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第二讲 逻辑代数基础知识
本讲重点
1.三种基本逻辑运算和几种常用逻辑运算；
2.逻辑代数的基本公式、常用公式及定理；
3.逻辑函数及其表示方法。
本讲难点
1.常用逻辑公式的证明；
2.逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、波形图之间的相互转换。
教学手段
本讲多数是基础概念问题，宜于教师讲授为主，用多媒体演示为主、板书为辅。
教学步骤
教学内容
设计意图
表达方式
1．回顾上一讲反码、补码和补码运算内容，导入逻辑代数基础知识。
上一讲反码、补码和补码运算内容回顾：
原码：最高位为符号位，正数为0，负数为1。
补码：最高位作为符号位，正数为0，负数为1。正数的补码和它的原码相同；负数的补码需先将原码数值逐位求反，然后在最低位加1。（逐位求反也是基本逻辑运算之一）

为了与前次课内容衔接，需要进行简单回顾。之后，引入新教学内容，效果会好。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
2．提出问题，导入逻辑代数基础知识所要讲述的内容。
1）数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系；
2）基本逻辑运算和几种常用逻辑运算有哪些，都是如何定义的；
3）逻辑代数有哪些公式和定理或规则；
4）逻辑函数如何定义其表示方法有哪些；
5）如果有多种方式表示逻辑函数，它们之间如何转换？
用问题激发学生听课的兴趣。
3．对问题的逐一讲解、解答。
3.1讲解数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系。
3.2讲解基本逻辑运算和常用逻辑运算概念和定义。

3.2.1讲解基本逻辑运算概念

3.2.2讲解几种常用逻辑运算概念

3.3讲解逻辑代数公式和定理与规则
3.3.1讲解逻辑代数的基本公式和常用公式

3.3.2讲解逻辑代数的基本定理和规则

3.4讲解逻辑函数定义其表示方法
3.4.1讲解逻辑函数定义
3.4.2讲解逻辑函数逻辑函数几种表示方法

3.5讲解逻辑函数表示方法之间的相互转换
3.5.1讲解函数表示方法之间的相互转换

3.5.2讲解逻辑函数的标准与或表示形式

1．数字电路的基本概念
在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。
逻辑变量：用字母表示，取值只有1和0。此时，1和0不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。表示事件的发生与否、电平的高低、指示灯的亮灭、开关的通断等二值信息。
2．基本逻辑运算和几种常用逻辑运算
ü 三种基本逻辑运算
（1）与逻辑（与运算）
与逻辑：仅当决定事件(Y)发生的所有条件(A，B，C，…)均满足时，事件(Y)才能发生。表达式为：Ｙ＝Ａ·Ｂ·Ｃ·…。
例：开关A，B串联控制灯Y亮或灭。开关闭合定义为控制事件发生，灯被点亮定义为被控事件发生。

将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出表格来描述与逻辑关系——真值表方式描述。两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ·Ｂ。
实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号如下。

（2）或逻辑（或运算）
或逻辑：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Ｙ=Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…。
例：开关A，B并联控制灯Y，只要任意有一个开关接通，灯就会亮。逻辑表达式为：Ｙ=Ａ+Ｂ。

实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：

（3）非逻辑（非/反运算）
非逻辑：当决定事件(Y)发生的条件(A)满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：。
例：实现非逻辑功能的开关A控制灯Y，如图所示。

实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：

ü 常用的逻辑运算
①与非运算
逻辑表达式为：

②或非运算
逻辑表达式为：

③异或运算
逻辑表达式为：

④同或运算
逻辑表达式为：A⊙B

⑤与或非运算

3．逻辑代数有哪些公式和定理或规则
ü 逻辑代数的基本公式和常用公式

求证：A+BC=(A+B)(A+C)
证明：右式=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC
=A(1+B+C)+BC=A·1+BC=A+BC=左式
注：也可以用真值表证明。
公式推广：A+BCD…=(A+B)(A+CD…)
=(A+B)(A+C)(A+D)…

