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数理统计
一、填空题
１．设为母体X的一个子样,如果 　 　 　　　 ,
则称为统计量。
2．设母体已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为 　
3.设母体Ｘ服从方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 　 　 。
4.假设检验的统计思想是 　 　　 　　 　 　　 。
　小概率事件在一次试验中不会发生
5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5％，
　此问题的原假设为 　 　 　　　 .
6.某地区的年降雨量,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为：
（单位:mｍ） ５87 　6７2　 ７01 640 650　,则的矩估计值为　 　 　 　。
７．设两个相互独立的子样与分别取自正态母体与,　分别是两个子样的方差,令,已知,则。
８．假设随机变量，则服从分布 　　。
9．假设随机变量已知，则　．
10.设子样来自标准正态分布母体，为子样均值，而,　则
１１．假设子样来自正态母体，令，则的分布　　
1２．设子样来自标准正态分布母体,与分别是子样均值和子样方差,令,若已知,则 。
13．如果都是母体未知参数的估计量，称比有效,则满足　　　　　　　 。
14.假设子样来自正态母体，是的一个无偏估计量,则。
15.假设子样来自正态母体，测得子样均值，则的置信度是的置信区间为 　　　　 。
16.假设子样来自正态母体，与未知,测得子样均值,子样方差，则的置信度是的置信区间为 　　 　 。
17.假设子样来自正态母体，与未知,则原假设
:的检验选用的统计量为 　　　　 .
18.正交设计中中S的选择原则是 　 　 　 。
１9．一元线性回归分析中,对随机误差的要求是 　 。
2０．一元线性回归分析中中,对:的检验所用的统计量为
二、选择题

1.下列结论不正确的是 ( 　 　　 　 ）
① 设随机变量都服从标准正态分布,且相互独立,则
② 　独立,
③ 　来自母体的子样,是子样均值，
则
④　与均来自母体的子样,并且相互独立，分别为子样均值，则
２．设是参数的两个估计量,正面正确的是　（ 　 　 )
① 　,则称为比有效的估计量
②　 　，则称为比有效的估计量
③ 是参数的两个无偏估计量，，则称为比有效的估计量
④　 是参数的两个无偏估计量，，则称为比有效的估计量
3.设是参数的估计量,且，则有　(　 　 ）
① 　 不是的无偏估计　 ② 是的无偏估计
③ 　不一定是的无偏估计 ④ 　 不是的估计量
４.下面不正确的是　　( 　　　）
① 　 　 　　 　 　 　②
③　　　 　　　 ④　
5.母体均值的区间估计中，正确的是 ( 　　 )
① 置信度一定时,子样容量增加，则置信区间长度变长；
② 置信度一定时,子样容量增加,则置信区间长度变短;
③ 置信度增大，则置信区间长度变短;
④ 置信度减少，则置信区间长度变短。
６.对于给定的正数，，设是标准正态分布的上侧分位数,则有( 　)
① 　 　 　　 　 ②
③ 　　 ④ 　
7．某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取１6缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣,则应提出假设　(　　　　)
①　： :　　 ②　 :　:
③ :　： ④　： :
8．设子样抽自母体，来自母体，
　，则的分布为
① 　②　 　　③ 　 ④　
９．设为来自的子样观察值，未知,
　则的极大似然估计值为　（ 　 )
①　 ② 　③ ④
１0．子样来自母体，，
则下列结论正确的是 ( 　　 　）
① 　②　 ③ ④
１1.假设随机变量是来自的子样,为子样均值。已知
，则下列成立的是（ 　　)
①　②　③ ④
１2.设子样来自正态母体，与分别是子样均值和子样方差,则下面结论不成立的是( 　 )
①与相互独立 　 　　 ②与相互独立　
③与相互独立 　　④与相互独立
13.子样取自正态母体,已知，未知.则下列随机变量中不能作为统计量的是(　　 ）
　① ②　　 ③ 　 ④　
14.设子样来自正态母体,与分别是子样均值和子样方差，则下面结论成立的是( )
　① 　②　
③ 　　 　　 ④
15．设子样来自母体，则下列估计量中不是母体均值的无偏估计量的是（　 ）．
①　　②　　　③　　④
16．假设子样来自正态母体。母体数学期望已知，则下列估计量中是母体方差的无偏估计是（　 　）
①②③　④
17.假设母体的数学期望的置信度是,置信区间上下限分别为子样函数与　，则该区间的意义是( 　　)
①　 　 　 ②　
③　　　　 　　④　
１8.假设母体服从区间上的均匀分布,子样来自母体。则未知参数　的极大似然估计量为（　 )②
①　　 ② ③ 　　④ 不存在
1９．在假设检验中，记为原假设，则犯第一类错误的概率是(　 ）
① 成立而接受 　　　　 ② 成立而拒绝
③　不成立而接受　 　④　不成立而拒绝
2０．假设子样来自正态母体,为子样均值，记

