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人教版初二上学期期末模拟数学试卷含答案
一、选择题
1．在下列给出的几何图形中，是轴对称图形的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（   ）
A． B． C． D．
3．已知，，则的值为（       ）
A．24 B．36 C．72 D．6
4．函数=中自变量的取值范围为（   ）
A．＞0 B．≥0 C．≠0 D．≥0且≠1
5．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（2a﹣3）（b+c）
C．15x5＝3x2•x5
D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
6．下列分式从左到右的变形正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，AC，BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD，则下列添加的条件中错误的是(     )

A．∠A＝∠C B．∠B＝∠D C．OB＝OD D．AB＝CD
8．下列说法错误的是（       ）．
A．“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题 B．中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
C．用若干正六边形能镶嵌整个平面 D．解分式方程时，产生增根，则
9．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（　　）

A．15° B．18° C．22.5° D．30°
10．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如果分式＝0，则x＝________．
12．点（1，﹣2）关于y轴对称的点坐标为_______．
13．下列有四个结论：①运算结果中不含项，则；②若，，则；③若，，则可表示为；④已知，，则的值为，其中正确的是_______．
14．已知3m＝6，9n＝2，则32m－4n＋1的值为_________．
15．如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______．

16．如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________．
17．已知，则__________．
18．如图， 中， ．点 从点A 出发沿 路径向终点 运动；点 从 点出发沿 路径向终点A   运动．点和分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 和 作 于 ， 于 ．则点 运动时间等于_____时，与 全等．

三、解答题
19．因式分解：
(1)x3y﹣xy3；
(2)（x＋2）（x＋4）＋x2﹣4
20．（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解方程：．
21．已知：如图，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB＝EC，BC＝CD．求证：∠ACD＝∠E．

22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如图（1），AD⊥BC于D，若∠C=75°，∠B=35°，求∠EAD；
（2）如图（1），AD⊥BC于D，判断∠EAD与∠B，∠C数量关系∠EAD=（∠C﹣∠B）是否成立？并说明你的理由；
（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有什么数量关系？ ；（不用证明）

23．先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；…
(1)观察猜想：关于x的方程的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程；
(3)实践运用：对关于x的方程的解，小明观察得“”是该方程的一个解，则方程的另一个解= ，请利用上面的规律，求关于x的方程的解．
24．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ；
（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
25．操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF=BD（不需要证明）；
类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。
深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论。
③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明。

26．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．

（1）求a，b的值；
（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，
①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为　 　；
②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．
【参考答案】
一、选择题
2．D
解析：D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：第1，2，3，5个图是轴对称图形，第4个不是轴对称图形，
故选D
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．C
解析：C
【分析】根据指数幂运算法则即可求出答案．
【详解】∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是熟练运用指数幂的运算法则，本题属于基础题型．
5．D
解析：D
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】解：由题可知，且，
∴且．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求解，熟练掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】根据因式分解定义逐项判定即可．
【详解】解：A、a（x+y）＝ax+ay是整式乘法运算，不是因式分解，此选项不符合题意；
B、2a（b+c）﹣3（b+c）＝（2a﹣3）（b+c）是因式分解，此选项符合题意；
C、15x5＝3x2•x5不是把多项式化成乘积式，不是因式分解，此选项不符合题意；
D、a2+2a+1＝a（a+2）+1等式右边不是积的形式，不是因式分解，此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】根据分式的性质可得到A、B、D都不一定正确，而C中k≠0，根据分式的基本性质可判断其正确．
【详解】解：A、（m≠0），所以A选项不正确，不符合题意；
B、若c=0，则，所以B选项不正确，不符合题意；
C、，所以C选项正确，符合题意；
D、，所以D选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变．
8．D
解析：D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析判断即可．
【详解】∵∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△AOB≌△COD；
当添加∠B＝∠D时，可根据“ASA”判断△AOB≌△COD；
当添加OB＝OD时，可根据“SAS”判断△AOB≌△COD．
如果添加 AB=CD，则根据“SSA”不能判定△AOB≌△COD．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理并应用是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】根据平行四边形的判定定理可以判断A，根据中心对称的性质可以判断B，根据正多边形镶嵌的条件可以判断C，根据分式方程产生增根的情况计算即可判断D．
【详解】解：A选项，平行四边形的一个判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，正确，符合题意；
B选项，中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，正确，符合题意；
C选项，正六边形的每个内角都是，，可以镶嵌整个平面，正确，符合题意；
D选项，原分式方程化为，因为分式方程有增根，故可将代入得，错误，不符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了真命题和假命题的判断、平行四边形的判定定理、中心对称的性质、平面镶嵌、分式方程，正确掌握相关性质是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质可得，在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，O为BD中点，
∴，
∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
二、填空题
12．0
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得，x2﹣x＝x（x﹣1）＝0，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）≠0，
解得，x＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13．（-1，-2）
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：（1，-2）关于y轴对称的点的坐标是（-1，-2），
故答案为：（-1，-2）．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．①④
【分析】根据整式的混合运算法则展开，结合运算结果中不含项可得a值，可判断①；根据完全平方公式变形可求出，可判断②；根据同底数幂的除法和幂的乘方可求出=，可判断③；根据幂的乘方和积的乘方可得xy=2（x+y），结合分式的加减运算可得，可判断④．
【详解】解：①∵
=
=
又∵运算结果中不含项，
∴a-1=0，
∴a=1，故正确；
②∵a+b=10，
∴，
又∵，
∴
=
=
=4
故错误；
③∵，，
∴====，故错误；
④∵，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴xy=2（x+y），
∴，故正确；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，分式的加减运算，解题的关键是灵活运用公式，将式子合理变形．
15．27
【分析】先根据同底数幂乘除法法则的逆运算将原式化为，然后利用幂的乘方逆运算化为，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵3m＝6，9n＝2，
∴32n=2，
∴32m－4n＋1
=
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的计算公式：同底数幂乘除法法则，幂的乘方运算法则，正确掌握各计算法则是解题的关键．
16．30°或60°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ED时，③DA＝DE时，分别求解即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠AB
解析：30°或60°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ED时，③DA＝DE时，分别求解即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∵∠ADE＝40°，
△ADE是等腰三角形，分情况讨论：
①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时D点与B点重合，不符合题意；
②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；
③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
综上，∠BAD的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
17．±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵x2-mx+16=x2-mx+42，
∴m=±2×4，
解得m=±8．
故答案为：
解析：±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵x2-mx+16=x2-mx+42，
∴m=±2×4，
解得m=±8．
故答案为：±8．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
18．【分析】对两边平方，再展开进行求解即可．
【详解】∵
∴，
即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
解析：
【分析】对两边平方，再展开进行求解即可．
【详解】∵
∴，
即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
19．1或3.5或12秒．
【分析】根据题意分为五种情况，设运动时间为t秒时，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q
解析：1或3.5或12秒．
【分析】根据题意分为五种情况，设运动时间为t秒时，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝3.5；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或3.5或12秒时，与 全等．
故答案为：1或3.5或12．

