的面积；
（3）在轴上是否存在一点，连接、，使，若存在这样一点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售日期
销售数量(盏)
销售收入(元)
A品牌
B品牌
第一天
2
1
680
第二天
3
4
1670
（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？
17．在平面直角坐标系中，点，满足关系式．
（1）求，的值；
（2）若点满足的面积等于，求的值；
（3）线段与轴交于点，动点从点出发，在轴上以每秒个单位长度的速度向下运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，问为何值时有，请直接写出的值．
18．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足.
（1）求、的值；
（2）若点的坐标为且，求的值；
（3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围．
19．题目：满足方程组的x与y的值的和是2，求k的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于x，y的二元一次方程组，分别求出xy的值（含有字母k），再由x＋y＝2，构造关于k的方程求解，从而得出k值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x＋y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x＋y”整体值，从而求出k值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x＝k，5y＝1
解得y＝，3x＋y＝2，∴x＝
∴k＝3×＝
把x＝，y＝代入方程②得k＝﹣
所以k的值为或﹣．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
20．如图，和的度数满足方程组，且，．
（1）用解方程的方法求和的度数；
（2）求的度数．
21．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
22．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
超过15吨但不超过25吨的部分
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费___________元；（用，的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求，的值．
（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量．
（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的，的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
23．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”，例如：2534，因为，所以2534 是“7类诚勤数”．
（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；
（2）若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．
24．在平面直角坐标系中，把线段先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到线段（点A对应点C），其中分别是第三象限与第二象限内的点．
（1）若，求C点的坐标；
（2）若，连接，过点B作的垂线l
①判断直线l与x轴的位置关系，并说明理由；
②已知E是直线l上一点，连接，且的最小值为1，若点B，D及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断是正数､负数还是0？并说明理由．
25．学校组织名同学和名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为人/辆，小客车载客量为人/辆
（1）学校准备租用辆客车，有几种租车方案?
（2）在（1）的条件下，若大客车租金为元/辆，小客车租金为元/辆，哪种租车方案最省钱?
（3）学校临时增加名学生和名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有人，请你帮助设计租车方案
26．某小区准备新建个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元：新建个地上停车位和个地下停车位共需万元，
（1）该小区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元?
（2）若该小区新建车位的投资金额超过万元而不超过万元，问共有几种建造方案?
（3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额.
27．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．
材料2：求方程的正整数解．
解：由已知得：……①
设（为整数），则……②
把②代入①得：．
所以方程组的解为 ，
根据题意得：．
解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3．
所以方程的正整数解是：，，．
根据以上材料回答下列问题：
（1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；
（2）仿照上面的方法，求方程的正整数解；
（3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）
28．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程．
（1）求，的坐标．
（2）若点为轴正半轴上的一个动点．
①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数；
②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围．
29．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
30．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO ，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系
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一、解答题
1．（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，，；（2）24；（3）见解析
【分析】
