63子群及其陪集.pptx

第六章 群、环、域123代数系统代数系统代数系统代数系统子群及其陪集子群及其陪集567群的同态及同构群的同态及同构群的同态及同构群的同态及同构环环环环域的特征域的特征域的特征域的特征 素域素域素域素域4多项式多项式多项式多项式有限域有限域有限域有限域8群的定义群的定义群的定义群的定义6.3.1子子群群的的定定义义子群子群：设（设（G，）是一个群，）是一个群，H G，如果如果按按照照G中的乘法运算中的乘法运算，(H，)仍是一个群，则仍是一个群，则(H，）叫做（）叫做（G，）的子群。）的子群。真子群真子群：如果如果G的一个子群的一个子群H不等于不等于G，即，即H G则（则（H，）叫做）叫做(G，）的真子群。）的真子群。Note:G的子群的子群H的运算必须与的运算必须与G的运算一样，的运算一样，比如比如,（C*，）不是（）不是（C，+）的子群。）的子群。子群的例子群的例l例例.（mZ，+）是整数加法群（）是整数加法群（Z，+）的一个子群，其中的一个子群，其中m为整数。为整数。l例例.（C，+）以（以（R，+）、（、（Q，+）、（、（Z，+）为为其真子群。其真子群。l例例.（C*，）以以（R*，）、（、（Q*，）为其真子群。为其真子群。l例例.行列式等于行列式等于1的所有的所有n阶矩阵作成实数域上所有阶矩阵作成实数域上所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个真子群。阶非奇异矩阵的乘法群的一个真子群。l例例.n次次交代群交代群是是n次对称群的一个真子群次对称群的一个真子群(n1)。平凡子群平凡子群任一群任一群G都有两个明显的子群，称为都有两个明显的子群，称为G的平凡的平凡子群：子群：l由其单位元素组成的子群由其单位元素组成的子群1，称为，称为G的单的单位子群；位子群；lG本身。本身。其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。平凡子群平凡子群l例：例：偶数加法群是整数加法群的非平凡子群偶数加法群是整数加法群的非平凡子群l例例:是否对于任意群是否对于任意群G G，都存在两个不同的子群？，都存在两个不同的子群？l例：例：若若S=0,1,2,3,4，规定，规定S上的运算上的运算 5是模是模5加加法，则法，则(S,5)是模是模5的整数加法群的整数加法群.取取A=0,2,4,问问A在在 5下，是否为下，是否为S的子群？的子群？6.3.2子群的判别条件子群的判别条件定理定理6.3.1（判别条件一）（判别条件一）群群G的一个子集的一个子集H是是G的一个子群的充分必要的一个子群的充分必要条件是条件是(1)若若aH，bH，则，则abH；(2)若若aH，则，则a-1H；(3)H非空。非空。判别条件一判别条件一(必要性证明必要性证明)证明：证明：必要性必要性若若H是是G的子群，则的子群，则(1)、(3)显然。显然。现要证（现要证（2）.判别条件一判别条件一(必要性证明必要性证明)先证先证H中的单位元就是中的单位元就是G中的单位元。中的单位元。设设1G是是G中的单位元，中的单位元，1H是是H中的单位元。中的单位元。任取任取aH，则在则在H中有：中有：1Ha=a，故在故在G中也成立。以中也成立。以a-1右乘得右乘得（1Ha）a-1=aa-1，即，即，1H（aa-1）=1G，1H1G=1G，故，故，1H=1G。判别条件一判别条件一(必要性证明必要性证明)由群的定义，对于由群的定义，对于H中的中的a，应有应有bH，使，使，ab=1H，而而1H=1G，因此，因此，ab=1G，此式在此式在G中亦成立，以中亦成立，以a-1左乘得左乘得a-1ab=a-11Gb=a-11G=a-1，因而因而a-1H，即（即（2）成立。）成立。必要性证毕。必要性证毕。