数学人教版七年级下册数学期末复习压轴题-解答题试卷及答案.doc

数学人教版七年级下册数学期末复习压轴题 解答题试卷及答案

一、解答题
1．如图（1），在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，直线轴于，点在直线上，点在轴上方．

（1），，且满足，如图（2），过点作∥，点是直线上的点，在轴上是否存在点P，使得的面积是的面积的？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

（2）如图（3），直线在y轴右侧，点是直线上动点，且点在轴下方，过点作∥交轴于，且、分别平分、，则的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
2．已知关于的方程的解满足，若，求实数的取值范围．
3．南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米．
(1)请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简．
(2)现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x，y的值；
②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：

C
D
投入(元/米2)
12
16
收益(元/米2)
18
26

求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入)
4．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，的延长线交于点．

（1）若，则 °；
（2）若 （），则当等于多少度（用含的代数式表示）时，，并说明理由；
（3）若，求的度数．
5．因式分解
（1） （2） a36a2 b+9ab2 （3） （a﹣b）2+4ab
6．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
7．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

（1）将图①中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图③，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
8．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助网格）．
（1）画出△ABC中BC边上的高线AH．
（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．
（3）画一个锐角△ABP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．

9．启秀中学初一年级组计划将本书奖励给本次期中考试中取得优异成绩的名同学，如果每人分本，那么还剩下本；如果每人分本，那么最后一人分得的书不足本，但不少于本．最终，年级组讨论后决定，给名同学每人发本书，那么将剩余多少本书？
10．已知，求①的值； ② 的值
11．(1)如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x、y的等式表示) ；

(2)若，，求的值；
(3)若，求的值．
12．当都是实数，且满足，就称点为“爱心点”．
（1）判断点、哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点、是“爱心点”，请判断、两点的中点在第几象限？并说明理由；
（3）已知、为有理数，且关于、的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求、的值．
13．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　 　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．

14．先化简后求值：，其中，．
15．计算
(1)；
(2)．
16．如图，已知：点不在同一条直线，．
（1）求证：．
（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点，，请直接写出______________．

17．在校运动会中，篮球队和排球队共有24支，其中篮球队每队10名队员，排球队每队12名队员，共有260名队员．请问篮球队、排球队各有多少支？（利用二元一次方程组解决问题）
18．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（a+1﹣b）（a+1+b）+（a+1）2，其中a＝，b＝﹣2．
19．如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小长方形，EF与GH交于点P，设BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m，

(1)①用含a，b，m的式子表示GF的长为 ；
②用含a，b的式子表示长方形EPHD的面积为 ；
(2)已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，
例如在图1，△ABC中，∠ABC=900，则，
请用上述知识解决下列问题：
①写出a，b，m满足的等式 ；
②若m=1，求长方形EPHD的面积；
③当m满足什么条件时，长方形EPHD的面积是一个常数？

20．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AE∥DF．

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一、解答题

1．（1）存在，P点为或；（2）的度数不变，=
【分析】
（1）由非负数的性质可得a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，于是可得点A、C坐标，进而可得S△ABC，若轴上存在点P（m，0），满足S△ABC=S△BPQ，可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，从而可得点P坐标；
（2）如图4，过点F作FH∥AC，设AC交y轴于点G，根据平行公理的推论可得AC∥FH∥DE，然后根据平行线的性质和角的和差可得∠AFD=∠GAF+∠1，由角平分线的性质和三角形的内角和定理可得2∠GAF+2∠1=90°，于是可得∠AFD=45°，从而可得结论．
【详解】
解：（1）∵满足，
∴，解得：，
∴，，
∴S△ABC=，
∵点是直线上的点，∴，
若轴上存在点P（m，0），满足S△ABC=S△BPQ，
则，解得：m=8或﹣4，
所以存在点P满足S△ABC=S△BPQ，且P点坐标为或；
（2）如图4，过点F作FH∥AC，设AC交y轴于点G，
∵DE∥AC，∴AC∥FH∥DE，
∴∠GAF=∠AFH，∠HFD=∠1，∠AGO=∠GDE，
∴∠AFD=∠AFH+∠HFD=∠GAF+∠1，
∵、分别平分、，
∴∠CAB=2∠GAF，∠ODE=2∠1=∠AGO，
∵∠CAB+∠AGO=90°，
∴2∠GAF+2∠1=90°，
∴∠GAF+∠1=45°，即∠AFD=45°；
∴的度数不会发生变化，且∠AFD=45°．