（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点在点的上方，点在点的下方，分别求解即可．
【详解】
解：（1）点，，
又将线段进行平移，使点刚好落在轴的负半轴上，点刚好落在轴的负半轴上，
线段是由线段向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
，．
（2）．
（3）连接．
，，
的中点坐标为在轴上，
．
，
轴，
同法可证，
，
，
，
同法可证，，
，，
当点在点的下方时，
，，
，
，
当点在点的上方时，．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
2．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】
（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【详解】
解：（1）如图1，作，，连结，
，
，
，，，，
，
，
，
和的角平分线相交于，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
（2）如图1，，，
，，
与两个角的角平分线相交于点，
，，
，
，
，
；
（3）由（2）结论可得，，，
则．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
3．（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
故答案为：∠A＋∠C＝90°；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD＋∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α＋β，
∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，
△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β＋β＋2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．
4．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．
【详解】
解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）∠APC=∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，
∴∠APC=∠A-∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG-∠GEH
=∠FEG-∠BEG
=∠BEF
=55°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
6．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】
（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；
（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．
【详解】
解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，
（2）作PC∥m，
∵m∥n，
∴m∥PC∥n，
∴∠AOP=∠OPC=43°，
∠BQP=∠QPC=49°，
∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，
（3）∠OPQ=∠ORQ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，
∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，
∴∠OPQ=∠ORQ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
7．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为
【分析】
（1）根据定义，直接代入求解即可；
（2）将代入求出b的值，再将代入，表示出kx，再根据题干分析即可．
【详解】
解：（1）∵
∴5，3
故答案为：5，3；
（2）有正格数对．
将代入，
得出，，
解得，，
∴，
则
∴
∵，为正整数且为整数
∴，，，
∴正格数对为：．
【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．
8．(1) ；(2) ；（3）；（4）x=2017；（5）
【分析】
（1）类比题目中方法解答即可；（2）根据题目中所给的算式总结出规律，解答即可；（3）利用总结的规律把每个式子拆分后合并即可解答；（4）方程左边提取x后利用（3）的方法计算后，再解方程即可；（5）类比（3）的方法，拆项计算即可．
【详解】
（1）
故答案为：；
（2）=
故答案为：；
（3）计算：
=
=1﹣
=；
（4） =2016
=2016，
x=2017；
（5）．
=+（）+（）+…+（）．
=（1﹣）．
=．
【点睛】
本题是数字规律探究题，解决问题基本思路是正确找出规律，根据所得的规律解决问题．
9．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】
（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,
∴5＜＜6，
∴[]=[2]=2，[]=5，
故答案为2，5；
（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，
∴x=1，2，3，
故答案为1，2，3；
（3）第一次：[]=10，
第二次：[]=3，
第三次：[]=1，
故答案为3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
10．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）设式子等于s，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于s，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；
（3）设式子等于s，将方程两边都乘以a后进行计算即可.
【详解】
（1）设s=①，
∴2s=②，
②-①得：s=，
故答案为：；
（2）设s=①，
∴3s=②，
②-①得：2s=，
∴,
故答案为： ；
（3）设s=①，
∴as=②，
②-①得：（a-1）s=，
∴s=.
【点睛】
此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.
11．（1），；（2）①；②
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；
（2）①，
，
，
；
②为最小的正整数，，
，，