判别条件一判别条件一（充分性证明）（充分性证明）设设(1),(2),(3)成立。成立。l由由(3)，H非空。非空。l由由(1)，H内运算封闭内运算封闭.l在在G中成立的结合律在子集中成立的结合律在子集H中自然成立。中自然成立。l往证往证H中有单位元中有单位元1G。任取。任取aH,由由(2),a-1H,由由(1),aa-1H，即即1GH；1G在在G中适合中适合1Ga=a，故在故在H中亦有此性质。中亦有此性质。l往证往证H中任意元素中任意元素a有逆有逆.因由因由(2),a-1H，但是但是G中，中，a-1a=1G，此式在此式在H中亦应成立，故中亦应成立，故a-1即即a在在H中之逆。中之逆。综上，综上，H在在G的运算下是一个群，故是的运算下是一个群，故是G的子群。的子群。l子群子群H与大群与大群G的关系：的关系：H的单位元就是的单位元就是G的单位元，的单位元，H中任一元素中任一元素a在在H中的逆元也就是中的逆元也就是a在在G中的逆元中的逆元。应用判别条件一应用判别条件一例例设（设（H1，），（），（H2，）是群（是群（G，）的两个互不包含的子群，证的两个互不包含的子群，证明：明：H1H2G。证明：因证明：因H1H2 G，故只需证故只需证G中存在中存在一个元素，它既不属于一个元素，它既不属于H1，也不属于也不属于H2。由由H1，H2互不包含知，存在互不包含知，存在x，y，使得使得xH1，且且x H2，yH2，且且y H1。往证往证xy H1，且且xy H2。u用反证法用反证法，若，若xyH1，则由则由xH1及由及由H1是是G的子群知，的子群知，x-1H1，故，故，x-1（xy）H1，即，即，yH1，与与y H1矛盾。矛盾。u用用反证法，反证法，若若xyH2，则由则由yH2及由及由H2是是G的子群知，的子群知，y-1H2，故，故，（xy）y-1H2，即，即，xH2，与与x H2矛盾。矛盾。因此，因此，xy H1H2，而而xyG，所以所以H1H2G。定理定理6.3.2（判别条件二）（判别条件二）定理定理6.3.1中的两个条件中的两个条件(1)，(2)可以换成下面一可以换成下面一个条件个条件(*)若若aH,bH，则，则ab-1H。证明：证明：设设(1),(2)成立，往证成立，往证(*)成立。设成立。设aH，bH，由，由(2),b-1H，故由，故由(1)，ab-1H，因而，因而(*)成立成立l设设(*)成立，往证成立，往证(1),(2)成立。设成立。设aH，由，由(*)可推得，可推得，aH,aH，故，故aa-1H，即，即1H。又由。又由(*)可推得，可推得，1H，aH，故，故1a-1H，即，即a-1H，因而，因而(2)成立。成立。l设设aH，bH，因为，因为(2)已证，故已证，故b-1H。再由。再由(*)推知，推知，aH，b-1H，故，故a(b-1)-1H，即，即abH，故，故(1)成立。成立。应用判别条件二应用判别条件二例例l设设H、K是是G的子群，求证的子群，求证HK也是也是G的子群的子群证明：证明：显然显然HK G(1)往证往证HK非空。由非空。由H、K是是G的子群，知，的子群，知，1H且且1K故故1HK.(2)任取任取a，bHK，往证，往证ab-1HK由由a,bH，及，及H是是G的子群，知，的子群，知，ab-1H同理可得，同理可得，ab-1K。故。故ab-1HK。因此因此,HK是是G的子群。的子群。扩展结论：扩展结论：群群G G的任意多个子群的交仍是的任意多个子群的交仍是G G的子群的子群应用判别条件二应用判别条件二例例给定整数给定整数m，证明证明(mZ,+)是一个群。是一个群。证明证明：因：因(Z,+)是一个群，是一个群，mZ是是Z的非空子集，因此，只需证的非空子集，因此，只需证(mZ,+)是是(Z,+)的子群。的子群。对任意对任意x,ymZ,存在存在k,lZ，使得使得x=km,y=lm,于是于是x-y=km-lm=(k-l)mmZ。