CH可降阶的二阶微分方程.pptx

1第四节 可降阶的二阶微分方程降阶法 23再次积分，得通解为再次积分，得通解为:这种类型的方程的解法，可推广到这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程：阶微分方程：只要连续积分只要连续积分n次次,就可得到这个方程的含有就可得到这个方程的含有n个个任意常数的通解任意常数的通解.解法：解法：将将 y视为新的未知函数，视为新的未知函数，特点：特点：4解解5 解 对所给方程接连积分三次 得 例 求微分方程ye2xcos x 的通解 这就是所给方程的通解 6解法：解法：令令 y=P(x),特点：特点：代入原方程代入原方程,得得根据前面的变换又可得到一个一阶微分方程：根据前面的变换又可得到一个一阶微分方程：对它进行积分，即可得到原方程的通解：对它进行积分，即可得到原方程的通解：78例例4 4 求解求解解解 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为9解此线性微分方程有：解此线性微分方程有：10特点：特点：不显含自变量不显含自变量x.解法：解法：把把y暂时看作自变量，并作变换：暂时看作自变量，并作变换：问问题题：是是否否有有？代代入入原原式式得得？11特点：特点：不显含自变量不显含自变量x.解法：解法：把把y暂时看作自变量，并作变换：暂时看作自变量，并作变换：由由复合函数复合函数的求导法则有：的求导法则有：这样就将原方程就化为这样就将原方程就化为 前式是一个关于变量前式是一个关于变量y、p 的一阶微分方程的一阶微分方程.设它的通解为：设它的通解为：这这是是可可分分离离变变量量的的方方程程，对对其其积积分分即即得得到到原原方方程程的的通解：通解：12解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例5 51314练习练习 解初值问题解初值问题解解 令令代入方程得代入方程得积分得积分得利用初始条件利用初始条件,根据根据积分得积分得故所求特解为故所求特解为得得为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面思考题思考题思考题思考题 二阶可导,且上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以解解 于是在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(考研考研 )再利用 y(0)=1 得利用得两边对 x 求导,得初始条件为方程化为利用初始条件得得故所求曲线方程为1717作业P3961（奇数），2，3练练 习习 题题练习题答案练习题答案20特点：特点：不显含自变量不显含自变量x.解法：解法：把把y暂时看作自变量，并作变换：暂时看作自变量，并作变换：问问题题：是是否否有有？代代入入原原式式得得？