则服从自由度为的分布的随机变量是(　　 ）
①　　② 　③　　　④　
三、计算题
1.设母体，抽取容量为5的子样，求
（1） 子样均值大于13的概率;
（2） 子样的最小值小于１0的概率;
（3） 子样最大值大于15的概率。
２．假设母体，是来自的一个子样,是子样均值,求。
3．母体,是来自的子样,是子样均值,若,试确定的值。
4.设来自正态母体，是子样均值,
满足,试确定子样容量的大小.
5．假设母体服从正态母体，子样来自母体,计算

6．假设新生儿体重,现测得10名新生儿的体重,得数据如下:　3100 34８０　2520　3７0０　2５2０　3２0０ 2800　3800 3０20　3２6０
(1)求参数和的矩估计；
(2)求参数的一个无偏估计。
7．设随机变量的概率密度函数为　 ，设来自母体的一个子样，求的矩估计和极大似然估计.
8．在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是秒,为了以的置信度使平均反应时间的估计误差不超过秒,那么测量的子样容量最小应取多少
9.设随机变量,是来自的10个观察值，要在的水平下检验 :，：　取拒绝域
(1)
（２)若已知是否可以据此推断成立?　
(3)如果以检验：的拒绝域，试求该检验的检验水平。
１0.假设按某种工艺生产的金属纤维的长度(单位ｍm)服从正态分布，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为
１1．某地九月份气温,观察九天,得,,求
　（１)此地九月份平均气温的置信区间；　（置信度９5%)
　(2)能否据此子样认为该地区九月份平均气温为（检验水平
(3）从(1）与（2)可以得到什么结论？　
12．正常成年人的脉搏平均为７2次／分，今对某种疾病患者10人,测得脉搏为　54　68　６５　77　70　64 6９ 72 6２ 71，假设人的脉搏次数,试就检验水平下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？
13．设随机变量均未知,与相互独立。现有5个的观察值,子样均值，子样方差为，有４个的观察值,子样均值，
子样方差为,
（1)检验与的方差是否相等？
（1） 在(１)的基础上检验与的均值是否相等。　(　)
14.假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布,现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度,子样方差。当显著水平为时,能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？
１５.某种导线的电阻,现从新生产的一批导线中抽取9根,
得。
（1)对于,能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？
(２）求母体方差的9５%的置信区间
16、某厂用自动包装机包装糖,每包糖的重量,某日开工后，测得9包糖的重量如下:９９．3 98。7 100.5 101.2　 9８。3 9９。７　 1０2。１ 10０。5 　99。5 （单位：千克)　试求母体均值的置信区间,给定置信水平为.
17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果,表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数,随机地选取2０人，10人服用甲药,1０人服用乙药,经计算得,设;求的置信度为9５%的置信区间.
18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子1８根,测得子样方差，抽取机器Ｂ生产的管子13根，测得子样方差，设两子样独立,且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布，试求母体方差比的置信度为90%的置信区间.
19、设某种材料的强度,未知，现从中抽取２0件进行强度测试，以kg/ｃm为强度单位,由20件子样得子样方差，求和的置信度为90％的置信区间.
２0、设自一大批产品中随机抽取100个样品,得一级品50个，求这批产品的一级中率的置信度为95%的置信区间。　
２1、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明,母体方差约为180０0０0,如果置信度为９5%,并要使估计值处在母体均值附近５00元的范围内，这家广告公司应取多大的子样?
22、设电视机的首次故障时间服从指数分布,,试导出的极大似然估计量和矩估计。
2３、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间(单位:分钟）相应的子样均值和方差为：。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布,且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计.
24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较,他们从两个城市中分别随机地调查了１00０个成年人,其中看过该广告的比例分别为0。18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间.
25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1２00小时，标准差为３０0小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证,随机抽取10０件为子样，测得其平均寿命为１24５小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？
2６、某机器制造出的肥皂厚度为，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取１0块为子样,测得其平均厚度为,标准差为,试分别以0.0５和0。0１的显著水平检验机器性能是否良好？(假设肥皂厚度服从正态分布）
２７、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知,第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8ｋg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40,测得。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别

28、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为２6。１分钟，子样标准差为1２分钟；另一组的８名工人用第二种工艺组装产品,平均所需的时间为1７.6分钟,子样标准差为10。5分钟,已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布,且方差相等,问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短?

２9、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg,其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从２5个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产?