因此，因此，(mZ,+)是是(Z,+)的子群，当然本身是的子群，当然本身是一个群。一个群。定理定理6.3.3（判别条件三）（判别条件三）群群G的一个的一个有限非空有限非空子集子集H是是G的一个子群的的一个子群的充分必要条件是充分必要条件是H对对G的运算是封闭的，即若的运算是封闭的，即若aH，bH，则，则abH。如果如果(G,)是有限群，则对是有限群，则对G的任意非空子集的任意非空子集H，只要，只要运算运算封闭，封闭，(H,)就是就是(G,)的子群的子群。证明：证明：必要性必要性显然。显然。充分性。充分性。由判别条件一知，只需证明由判别条件一知，只需证明若若aH，则则a-1H即可。即可。任取任取a H,则由运算封闭性则由运算封闭性,a,a2,a3,.H。因为因为H有限有限,所以所以 i,j,有有ai=aj,ji，故故aj-i=1,aaj-i-1=1a)若若j-i1,则则a-1=aj-i-1 H。b)若若j-i=1,则则a=1,故故a-1=a H。因此因此,H是是G的子群的子群.(充分性也可用习题充分性也可用习题6.22结论证明结论证明)应用判别条件三应用判别条件三例例设设G是是n次对称群，判断其非空子集是否是群只次对称群，判断其非空子集是否是群只需验证运算是否封闭。需验证运算是否封闭。试判断下面子集在置换的乘法下是否是群：试判断下面子集在置换的乘法下是否是群：(1)所有偶置换的集合所有偶置换的集合(2)所有奇置换的集合所有奇置换的集合(3)I,(12)(4)I,(12),(13)6.3.3循循环环群群定理定理6.3.4设设a是群是群G的一个元素。于是的一个元素。于是a的所有幂的集合的所有幂的集合an|n=0,1,2,，做成，做成G的一个子群，记为的一个子群，记为(a)。此群称为由此群称为由a生成的子群生成的子群。证明：证明：(1)(a)非空，例如非空，例如a0=1(a)。(2)任取任取(a)中二元素中二元素am，an，有有am(an)-1=ama-n=am-n(a)。故由定理。故由定理6.3.2，(a)做成做成G的一个子群。的一个子群。6.3.3循循环环群群定义定义:如果如果G可以由它的某元素可以由它的某元素a生成生成,即有即有aG使使G=(a)，群，群G叫做一个循环群，或巡回群。于是定理叫做一个循环群，或巡回群。于是定理6.3.4中的子群中的子群(a)可称为由可称为由a生成的循环子群。生成的循环子群。例例:整数加法群（整数加法群（Z，+）是由）是由1生成的循生成的循环群。（环群。（nZ，+）是由）是由n生成的循环群。生成的循环群。例例.设设G G是是4 4次对称群（本身不是循环群），次对称群（本身不是循环群），由（由（1 21 2）生成的循环子群为）生成的循环子群为 I I，（，（1 21 2）。l例例1：(C*,.)是非零复数乘法群：是非零复数乘法群：H1=1，-1，i，-i，是由，是由i生成的生成的(C*,.)的循环子群的循环子群H2=1，-1，是由，是由-1生成的生成的(C*,.)的循环子群的循环子群H3=2-2,2-1,20,2,22，是由，是由2生成的生成的(C*,.)的循环子群的循环子群l例例2：判断有理数加群（：判断有理数加群（Q,+）是否为循环群？）是否为循环群？l例例3:判断正有理数乘法群判断正有理数乘法群(Q+,.)是否为循环群？是否为循环群？l结论：每个循环群是结论：每个循环群是Abel群。群。证明：设证明：设(G,*)是循环群，是循环群，g是生成元，是生成元，则对则对 a,b G,a=gr，b=gs，a*b=gr*gs=gr+s=gs*gr=b*a因此，因此，G是是Abel群。群。