【点睛】
本题考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法、坐标系中三角形的面积、平行线的性质、角平分线的定义以及三角形的内角和定理等知识，综合性强、但难度不大，正确添加辅助线、熟练掌握上述是解题的关键．
2．
【分析】
先解方程组，消去a用含x的式子表示y,再将x=3-m代入y中，从而得到用含m的式子表示y,在根据，解关于m的不等式组，求出m的取值范围.
【详解】
解：，①②得即③
由得，代入③得，
又因为，则，解得
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．
3．（1）2x2+6xy+8y2；（2）①②57600元；
【分析】
（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解；
（2）①根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出x，y的值；
②代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益=收益﹣投入，列式计算即可求解．
【详解】
解：（1）（x+y）（x﹣y）+（x+3y）（x+3y）
=x2﹣y2+x2+6xy+9y2
=2x2+6xy+8y2（平方米）
答：A、B两园区的面积之和为（2x2+6xy）平方米；
（2）（x+y）+（11x﹣y）
=x+y+11x﹣y
=12x（米），
（x﹣y）﹣（x﹣2y）
=x﹣y﹣x+2y
=y（米），
依题意有：
，
解得9．
12xy=12×30×10=3600（平方米），
（x+3y）（x+3y）
=x2+6xy+9y2
=900+1800+900
=3600（平方米），
（18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600
=6×3600+10×3600
=57600（元）．
答：整改后A、B两园区旅游的净收益之和为57600元．
考点：整式的混合运算．
4．（1）115；（2）180-2x，理由见解析；（3）45°.
【分析】
（1）已知点I是两角∠ABC 、∠ACB平分线的交点，故
，由此可求∠BIC；
（2）当CE∥AB时， ∠ACE=∠A=x°，根据∠ACE=∠A=x°，根据CE是∠ACG的角平分线，推出∠ACG=2x°，∠ABC=∠BAC=x°，即可求出的度数．
（3）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°，可求出若∠D=3∠E时，∠BEC=22.5°，再推理出，即可求出的度数．
【详解】
（1）∵点I是两角∠ABC 、∠ACB平分线的交点，
∴

；
故答案为：115.
（2）当∠ACB等于（180-2x）°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=x°，
∵∠ACE=∠A=x°，CE是∠ACG的角平分线，
∴∠ACG=2∠ACE=2x°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=2x°-x°=x°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=（180-2x）°；
（3）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°
若∠D=3∠E时∠BEC=22.5°，
∵

，
∴.
【点睛】
本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系，要充分运用三角形内角和定理，角平分线性质转换．
5．（1）2a（x+2）（x-2）； （2）；（3）．
【分析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式先将（a﹣b）2展开，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
（1）原式==2a（x+2）（x-2）；
（2）原式==
（3）原式===
【点睛】
本题主要考查了多项式的因式分解，在因式分解时，有公因式的首先提公因式，然后用公式法进行因式分解，注意分解要彻底.
6．(1) ；(2)；(3) ；(4)
【分析】
（1）直接利用积的乘方和单项式乘单项式法则计算即可；
（2）直接利用单项式乘多项式法则计算即可；
（3）直接利用平方差公式计算即可；
（4）先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式计算即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
．
【点睛】
本题考查了整式乘法和乘法公式的运用，熟练掌握整式的乘法法则及乘法公式是解决本题的关键．
7．（1）105°；（2）150°；（3）5或17；11或23．
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可得，代入数据计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出，利用内错角相等两直线平行求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分在上方时，，设与相交于，根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列式求出，即可得解；在的下方时，，设直线与相交于，根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用三角形的内角和定理求出，再求出旋转角即可；②分在的右边时，设与相交于，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出旋转角即可，在的左边时，设与相交于，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出 ，然后求出旋转角，计算即可得解．
【详解】
解：（1）在中，

；
（2）平分，
，
，
，
；
（3）如图1，在上方时，设与相交于，
，
，
在中，，
，
，
旋转角为，
秒；
在的下方时，设直线与相交于，
，
，
在中，，
旋转角为，
秒；
综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行；
如图2，在的右边时，设与相交于，
，
，
，
旋转角为，
秒，
在的左边时，设与相交于，
，
，
，
旋转角为，
秒，
综上所述，第11或23秒时，直线恰好与直线垂直．
故答案为：5或17；11或23．

【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）根据三角形高的定义求解可得；
（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；
（3）计算得出格点△ABC的面积是3，得出格点△ABP的面积为6，据此画出格点△ABP即可．
【详解】
解：（1）如图所示，

（2）如图所示；
（3）S△ABC=
S△ABP=2S△ABC=6
画格点△ABP如图所示，（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
9．本
【分析】
先表示书的总量，利用不等关系列不等式组，求不等式组的正整数解即可得到答案．
【详解】
解：由题意得：
由①得：
由②得：
不等式组的解集是：
为正整数，