【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
三、解答题
20．(1)xy（x+y）（x﹣y）
(2)2（x+2）（x+1）
【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解．
(1)
解析：(1)xy（x+y）（x﹣y）
(2)2（x+2）（x+1）
【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解．
(1)
解：原式＝
；
(2)
解：原式＝

．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．（1），；（2）无解
【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，并将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简，最后将的值代入求解即可；
（2）分式方程两边同时乘以公分母，
解析：（1），；（2）无解
【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，并将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简，最后将的值代入求解即可；
（2）分式方程两边同时乘以公分母，将其转化为整式方程，进而解方程求解即可，最后注意检验．
【详解】解：（1）原式

，
当时，原式；
（2）方程两边同乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
22．见解析
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，
∴△ABC
解析：见解析
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，

∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴∠A＝∠E．
∴∠ACD＝∠E．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ECD是本题的关键．
23．（1）20°；（2）成立，理由见解析；（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理计算即可；
（2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
（3
解析：（1）20°；（2）成立，理由见解析；（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理计算即可；
（2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
（3）过A作AG⊥BC于G，根据已知条件证明FD∥AG，得到∠EFD=∠EAG，即可得解；
【详解】解：（1）∵∠C=75°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=35°，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°﹣∠C=15°，则∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=20°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC，
∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC=∠ BAC=90°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）；

（3）如图②，过A作AG⊥BC于G，由（2）知，∠EAG=（∠C﹣∠B），
∵AG⊥BC，
∴∠AGC=90°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDG=90°，
∴∠AGC=∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
故答案是：∠EFD=（∠C﹣∠B）．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确计算是解题的关键．
24．(1)，
(2)，
(3)；，
【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
（2）根据（1）的规律，得
解析：(1)，
(2)，
(3)；，
【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
（2）根据（1）的规律，得出，，解出即可得出方程的解；
（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解；首先对方程进行整理，得出，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果．
（1）
解：，．
故答案为：，
（2）
解：
∵，，
∴，；
（3）
解：；

整理，得：，
整理，得：，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．
25．（1）；（2）；
（3）大       小
【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形
解析：（1）；（2）；
（3）大       小
【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可；
（2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；
【详解】（1）看图可知，
（2）
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.
【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
26．①成立，证明见详解；②AF+BF′=AB，证明见详解；③不成立，AF=AB+BF′，证明见详解.
【分析】类比猜想：①通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
深入探究：②AF+BF′=
解析：①成立，证明见详解；②AF+BF′=AB，证明见详解；③不成立，AF=AB+BF′，证明见详解.
【分析】类比猜想：①通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
深入探究：②AF+BF′=AB，利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；
③结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．
【详解】解：类比猜想：①如图2中，

∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，

∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；
深入探究：②如图示

AF+BF′=AB；
证明如下：由①条件可知：∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF，
∴同理可证△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
③结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
如图示：

证明如下：
∵等边△DCF和等边△DCF′，由①同理可知：
在△BCF′和△ACD中，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由②知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
27．（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
②分两种情形：
解析：（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0
∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0
∴a＝﹣2，b＝4．
（2）①如图1中，
∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（4，0）．
故答案为（4，0）．
②∵a＝﹣2，b＝4
∴OA＝2OB＝4
又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°
∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°
①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°，
又∵∠APB＝45°，
∴∠BAP＝∠APB＝45°，
∴BA＝BP，
又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
∴P（4，2）．
②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°，
又∵∠APB＝45°，
∴∠ABP＝∠APB＝45°，
∴AP＝AB，
又∵∠BAD+∠DAP＝90°，
∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠DPA，
∴△BAO≌△APP（AAS），
∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，
∴P（2，﹣2）．
综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．