元素的周期元素的周期看由元素看由元素a所生成的循环群所生成的循环群(a)：,a-2,a-1,a0,a,a2,其中其中a0=1(1)有两种情形：有两种情形：情形情形10：如果如果(1)中所有元素都彼此不同，则称中所有元素都彼此不同，则称a的周期为的周期为无穷大或无穷大或0。此时，对任意两个不同的整数。此时，对任意两个不同的整数s与与t，asat。情形情形20：如果：如果(1)中出现重复的元素，即有整数中出现重复的元素，即有整数st使使as=at。不妨设。不妨设st，于是，于是s-t0而而as-t=1，即有正整数，即有正整数m使使am=1。若。若n为适合为适合an=1的最小正整数，则称的最小正整数，则称a的周期为的周期为n。元素的周期元素的周期u结论结论：群中单位元的周期为群中单位元的周期为1，（，（1）=1。u结论结论:群中任一元素和它的逆元具有同样的周期群中任一元素和它的逆元具有同样的周期证明证明:若若a的周期为无穷大的周期为无穷大,则显然则显然a-1的周期也为无穷大的周期也为无穷大若若a的周期为的周期为n,a-1的周期为的周期为m，由由(a-1)n=(an)-1=1-1=1，知知mn。由由am=(am)-1)-1=(a-1)m)-1=1-1=1，知知nm。因此，因此，m=n。周期的例周期的例例例.4次对称群中（次对称群中（1234）的周期是）的周期是4，因为，因为（1234）2=（13)(24）（1234）3=（1432）（1234）4=I例例.在在（C*，）中，中，1的周期为的周期为1，-1的周期为的周期为2.i的周期为的周期为4，模数，模数r1的复数的复数z=rei的周期为无穷大。的周期为无穷大。周期的例周期的例例例:设设(G,)是是群群,x，yG,且且yxy-1=x2其其中中x1,y的周期是的周期是2,试求试求x的周期。的周期。解：解：由已知由已知x1，断言断言x21.反证，若反证，若x2=1，由已知由已知yxy-1=x2，得得yxy-1=1，即，即，y（xy-1）=1，又由群中任意元素的逆是唯一的得又由群中任意元素的逆是唯一的得y-1=xy-1，两边同时右乘两边同时右乘y，得得x=1，与已知矛盾。与已知矛盾。l由由yxy-1=x2，得：得：x4=（yxy1）（yxy1）=（yx）（y1y）（xy1）=（yx）1（xy1）=yx2y1=y（yxy1）y1由已知由已知=y2xy2由由y的周期是的周期是2知，知，y2=1，且且y2=1。因此，因此，x4=1x1=x。即，即，x3=1。因此，因此，3是满足是满足xn=1的的n的最小正整数的最小正整数即，即，x的周期是的周期是3。定理定理6.3.5若群若群G中元素中元素a的周期为的周期为n，则，则（1）1,a,a2,a3,an-1为为n个不同元素；个不同元素；（2）am=1当且仅当当且仅当n m;（3）as=at当且仅当当且仅当n(s-t)。证明：证明：因为任意整数因为任意整数m恒可唯一地表为恒可唯一地表为m=nq+r，0rn故故am=anqar=(an)qar=1qar=lar=ar；由于由于0rn，故按周期的定义知故按周期的定义知ar=1iffr=0所以所以am=1iffr=0iffn m即（即（2）得证。由（）得证。由（2）即知）即知as=atiffas-t=1iffn(s-t)，即（即（3）得证，最后由（）得证，最后由（3）立即可得（）立即可得（1）。）。l结论：结论：设设a为群为群G的一个元素，的一个元素，（1）如果）如果a的周期为无穷大，则（的周期为无穷大，则（a）是无限是无限循环群，（循环群，（a）由彼此不同的元素由彼此不同的元素，a-2，a-1，1，a，a2，组成。组成。（2）如如果果a的的周周期期为为n，则则（a）为为n元元循循环环群群它由它由n个不同的元素个不同的元素1，a，a2，a3，an-1组成。组成。