求证反演律正确性的真值表证明法：

包含律公式推广：
ü 逻辑代数的基本定理/规则
①代入定理/规则
在任一含有变量A的逻辑等式中，如果用另一个逻辑函数去代替所有的变量A，则等式仍然成立。
例：已知等式，若令A=X+Y，则。
②对偶定理/规则
对偶式：逻辑函数式Y中，进行乘←→加互换，0←→1互换，得到的新逻辑式称为Y的对偶式。
对偶规则：有一逻辑等式，对等号两边进行对偶变换，得到的新逻辑函数式仍然相等。
例：A·(B+C)=A·B+A·C←→A+B·C=(A+B)·(A+C)。
③ 反演定理/规则
逻辑函数式Y中，进行乘←→加互换，0←→1互换，原变量←→反变量互换，得到的新的逻辑式为Y。
应用反演规则应注意两点：
© 保持原来的运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是AB之间先运算。
© 不属于单个变量上的反号应保留不变！！！
例：，则。
4．逻辑函数定义及表示方法
ü 逻辑函数定义
如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。表示为：Y=F(A, B, C, …)。
ü 逻辑函数几种表示方法
常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言，这两种方法留给后面章节详细介绍。
例：举重裁判逻辑电路。设A为主裁判、B和C为副裁判，裁判控制开关闭与断开，闭合用“1”表示，断开用“0”表示；灯Y亮用“1”表示，灯灭用“0”表示。

根据电路图得到函数式描述：。

①真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。
②函数式：把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”形式。
③逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。
④波形图：将输入、输出的所有可能状态一一对应用波形描述出来。一般用高电平代表逻辑“1”，用低电平代表逻辑“0”。
5．各种逻辑函数表示方法之间的相互转换
ü 函数表示方法之间的相互转换
①真值表→逻辑函数式
方法：将真值表中为1的项相加，写成“与或式”。
→
②逻辑式→真值表
方法：将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值，列成表即得真值表。
举例：
→
③逻辑式→逻辑图
方法：用图形符号（门电路符号）代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。
举例：
→
④逻辑图→逻辑式
方法：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.
→
⑤波形图→真值表

ü 逻辑函数的标准与或表示形式
①最小项概念
在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
三个变量A、B、C可组成8(23)个最小项：

四个变量可组成16(24)个最小项，记作m0～m15。
②逻辑函数的最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。

如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。

该部分主要是让学生们掌握数字电路研究工具逻辑代数基础知识。

为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处注意：要提醒学生，正负逻辑问题，课程主要针对正逻辑进行讨论。
课堂设计：与逻辑运算可采用实例教学，这易于学生理解和掌握。
课堂设计：或逻辑运算可采用实例教学，这易于学生理解和掌握。

课堂设计：非逻辑运算可采用实例教学，这易于学生理解和掌握。

为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。
此处强调：常用逻辑运算只是“与、或、非”三种基本逻辑运算的组合。

为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。

此处注意：需要详细解释异或运算概念和含义。

此处注意：需要详细解释同或运算概念和含义，并提醒学生异或和同或运算关系互为反函数。

为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。

此处注意：应该针对比较难理解的分配律进行证明，使学生能更好地掌握。

此处注意：应该针对比较难理解的反演律进行证明，使学生能更好地掌握。

此处注意：对比较难理解的包含律进行证明，使学生能更好地掌握。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。

此处强调：应用反演规则两个必须注意的问题。

此处说明：卡诺图及硬件描述语言需要专门研究，该讲暂不介绍。
此处提醒：函数式描述可能有多种形式，以后要介绍标准与或逻辑表示形式。

课堂设计：函数表示方法之间的相互转换易于采用给出方法并实例方式教学，这易于学生理解和掌握。
为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。

为了节约课时采用课件PPT演示方式组织教学。

此处提醒：通过不同方法得到函数式描述逻辑功能时，可能有多种形式且都是正确的，为便于统一需要采用标准与或表示。

此处强调：逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的标准与或表达式，但该表达式也是最繁琐的。

4.小结逻辑代数基础知识内容
1）基本逻辑运算——与、或、非逻辑运算。
2）常用逻辑运算——与非、或非、与或非、异或和同或逻辑运算。
3）逻辑函数定义及表示方法——逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言。
4）逻辑函数表示方法之间的相互转换。
通过课堂总结，使学生加深对本节课逻辑代数基础知识内容的印象。
5.课后讨论与思考
问题：设计三人表决电路（A、B、C）。每人一个按键，如果同意则按下按键，用“1”表示，不同意则不按按键，用“0”表示。表决结果用指示灯Z表示，多数同意时指示灯Z亮，用“1”表示；否则指示灯Z不亮，用“0”表示。分别用真值表、标准与或逻辑函数式、逻辑图、波形图描述该逻辑电路功能。
让学生思考，利于对该节课内容的掌握。