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2011.6.9 信春哥 逢考必过 不挂科 作者：娟鹏数字信号处理复习资料第一章 时域离散信号和时域离散系统一、常用的典型序列1 单位采样序列(n)单位采样序列也称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0 时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.2所示。图1.2.2单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号 2 单位阶跃序列u(n) 单位阶跃序列如图1.2.3所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下列式所示： 图1.2.3 单位阶跃序列 3 矩形序列RN(n) 式中，N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.4所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： 图1.2.4 矩形序列 *4 实指数序列x(n)=anu(n)a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.5所示。 图1.2.5 实指数序列 *5 正弦序列式中, 称为正弦序列的数字域频率(也称数字频率)，单位是弧度(rad)，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。*6 复指数序列复指数序列用下式表示:式中, 0为数字域频率。二、线性时不变系统的判断（计算题）1、线性系统系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 那么线性系统一定满足下面两个公式：可加性比例性或齐次性式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成 下式中a和b均是常数【例1.3.1】证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表的系统是非线性系统。证明 因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。2、时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：式中n0为任意整数【例1.3.2】检查y(n)=ax(n)+b所代表的系统是否是时不变系统，式中a和b是常数。解 因此该系统是时不变系统。【例1.3.3】检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解 因此该系统不是时不变系统。此例从物理概念上可以理解成该系统是一个放大器，其放大量是n，它随n变化，因此是一个时变系统。依同样方法可以证明所代表的系统也是时变系统。 三、线性时不变系统具备因果性的充要条件如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应满足下式： 满足式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。因果系统条件式从概念上也容易理解，因为单位脉冲响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。四、序列周期的计算例：判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的，确定其周期。(1)(2) 公式： T=2/解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。第二章 时域离散信号和系统的频域分析一、1.时域离散信号的傅里叶变换（实序列）（计算题）序列x(n)的傅里叶变换定义为FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：X(ej)的傅里叶反变换为【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解 2.周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数， 强度是2， 即对于时域离散系统中， x(n)=ejw0n， 2p /w0为有理数， 暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样， 即是在w=w0处的单位冲激函数， 强度为2p ，但由于n取整数， 下式成立 为整数因此 的FT为 (2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2表2.3.2基本序列的傅里叶变换 【例2.3.3】令 为有理数，求其FT。解将 用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：式表明，cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，二、序列福利也不会的性质及定理*1 FT的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立： 为整数观察上式，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。*2 线性设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么式中, a，b是常数。 3时移与频移设X(ej)=FTx(n), 那么时移频移4 FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式： 则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示： 将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到： 上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列： 将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：可以得到：即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 【例2.2.2】试分析x(n)=ejn的对称性。解因为x*(n)=ejn=x(n)满足式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 式中，xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将上式中的n用n代替，再取共轭, 得到：可得：利用上面两式，可以用x(n)分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ej)，也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）式中，Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足： 即有了上面的概念和结论，下面研究FT的对称性。 (1) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到:式中 上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。容易证明：Xe(ej)满足（2.2.20）式，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(ej) 满足（2.2.21）式，具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。 最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。 (2) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n) 将上式重写如下：将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：因此x(n)=xe(n)+xo(n)式的FT为式表示：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ej)的实部XR(ej)，而序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ej)的虚部(包括j)。【例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)按式，得到：*5 时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H(ej) *6 频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n) 则 *7 帕斯维尔（Parseval）定理表：序列傅里叶变换的性质定理三、序列的Z变换及逆Z变换（留数法）1. 序列的Z变换在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。序列x(n)的Z变换定义为 （2.5.1）式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在、之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式： （2.5.2）这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。（2.5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 （2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即图2.5.1变换的收敛域令z=rej，代入上式得到RxrRx，收敛域是分别以Rx和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图 2.5.1 中所示的斜线部分)。 当然，Rx可以小到零，Rx可以大到无穷大。收敛域的示意图如图2.5.1所示。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 【例2.5.1】x(n)=u(n), 求其Z变换。