注：注：加法加法群中元素的周期群中元素的周期在加法群中，在加法群中，(a)应换为应换为a的所有倍数的集合的所有倍数的集合，-2a，-a，0，a，2a，*当当(*)中的所有元素均彼此不同时，称中的所有元素均彼此不同时，称a的周期为的周期为无穷大或为无穷大或为0；否则当；否则当n为为适合适合na=0的最小正整数的最小正整数时，称时，称a的周期为的周期为n.例例.（Z,+)中除中除0以外以外,其余元素的周期为无穷大其余元素的周期为无穷大例例.A1=0,1,2,3,4,5,6为模为模6加法运算，求加法运算，求(A1,6)中各个元素的周期。中各个元素的周期。0的周期为的周期为1；1的周期为的周期为6；2的周期为的周期为3；3的周期为的周期为2；4的周期为的周期为3；5的周期为的周期为6.定理定理6.3.5若加法群中若加法群中a的周期为的周期为n，则有则有(1)0，a，2a，,(n-1)a为为n个不同元素个不同元素(2)ma=0当且仅当当且仅当n m;(3)sa=ta当且仅当当且仅当n(s-t).循环群的生成元素循环群的生成元素定理定理6.3.6(1)无限循环群（无限循环群（a）一共有两个生成元）一共有两个生成元:a及及a-1.(2)n元循环群（元循环群（a）中，元素）中，元素ak是（是（a）的生成元的充要条件是（）的生成元的充要条件是（n，k）=1。所以（所以（a）一共有）一共有（n）个生成元素。）个生成元素。例：例：证明：证明：（1）往证无限循环群中，共有）往证无限循环群中，共有2个生成元个生成元a及及a-1如果如果ak是（是（a）的一个生成元，那么（）的一个生成元，那么（a）中每个元素都）中每个元素都可表示为可表示为ak的方幂。特别地，的方幂。特别地，a也可表示为也可表示为ak的方幂。设的方幂。设a=（ak）m=akm由由(a)是无限循环群知，是无限循环群知，km=1.因此，因此，k=1。即，。即，a及及a-1为无限循环群为无限循环群(a)的生成元的生成元。(2)往证：往证：n元循环群（元循环群（a）中，元素）中，元素ak是（是（a）的生成元的充要条件是（）的生成元的充要条件是（n，k）=1必要性。必要性。若若ak是是（a）的的一一个个生生成成元元，那那么么（a）中中每每个个元元素素都都可可表表示示为为ak的的方方幂幂。特特别别地地，a也也可可表表示示为为ak的方幂。设的方幂。设a=(ak)m=akm。因（因（a）是一个是一个n元循环群，即元循环群，即a的周期为的周期为n。由周由周期的性质知，期的性质知，n|km-1。因此，因此，km-1=qn，mk-qn=1。这说明这说明k与与n互质互质。(2)往证：往证：n元循环群（元循环群（a）中，元素）中，元素ak是（是（a）的生成元的充要条件是（）的生成元的充要条件是（n，k）=1充分性。若充分性。若k与与n互质，互质，则有则有s和和t，使使sk+tn=1，故故a1=ask+tn=askatn=(ak)s(an)t=(ak)s.即即a可表为可表为ak的若干次方，因此（的若干次方，因此（a）中每个元素都可表示为中每个元素都可表示为ak的方幂，的方幂，ak是（是（a）的一个生成元的一个生成元总之总之,ak是是(a)的生成元的生成元iff（n，k）=1但在但在0kn中，共有中，共有(n)个个k与与n互质，故共有互质，故共有(n)个元素个元素ak可生成（可生成（a）。）。例例.(Z,+)的生成元：的生成元：1,-1例例.(nZ,+)的生成元：的生成元：n,-n例例.设设(a)=1,a,a2,a3（n）=（4）=2,(a)的生成元为的生成元为a，a3。验证：验证：(a3)=(a3)0,(a3)1,(a3)2,(a3)3=1,a,a2,a3a2不是不是(a)的生成元的生成元:(a2)=(a2)0,(a2)1=1,a21不是不是(a)的生成元的生成元:(1)=1l例：例：S1=0,1,2,3,4，5为模为模5加法运算，则（加法运算，则（S1,5）为模）为模5整数加法整数加法群。