答：剩下本书．
【点睛】
本题考查的是不等式组的应用，掌握利用不等关系列不等式组是解题的关键．
10．①6；②
【解析】
解:①
②
11．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（2）先利用完全平方公式展开，然后两个式子相减，即可求出答案；
（3）利用完全平方变形求值，即可得到答案．
【详解】
解：（1）图中阴影部分的面积为：
；
故答案为：；
（2）∵，
∴①，
∵，
∴②，
∴由②①，得
，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，以及完全平方公式变形求值，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．
12．（1）为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3），=
【分析】
（1）分别把A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，）中，分别用a、b表示出m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限；
（3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，即可求出p、q的值．
【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：
∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，
所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y的方程组，得：．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1＝p﹣q，＝2q，
解得：m＝p﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：2p﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得2p﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使2p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣．
所以P＝0，q＝﹣．
【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
13．（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由见解析；（2）①40°；②90°；③70°．
【分析】
（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
【详解】
解：（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，
所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∴∠DCE＝(ADB+∠AEB)+A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(ABD+∠ACD)+A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(40﹣x)x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．，
【分析】
根据整式的乘法运算法则，将多项式乘积展开，再合并同类项，即可化简，再代入，即可求值．
【详解】
解：原式，
将，代入，
则原代数式的值为：
．
【点睛】
本题考查整式的乘法，难度一般，是中考的常考点，熟练掌握多项式与多项式相乘的法则，即可顺利解题．
15．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据负整数指数幂以及零指数幂运算即可求解；
（2）根据同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减），即可求解．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
本题目考查整数指数幂，涉及知识点有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂等，难度一般，熟练掌握整数指数幂的运算法则是顺利解题的关键．
16．（1）见详解；（2）；（3）
【分析】
（1）过点C作，则，再利用平行线的性质求解即可；
（2）过点Q作，则，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出，再结合（1）的结论即可得出答案；
（3）由（2）的结论可得出，又因为，因此，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，再求答案即可．
【详解】
解：（1）过点C作，则，

∵
∴
∴
（2）过点Q作，则，

∵，
∴
∵分别为的平分线所在直线
∴
∴
∵
∴
（3）∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点有平行线的性质、角平分线的性质．解此题的关键是作出合适的辅助线，找准角与角之间的关系．
17．篮球队14支，排球队10支
【分析】
根据题意可知，本题中的等量关系是“有24支队”和“260名运动员”，列方程组求解即可．
【详解】
设篮球队x支，排球队y支，由题意可得：

解的：

答：设篮球队14支，排球队10支
【点睛】
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
18．；13
【分析】
原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣（a2+2a+1﹣b2）+a2+2a+1
＝4a2﹣4ab+b2﹣a2﹣2a﹣1+b2+a2+2a+1
＝4a2﹣4ab+2b2，
当a＝，b＝﹣2时，原式＝1+4+8＝13．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（1）①；②；（2）①；②；③m=1
【分析】
（1）①直接根据三角形的周长公式即可；
②根据BF长为a，BG长为b，表示出EP，PH的长，根据求长方形EPHD的面积；
（2）①直接根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示出a，b，m之间的关系式；
②根据线段之间的关系利用勾股定理求出长方形EPHD的面积的值；
③结合①的结论和②的作法即可求解.
【详解】
（1）①∵BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m，
∴，
故答案为：；
②∵正方形ABCD的边长为1 ，
∴AB=BC=1，
∵BF长为a，BG长为b，
∴AG=1-b，FC=1-a，
∴EP=AG=1-b，PH=FC=1-a，
∴长方形EPHD的面积为：，
故答案为：；
（2）①△ABC中，∠ABC=90°，则，
∴在△GBF中， ，
∴，
化简得，
故答案为：；
②∵BF=a，GB=b，
∴FC=1-a，AG=1-b，
在Rt△GBF中，，
∵Rt△GBF的周长为1，
∴
即 ，
即，
整理得
∴，
∴矩形EPHD的面积

．
③由①得： ，
∴.
∴矩形EPHD的面积

，
∴要使长方形EPHD的面积是一个常数，只有m=1．
【点睛】
本题考查了正方形的特殊性质和勾股定理，根据正方形的特殊性质和勾股定理推出是解题的关键．
20．见解析．
【分析】
首先根据直线平行得到∠CDA=∠DAB，结合题干条件得到∠FDA=∠DAE，进而得到结论．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠CDA＝∠DAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CDA﹣∠1＝∠DAB﹣∠2，
∴∠FDA＝∠DAE，
∴AE∥DF．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判断与性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，此题比较简单．