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第六章 实数单元 易错题难题测试综合卷检测

一、选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．4的算术平方根是±2
B．平方根等于本身的数有0、1
C．﹣27的立方根是﹣3
D．﹣a一定没有平方根
2．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
3．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则图中正方形ABCD的边长是（ ）

A．2 B． C． D．3
4．下列一组数(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
6．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是和；②实数包括无理数和有理数；③是的立方根；④无理数是带根号的数；⑤的算术平方根是．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．下列说法正确的是（　　）
A．a2的正平方根是a B．
C．﹣1的n次方根是1 D．一定是负数
8．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它本身，则这个数是非负数；④16的平方根是±4，用式子表示是．⑤若a³0，则，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在实数，，，π，中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．有下列说法：
（1）的算术平方根是4；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数；
（3）某中学七年级有12个班，这里的12属于标号；
（4）实数和数轴上的点一一对应；
（5）一个有理数与一个无理数之积仍为无理数；
（6）如果≈5.34，那么5.335≤<5.345，
其中说法正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数时，输出的结果是，则输入的的值可能是__________．

12．观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64…①
5，7，11，19，35，67…②
根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．
13．一个正数的平方根是和，则的值为_______．
14．的平方根是 _______ ；的立方根是 __________．
15．一个数的立方等于它本身，这个数是__．
16．的算术平方根为_______．
17．的整数部分是________．
18．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数．例如：，若，则的值为______．
19．如图，直径为个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则点对应的数是_______．

20．已知正实数的平方根是和．
（1）当时，的值为_________；
（2）若，则的值为___________
三、解答题
21．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．
22．定义：如果，那么称b为n的布谷数，记为.
例如：因为，所以，
因为，
所以.
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）=________________,g（32）=___________________.
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正整数，则，.
根据运算性质解答下列各题：
①已知，求和的值；
②已知.求和的值.
23．观察下列等式：
①， ②， ③.
将以上三个等式两边分别相加，得
.
（1）请写出第④个式子
（2）猜想并写出：= ．
（3）探究并计算：….
24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数　　　　　　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.

25．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为，
所以
因为，，
所以
因为，
所以
因为，
所以
因此(精确到百分位)，
使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如
①按此规定 ；
②如果的整数部分是的小数部分是求的值．
26．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．
（1）观察一个等比列数1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　；
（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+4+8+16+…+230…①
等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②
由② ﹣ ①式，得2S﹣S＝231﹣1
即（2﹣1）S＝231﹣1
所以
请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；
（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an．

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一、选择题

1．C
解析：C
【分析】
根据立方根与平方根的定义即可求出答案.
【详解】
解：A、4的算术平方根是2，故A错误；
B、平方根等于本身的数是0，故B错误；
C、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C正确；
D、﹣a大于或等于0时，可以有平方根，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.
2．D
解析：D
【分析】
利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】
∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
∵＝﹣a，＝a，
∴与互为相反数，故选项B说法正确；
∵＝﹣，
∴与互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
由图可知；正方形面积为5．再由正方形的面积等于边长的平方依据算术平方根定义即可得出答案.
【详解】
解：由图可知，正方形面积= ，
∴正方形边长=，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理，无理数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．C
解析：C
【分析】
根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
【详解】
解：(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有：(相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
5．B
解析：B
【分析】
先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.
【详解】
从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．
故选B.
【点睛】
本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.
6．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义判断①；根据实数的定义判断②；根据立方根的定义判断③；根据无理数的定义判断④；根据算术平方根的定义判断⑤．
【详解】
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故①错误；
②实数包括无理数和有理数，故②正确；
③是3的立方根，故③正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故④错误；
⑤2的算术平方根是，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
7．D
解析：D
【分析】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A、B、D，根据乘方运算法则判断C即可．
【详解】
A：a2的平方根是，当时，a2的正平方根是a，错误；
B：，错误；
C：当n是偶数时， ；当n时奇数时，，错误；
D：∵ ，∴一定是负数，正确
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，掌握相关的定义与运算法则是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
利用实数的分类，无理数的定义，绝对值的性质、平方根的定义及二次根式的性质.
【详解】
①有理数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误；
③绝对值是它本身的数是非负数，正确；
④16的平方根是±4，用式子表示是，错误；
⑤若a³0，则，正确；
则其中错误的是2个，
故选B.
【点睛】
本题考查了有理数，无理数，绝对值，平方根及二次根式，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
，，=4，是有理数，和π是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，熟练掌握定义是关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据算术平方根的定义、绝对值的性质、数轴的意义实数的运算及近似数的表示方法逐一判断即可得答案．
【详解】
=4，4的算术平方根是2，所以的算术平方根是2，故（1）错误，
绝对值等于它本身的数是非负数；故（2）正确，
某中学七年级共有12个班级，是对于班级数记数的结果，所以这里的12属于记数，故（3）错误，
实数和数轴上的点一一对应；故（4）正确，
0与无理数的乘积为0，0是有理数，故（5）错误，
如果≈5.34，那么5.335≤<5.345，故（6）正确，
综上所述：正确的结论有（2）（4）（6），共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查算术平方根的定义、实数的运算、绝对值的性质及近似数的表示方法，熟练掌握相关性质及运算法则是解题关键．
二、填空题