请求出群。请求出S1中每个元素的周期中每个元素的周期,并指出所有的生成元。并指出所有的生成元。l解：解：0的周期为的周期为11的周期为的周期为52的周期为的周期为53的周期为的周期为54的周期为的周期为5生成元：生成元：1,2,3，4l例：例：S2=0,1,2,3,4，5，6为模为模6加法加法运算，则（运算，则（S2,6）为为模模6整数整数加法群。请求出加法群。请求出S2中中每个元素的每个元素的周期周期,并指出所有的生成元并指出所有的生成元。l解：解：0的周期为的周期为11的周期为的周期为62的周期为的周期为33的周期为的周期为24的周期为的周期为35的周期为的周期为6生成元：生成元：1,5结论：结论：模模m加法群是循环群加法群是循环群l例例:请请写写出出3次对称群次对称群(S3,)的所有循环子群的所有循环子群解：解：(I)H=I(12)H=I,(12)(13)H=I,(13)(23)H=I,(23)(123)H=(132)H=I,(123),(132)l例：例：设设G是元数为质数是元数为质数p的循环群，则对于的循环群，则对于G中中任意不是单位元的元素任意不是单位元的元素a，a都是生成元。都是生成元。证明：证明：设设G=（u），），由由a不是单位元，存在不是单位元，存在lZ使使a=ul，且且0l6,矛盾。矛盾。因此，因此，A4不会有不会有6元子群。元子群。Lagrange定理总结定理总结l结论结论1：若若G为有限群，并且为有限群，并且|G|=n,则则G的任意子群的元数均为的任意子群的元数均为n的因子；反过来，的因子；反过来，对于对于n的任意一个因子的任意一个因子m，G未必有未必有m元子群。元子群。l结论结论2：若若G是是循环群循环群，且，且|G|=n，则对于，则对于n任意一个正因数任意一个正因数m，G一定存在一定存在m元子元子群。群。l结论结论3：元数是质数的群，一定没有非平凡子群元数是质数的群，一定没有非平凡子群l结论结论4：设设G是有限群，且是有限群，且|G|=n，则则G中任意元素的周期一定为中任意元素的周期一定为n的因子。的因子。H在在G中的指数中的指数:有限群有限群G的元数除以的元数除以H的元数的元数所所得得的的商商,记记为为（G：H），称称作作H在在G中中的的指指数。数。结论：结论：H的指数也就是的指数也就是H的右的右(左左)陪集的个数陪集的个数右右代代表表系系:从从每每个个右右陪陪集集中中选选出出一一个个元元素素为为代代表表全全体体代代表表的的集集合合叫叫做做一一个个右右代代表表系系或或右右代代表团。表团。结结论论：设设G有有限限而而g1，gs作作 成成 一一 个个 右右 代代 表表 系系 则则 g1H，gsH便是便是H的所有右陪集而的所有右陪集而G=g1HgsH。应用应用Lagrange定理定理l定定 理理 6.3.8 设设G为为有有限限群群，元元数数为为n，对对任任意意aG，有有an=1。证明：证明：因为因为G有限，有限，a的周期必有限，否则的周期必有限，否则a所生所生成的循环子群（成的循环子群（a）将无限，将无限，G的元素将无穷多。的元素将无穷多。命命a的周期为的周期为m，则则a生成一个生成一个m元循环子群（元循环子群（a）。按按Lagrange定理，定理，mn，即即n0（modm），），因此因此an=1。例例写出三次对称群的所有子群。写出三次对称群的所有子群。S3=（1）,(12),（13）,（23）,（123）,(132)由由Lagrange定理，子群的元数只能为定理，子群的元数只能为1,2,3,6元数为元数为1的子群的子群(（1）,)元数为元数为2的子群的子群(元数为质数的群一定为循环群元数为质数的群一定为循环群)以以(12)为生成元：为生成元：(（1）,（12），），)以以(13)为生成元：为生成元：(（1）,（13），），)以以(23)为生成元：为生成元：(（1）,（23），），)元数为元数为3的子群一定为循环群的子群一定为循环群以以(123)为生成元：为生成元：（1）,（123）,（132），)元数为元数为6的子群的子群:S3l构造元数为构造元数为3 3的群。