原式，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
12．（1）两；（2）2，3；（3）24，﹣48；
【分析】
（1）由题意可得，进而可得答案；
（2）由只有个位数是2的数的立方的个位数是8，可确定的个位上的数，由可得27＜32＜64，进而可确定，于是可确定的十位上的数，进而可得答案；
（3）仿照（1）（2）两小题中的方法解答即可．
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以是一个两位数；
故答案为：两；
（2）因为只有个位数是2的数的立方的个位数是8，
所以的个位上的数是2，
划去32768后面的三位数768得到32，因为，27＜32＜64，
所以，
所以的十位上的数是3；
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，1000＜13824＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是4的数的立方的个位数是4，
∴的个位上的数是4，
划去13824后面的三位数824得到13，
∵8＜13＜27，∴20＜＜30．
∴=24；
由103=1000，1003=1000000，1000＜110592＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是8的数的立方的个位数是2，
∴的个位上的数是8，
划去110592后面的三位数592得到110，
∵64＜110＜125，
∴40＜＜50，
∴；
∴=﹣48．
【点睛】
本题考查了立方根和立方数的规律探求，具有一定的难度，正确理解题意、确定所求的数的个位数字和十位数字是解题的关键．
13．（1）；（2）（）；（3）的值为4，点的坐标是．
【分析】
（1）根据△AOB的面积可求得OA的长，即可求得点A的坐标；
（2）由题意可分别得，由三角形面积公式即可得结果，由点Q只在线段OB上运动，从而可得t的取值范围；
（3）利用割补方法，由则可求得t的值；连接OE，由可求得OF的长，从而求得点F的坐标．
【详解】
（1）∵B(-6，0)，
∴OB=6，
∵，
∴，
∴OA=6 ，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴（）
（3）∵，，
∴，
∴，
解得，则，
∴，
连接，如图
∵，
∴
∴
∴点坐标为
综上所述：的值为4，点的坐标是．
【点睛】
本题考查了代数式，三角形面积，用到了割补方法，也是本题的关键和难点．
14．（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】
解：（1）如图，连接，
，
，
，
，
（2），
理由：作，则 如图，
设，则．
，，
，，
．
即．
（3）作，则 如图，设，则．
，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
15．（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】
（1）先确定平移的规则，然后根据平移的规则，求出点的坐标即可；
（2）由平移的性质可知，重叠部分为平行四边形，且底边长为3，高为2，即可求出面积；
（3）设点的坐标为，先求出平行四边形ABCD的面积，然后利用三角形的面积公式，即可求出b的值．
【详解】
解：（1）∵，，
∴平移的规则为：向右平移2个单位，向上平移一个单位；
∵，，，
∴；
（2）如图，延长交x轴于点E，过点做
由平移可知，重叠部分为平行四边形，高为2，
∴重叠部分的面积为
（3）存在；
设点的坐标为，
∵，
，
∴，
∴点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了平移的性质，平行四边形的性质，坐标与图形，以及求阴影部分的面积，解题的关键是熟练掌握平移的性质进行解题．
16．（1）A品牌为210元/盏，B品牌为260元/盏．（2）10盏．
【分析】
（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，根据总价=单价×数量结合两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，
依题意，得：，
解得：．
答：A品牌护眼灯的销售价为210元/盏，B品牌护眼灯的销售价为260元/盏．
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，
依题意，得：150(30-m)+190m≤4900，
解得：m≤10．
答：B品牌的护眼灯最多采购10盏．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
销售日期
销售数量(盏)
销售收入(元)
A品牌
B品牌
第一天
2
1
680
第二天
3
4
1670
17．（1），；（2）或；（3）或
【分析】
（1）根据一个数的平方与绝对值均非负，且其和为0，则可得它们都为0，从而可求得a和b的值；
（2）过点P作直线l垂直于x轴，延长交直线于点，设点坐标为，过作交直线于点，根据面积关系求出Q点坐标，再求出PQ的长度，即可求出n的值；
（3）先根据求出C点坐标，再根据求出D点坐标，根据题意可得F点坐标，由得关于t的方程，求出t值即可．
【详解】
（1），，且
，
，
（2）过作直线垂直于轴，延长交直线于点，设点坐标为，
过作交直线于点，如图所示
∵
∴
解得，点坐标为
∵
∴
解得：或
（3）当或时，有．
如图，延长BA交x轴于点D，过A点作AG⊥x轴于点G，过B点作BN⊥x轴于点N，
∵
∴
解得：
∴
∵
∴
解得：
∵
∴
当运动t秒时，
∴
∵CE=t
∴，
∵
∴
解得：或．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，含绝对值方程解法，熟练掌握直角坐标系的知识，三角形的面积，梯形的面积等知识是解题的关键，难点在于对图形进行割补转化为易求面积的图形．
18．（1），；（2）或；（3）
【分析】
（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a，b的值；
（2）设直线AB与直线x＝1交于点N，可得N（1，5），根据S△ABM＝S△AMN−S△BMN，即可表示出S△ABM，从而列出m的方程．
（3）根据题意知，临界状态是点P落在OA和AB上，分别求出此时t的值，即可得出范围．
【详解】
（1）∵，，
∴，
解得：，
（2）设直线与直线交于，设
∵a＝−4，b＝4，
∴A（−4，0），B（0，4），
设直线AB的函数解析式为：y＝kx＋b，
代入得，解得
∴直线AB的函数解析式为：y＝x＋4，
代入x=1得
∵
∴＝×5×|5−m|−×1×|5−m|＝2|5−m|，
∵
∴
∴或
解得：或，
（3）当点P在OA边上时，则2t＝2，
∴t＝1，
当点P在AB边上时，如图，过点P作PKx轴，AK⊥x轴交于K，
则KP'＝3−t，KA'＝2t−2，
∴3−t＝2t−2，
∴
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查了平
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