3０、某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250kｇ。今从一批该食品中任意抽取50袋,发现有6袋低于２５0kg。若规定不符合标准的比例超过５%就不得出厂，该批食品能否出厂?　　 　　　　 　　 　　　　 　 　　
3１、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得１6只元件的寿命如下:159 ２80　101　212　224　37９ １79　26４ 222　36２　1６8 250 1４9 260　４8５ 1７0,问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。
32、某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据:
城市编号
销售量
户数　(万户）
1
2
3
4
5
6
5４25
6319
6８27
7743
836５
８9１6
18９
1９3
197
202
206
2０9
要求:（1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；
（2)拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线;
（3）计算判定系数
（4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 (），并对结果作简要分析。
3３、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下:
温度

得率
86
８5
83
86
８8
８7
90
8８
92
84
８3
88
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。
34、测量9对做父子的身高,所得数据如下(单位：英
父亲身高ｘ
6０
62
６４
66
6７
68
7０
72
74
儿子身高y
63。6
65.２
６6
66。９
６7．1
67。8
68。3
7０。1
70
(1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程
　（2）　检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立?
（3）父亲身高为７0,试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测
35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样,得到如下数据:（)
　 方式１
　方式2
方式3
方式4
７7
86
80
８8
８4
95
92
82
91
８9
7２
77
６8
８2
75
80
８4
7９
７0
８2

计算统计量,并以的显著水平作出统计决策。
四、证明题
1．设来自正态母体,母体的数学期望及方差均存在,求证：均是母体的数学期望的无偏估计。其中

2.假设随机变量服从分布时,求证：
3．设来自正态母体,母体的方差存在，为子样方差,求证:为的无偏估计.
4．假设母体的数学期望和方差均存在,来自母体，求证：与都是母体期望的无偏估计,且.其中，

５.已知,证明

6.设母体的阶矩存在，来自母体,证明子样阶矩
为母体的阶矩的无偏估计。
7.设母体的密度函数为 试证是的无偏估计
８．设母体,证明均是的无偏估计 (来自母体的子样）
9.假设随机变量服从分布时,求证:

附加：
5－1从正态母体中抽取容量为的子样，如果要求其子样均值位于区间内的概率不小于０.95，问子样容量至少应取多大？
附表：标准正态分布表　

１。2８
1.645
１。96
２．33

０。900
0.950
0。975
0。99０
5－2设母体服从正态分布,从该母体中抽取简单随机子样,其子样均值为,求统计量
的数学期望.
5-３设随机变量,则
(A） 　． 　　　 （B) 。
(C）　。　　 　　　　 （D) 。 　 　　 ﻩﻩﻩ[ ]
5-4设随机变量独立同分布,且其方差为，令,则 　 　 　　　　 　 　 　 　 [ 　　 ]
（) 。 　 　 　 　 （) 　 　。
（) 。 　　(） 。 　
５-５ 设为来自母体的简单随机子样,为子样均值,为子样方差,则
(A)　　　　 　 　(Ｂ）　
(C） 　　 （Ｄ)　　 　　　［ 　　 ]　
5-6设母体的概率密度为　，其中是未知参数,,是来自母体的一个容量为的简单随机子样．分别利用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。
5-7设母体的概率密度为
是取自母体的简单随机子样。
(1)求的矩估计量;　(2)求的方差。
5-８设某种元件的使用寿命的概率密度为
,其中为未知参数，又设是的一组子样观测值，求参数的最大似然估计值。
5-9设母体Ｘ的概率分
　　 　0　　 　 　　 １ 　　　 2　 　 ３

其中是未知数,利用母体的如下子样值3, 1， 3，　0， ３,　１, ２, 3,
求的矩估计值和最大似然估计值。
５－10　 设母体的分布函数为

　其中未知参数为来自母体的间单随机子样，求:
　（Ｉ)的矩估计量; (IＩ）的最大似然估计量．

５-11 设母体X的概率密度为
　其中是未知参数且
为来自母体X的简单随机子样,记N为子样值，求的最大似然估计。
５－１2　设母体X的概率密度为

其中参数(0＜〈1）未知， 是来自母体X的简单随机子样， 是子样均值
(I） 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量,并说明理由。
5－13设母体Ｘ的概率密度为

其中是未知参数。 从母体中抽取简单随机子样，记
(1)母体的分布函数Ｆ（x）； (2）求统计量的分布函数;
（３）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。
5-14已知一批零件的长度　(单位:cm）服从正态分布，从中随机地抽取１6个零件,得到长度的平均值为40 （ｃm)，则的置信度为0.95的置信区间是 　 　 　 　.(注：标准正态分布函数值
5－１５设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66。5分,标准差为１５分.问在显著性水平０。０5下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。
附表：分布表
　　　 　 　p
n
0。95
0.975
35
1。6896
2。０３０１
36
1．68８３
2。０2８1

第一章、第二章习题
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