试完成下面的乘法表。的群。试完成下面的乘法表。*eabeabl元数为元数为3 3的群只有的群只有1 1个。个。*eabeeabaabebbea例例构造元数为构造元数为4的群。的群。任取四元群中一非单位元的元素任取四元群中一非单位元的元素a，由，由Lagrange定理知，定理知，a的周期可能为的周期可能为2,4(1)若若群群中有周期为中有周期为4的元素，不妨设为的元素，不妨设为a。四元循环群四元循环群*eaa2a3eeaa2a3aaa2a3ea2a2a3eaa3a3eaa2(2)若除单位元外，其他若除单位元外，其他3个元素个元素a,b,c周期均为周期均为2(每个元素逆均为其自身每个元素逆均为其自身)Klein四元群四元群结论：结论：当当n6时，时，n元群均是交换群。元群均是交换群。*eabceeabcaaecbbbceaccbae作业作业l习题习题6.3-3,5第六章 群、环、域123代数系统代数系统代数系统代数系统群的同态群的同态及同构及同构子群及其陪集子群及其陪集子群及其陪集子群及其陪集567群的定义群的定义群的定义群的定义环环环环域的特征域的特征域的特征域的特征 素域素域素域素域4多项式多项式多项式多项式有限域有限域有限域有限域86.4群的群的同态及同构同态及同构6.6.4 4.1 .1 同同 态态 映映 射射 6.6.4 4.2 .2 同同 构构 映映 射射 6.6.4 4.3 .3 同同 态态 核核 6.4.1 同 态 映 射 l定义定义.设设(G,*)是一个群是一个群,(K,)是一个代数系统，称是一个代数系统，称G到到K的一个映射的一个映射是是一个同态映射，如果对一个同态映射，如果对G中任意元素中任意元素a，b，有有(a*b)=(a)(b)注意：注意：这个映射既不一定是单射也不一定是满这个映射既不一定是单射也不一定是满射。射。l例例.设设(G，*)，(K，+)是两个群，令是两个群，令：xe，xG，其中其中e是是K的单位元。的单位元。则则是是G到到K内的映射，且对任意内的映射，且对任意a,bG，有有(a*b)=e=e+e=(a)+(b)。即，即，是是G到到K的同态映射。的同态映射。(G)=e是是K的一个子群的一个子群,记记G(G)。这个同态映射是任意两个群之间都有的。这个同态映射是任意两个群之间都有的。例例.设设G1是整数加法群，是整数加法群，G2是模是模n的整数加的整数加法群，法群，G2上的运算上的运算 如下：如下：a b=令令：xx(modn)，xG1，则则是是G1到到G2的的满射满射，且对任意，且对任意a,bG1，有有(a+b)=(a+b)(modn)=a(modn)b(modn)=(a)(b)。是是G1到到G2的的满满同态映射。同态映射。例例.设设G为整数加群，为整数加群，G1为实数加群，为实数加群，令令：x-x，xG，则则是是G到到G1内的映射，内的映射，且对任意且对任意x1,x2G，有有(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=(x1)+(x2)，所以所以是是G到到G1的同态映射，显然是单射的同态映射，显然是单射但不是满射，但不是满射，(G)=Z是是G1的子群。的子群。设设(G,*)是一个群是一个群,(K,)是一个代数系统，是一个代数系统，是是G到到K中的一个同态映射，中的一个同态映射，G=(G)，则则(1)(G,)是一个群是一个群;(2)G的单位元的单位元1就是就是G的单位元的单位元1的映像的映像(1)，即即1=(1)；(3)对任意对任意aG，(a)-1=(a-1)。