解X(z)存在的条件是|z1|1, 因此X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。2.逆Z变换已知序列的Z变换X(z)及其收敛域，求原序列x(n)的过程称为求逆Z变换。计算逆Z变换的方法有留数法、部分分式展开法和幂级数法（长除法）。下面仅介绍留数法和部分分式展开法，重点放在留数法。1） 用留数定理求逆Z变换序列的Z变换及其逆Z变换表示如下：式中, c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线，如图2.5.3所示。求逆Z变换时，直接计算围线积分是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。为了表示简单，用F(z)表示被积函数：F(z)=X(z)zn1。 图2.5.3围线积分路径 如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有（2.5.6） 式中, ResF(z), zk表示被积函数F(z)在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。如果zk是单阶极点，则根据留数定理有如果zk是N阶极点，则根据留数定理有 （2.5.8）（2.5.8）式表明，对于N阶极点，需要求N1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。如果F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上的极点分成两部分：一部分c是内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，下式成立： （2.5.9） 注意：（2.5.9）式成立的条件是F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和Q(z)分别是M与N阶多项式。（2.5.9）式成立的条件是: N-M-n+12因此要求 n|a-1|，对应的x(n)是因果序列；（2） |z|a|，对应的x(n)是左序列；（3） |a|z|a-1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，因此最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。 （2） 收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时, 最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(a-n-an)u(-n-1)（3） 收敛域为|a|z|a-1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a, x(n)=ResF(z), a=ann0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1， 因此x(n)=-ResF(z), a-1=a-n最后将x(n)表示为表2.5.1常见序列的Z变换 即x(n)=a|n|四、序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1 有限长序列如序列x(n)满足下式：即序列x(n)从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10, n20时，0|z|n10时，0|z|0时，0|z|【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果（2.2.5）式是相同的。2 右序列右序列是指在nn1时，序列值不全为零，而在nn1时，序列值全为零的序列。 右序列的Z变换表示为第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx-|z|。 【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。解 在收敛域中必须满足|az-1|a|。3 左序列左序列是指在nn2时，序列值不全为零，而在nn2时，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为如果n20, z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx，则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。【例2.5.5】x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|1; 第二部分收敛域为|az1|a|。如果|a|1, 两部分的公共收敛域为|a|z|a|1, 其Z变换如下式:图2.5.2例2.5.5图如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，N2 (N/2) lbN，所以，DIT-FFT算法比直接计算DFT的运算次数大大减少。例如，N=210=1024时，这样，就使运算效率提高200多倍。图4.2.5为FFT算法和直接计算DFT所需复数乘法次数CM与变换点数N的关系曲线。由此图更加直观地看出FFT算法的优越性，显然，N越大时，优越性就越明显。三、基于2DIT-FFT，顺序输出与顺序输入之间的关系这种经过M次偶奇抽选后的排序称为序列x(n)的倒序(倒位)。DIT-FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N=2M，因此顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2n1n0)表示。M次偶奇时域抽选过程如图4.2.7所示。第一次按最低位n0的0和1将x(n)分解为偶奇两组，第二次又按次低位n1的0、1值分别对偶奇组分组；依次类推，第M次按nM-1位分解，最后所得二进制倒序数如图4.2.7所示。 图4.2.7 形成例序的树状图（N=23） 表4.2.1列出了N=8时以二进制数表示的顺序数和倒序数，由表显而易见，只要将顺序数(n2n1n0)的二进制位倒置，则得对应的二进制倒序值(n0n1n2)。按这一规律，用硬件电路和汇编语言程序产生倒序数很容易。但用有些高级语言程序实现时，直接倒置二进制数位是不行的，因此必须找出产生倒序数的十进制运算规律。由表4.2.1可见，自然顺序数I增加1，是在顺序数的二进制数最低位加1，逢2向高位进位。而倒序数则是在M位二进制数最高位加1，逢2向低位进位。表4.2.1 顺序和倒序二进制数对照表 例如，在(000)最高位加1，则得（100），而(100)最高位为1，所以最高位加1要向次高位进位，其实质是将最高位变为0，再在次高位加1，得到(010)。用这种算法，可以从当前任一倒序值求得下一个倒序值。 为了叙述方便，用J表示当前倒序数的十进制数值。对于N=2M，M位二进制数最高位的十进制权值为N/2，且从左向右二进制位的权值依次为N/4，N/8，2，1。因此，最高位加1相当于十进制运算J+N/2。如果最高位是0(JN/2)，则直接由J+N/2得下一个倒序值；如最高位是1(JN/2), 则先将最高位变成0(JJN/2)，然后次高位加1(J+N/4)。但次高位加1时，同样要判断0、1值，如果为0(JN/4)，则直接加1(JJ+N/4)， 否则将次高位变成0(JJN/4)，再判断下一位；依此类推，直到完成最高位加1，逢2向右进位的运算。图4.2.9所示的倒序的程序框图中的虚线框内就是完成计算倒序值的运算流程图。 形成倒序J后，将原数组A中存放的输入序列重新按倒序排列。设原输入序列x(I)先按自然顺序存入数组A中。例如，对N=8，A(0)，A(1)，A(7)中依次存放着x(0)，x(1)，x(2)，x(7)。对x(n)的重新排序(倒序)规律如图4.2.8所示。倒序的程序框图如图4.2.9所示。 由图4.2.8可见，第一个序列值x(0)和最后一个序列值x(N-1)不需要重排， 每计算出一个倒序值J，便与循环语句自动生成的顺序I比较，当I=J时，不需要交换，当IJ时, A(I)与A(J)交换数据。 另外，为了避免再次调换前面已调换过的一对数据，框图中只对IJ的情况调换A(I)和A(J)的内容。图4.2.8 倒序规律第五章、时域离散系统的网络结构一、无限长脉冲响应基本的网络结构的形式（直接、并联、级联）IIRIIR网络的基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。1 直接型将N阶差分方程重写如下：对应的系统函数为设M=N=2，按照差分方程可以直接画出网络结构如图5.3.1(a)所示。图中第一部分系统函数用H1(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H(z)=H1(z)Hz(z)，当然也可以写成H(z)=H2(z)H1(z), 按照该式，相当于将图5.3.1(a)中两部分流图交换位置，如图5.3.1(b)所示。该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图5.3.1(c)所示的网络结构流图，我们将图5.3.1(c)所示的这类流图称为IIR直接型网络结构。 图5.3.1 IIR网络直接型结构M=N=2时的系统函数为对照图5.3.1(c)的各支路的增益系数与H(z)分母分子多项式的系数可见，可以直接按照H(z)画出直接型结构流图。【例5.3.1】 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解 由H(z)写出差分方程如下：按照差分方程画出如图5.3.2所示的直接型网络结构。 图5.3.2 例5.3.1图2 级联型在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：（5.3.1）式中, A是常数; Cr和dr分别表示H(z)的零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)。Hj(z)如下式： （5.3.2） 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这样H(z)就分解成一些一阶或二阶的子系统函数的相乘形式：（5.3.3）式中i(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的子系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示，H(z)则由k个子系统级联构成。(a) 直接型一阶网络结构