11．、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
12．515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8
解析：515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，
故它们的和为256+259=515，
故答案为：515．
【点睛】
考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．
13．-1
【分析】
根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．
【详解】
解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，
∴2x-1+2-x=0，
解得：x=-1．
故答案为：-
解析：-1
【分析】
根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．
【详解】
解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，
∴2x-1+2-x=0，
解得：x=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
14．2a
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
的平方根是，的立方根是2a，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立
解析： 2a
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
的平方根是，的立方根是2a，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.
15．0或±1．
【分析】
根据立方的定义计算即可．
【详解】
解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】
本题考查了乘方的
解析：0或±1．
【分析】
根据立方的定义计算即可．
【详解】
解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】
本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．
16．【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
解析：
【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
17．6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．
【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解
解析：6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．
【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．
18．-11或-12
【分析】
根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小
解析：-11或-12
【分析】
根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出的取值范围是解此题的关键．
19．【分析】
点对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径半圆弧周长
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键．
解析：
【分析】
点对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径半圆弧周长
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键．
20．-4
【分析】
（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）根据题意可知，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵正实数的平方根是和，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵正
解析：-4
【分析】
（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）根据题意可知，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵正实数的平方根是和，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∵x是正实数，
∴．
故答案为：-4；．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根，掌握正实数平方根的性质是解此题的关键．
三、解答题

21．（1）48；（2）28
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】
解：（1）第一步：，，，
，
能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，
能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：，，，
，
能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，
能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
而，则，可得，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
即，
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②；.
【分析】
（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；
（2）①根据布谷数的运算性质, g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），，再代入数值可得解；
②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为，，再代入求解.
【详解】
解：（1）g（2）=g（21）=1，
g（32）=g（25）=5；
故答案为1，32；
（2）①g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），
∵g（7）=2.807，g（2）=1，
∴g（14）=3.807；

g（4）=g（22）=2，
∴=g（7）-g（4）=2.807-2=0.807；
故答案为3.807，0.807；
②∵.
∴；
.
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：；
（2）根据以上规律直接写出即可；
（3）各项提出之后即可应用（1）中的方法进行计算．
解：（1）答案为：；
（2）答案为：；
（3）…
=×（+…+）
=×
=.
点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.
24．（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【详解】
操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
 则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
 ①设表示的点与数a表示的点重合，
则-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，

设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，

设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，

设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
25．（1）；（2）①5，②
【分析】
（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可；
（2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可；
②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可．
【详解】
解：（1）因为，
所以
因为，
所以，
因为，
所以
因为，
所以，
因此．
（2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24，
所以，
所以，
所以5；
故答案为：5；
②因为，
所以，
所以原式．
【点睛】
本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键．
26．（1） ， ， ；（2）；（3）
【分析】
（1）÷1即可求出q，根据已知数的特点求出a18和an即可；
（2）根据已知先求出3S，再相减，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．
【详解】
解：（1）÷1＝，
a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝，
故答案为：，，；
（2）设S＝3+32+33+…+323，
则3S＝32+33+…+323+324，
∴2S＝324﹣3，
∴S＝
（3）an＝a1•qn﹣1，a1+a2+a3+…+an＝．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．