称称G和和G同态，记为同态，记为GG。定理6.4.1例例.对群对群(Z，+)和和(C*，)，若令，若令：nin，nZ，其中其中i是是C的虚数单位。的虚数单位。则则是是Z到到C*内的一个映射，且对内的一个映射，且对m,nZ，有有(m+n)=im+n=imin=(m)(n)。即，即，是是(Z，+)到到(C*，)的同态映射，的同态映射，Z(Z)。(Z)=1，-1，i，-i是是C*的一个子群。的一个子群。例例.群群（R，+）和和(R+,)是同态的，是同态的，因为若令因为若令：xex，xR，则则是是R到到R+的的1-1映射映射，且对，且对任意任意x1,x2R，有有(x1+x2)=ex1+x2=ex1ex2=(x1)(x2)，是是（R，+）到到(R+,)的的满同态映射满同态映射。定理 6.4.1证明(1)因因为为群群G非非空空，至至少少1G，故故至至少少(1)G，即即G非空。非空。(2)任取任取aG，bG，往证往证abG。因有因有a,bG,使得使得a=(a),b=(b)，故按故按的同态性，的同态性，ab=(a)(b)=(ab)，而而abG,因而因而ab=(ab)(G),即即abG。(3)往证往证G中有结合律成立：中有结合律成立：任取任取a,b,cG，往证往证a(bc)=(ab)c。因有因有a,b,cG,使得使得a=(a),b=(b),c=(c)，故按故按的同态性，的同态性，a(bc)=(a)(b)(c)=(a(bc)(ab)c=(a)(b)(c)=(ab)c)因群因群G中有结合律成立中有结合律成立,所以所以a(bc)=(ab)c。于是于是(a(bc)=(ab)c)。因此，因此，a(bc)=(ab)c。(4)往证往证G有左壹而且就是有左壹而且就是(1)，即证对于任意的即证对于任意的aG，有有(1)a=a。因有因有aG，使得，使得a=(a)，按按的同态性的同态性(1)a=(1)(a)=(1a)=(a)=a。(5)往证往证G中任意元素中任意元素(a)有左逆且就是有左逆且就是(a-1)。由由aG，且且G是群，知是群，知a-1G，故故(a-1)G。由由的同态性的同态性(a-1)(a)=(a-1a)=(1)。即即G做成一个群做成一个群,G的壹的壹1=(1)，G中中(a)的逆是的逆是(a-1)。结论：结论：在定理在定理6.4.1前提下前提下,如果如果G中两个元素在中两个元素在G中的映像相同，则它们的逆元在中的映像相同，则它们的逆元在G中的映像仍相中的映像仍相同。即若同。即若(a)=(b),往证往证(a-1)=(b-1)证明：证明：若若(a)=(b)，则，则(a)-1=(b)-1由定理由定理6.4.1知知(a)-1=(a-1)(b)-1=(b-1)故，故，(a-1)=(b-1)习题习题6.2-2举例说明不要求举例说明不要求可除条件可除条件而要求消去条件，而要求消去条件，即要求由即要求由ax=ay可推出可推出x=y，由，由xa=ya可推可推出出x=y，则，则G不见得是一个群，若不见得是一个群，若G有限怎么有限怎么样？样？解解:(1)例如，全体正整数在普通乘法下，适合例如，全体正整数在普通乘法下，适合消去律，但不是群消去律，但不是群。(2)往证有限半群，满足消去条件，一定是群。往证有限半群，满足消去条件，一定是群。解：解：因因G有限，设有限，设G=a1，a2，an，任取，任取G中元素中元素a，用，用a右乘右乘G中各元素得中各元素得a1a，a2a，ana先证这先证这n个元素必不相同。反证法，若个元素必不相同。反证法，若aia=aja(i j)，由消去条件有，由消去条件有ai=aj，矛盾。，矛盾。设设G1=a1a，a2a，ana,G=G1.则对任意则对任意b G，必有，必有ai，使，使aia=b，因之方程，因之方程xa=b有解。同理可知有解。同理可知ay=b有解。有解。故故G是群。是群。