排列组合与概率(含习题答案).doc

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2014高三暑期保送复习
《排列组合与概率》专题
第一讲 排列组合与二项式定理
【基础梳理】
1．排列
(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(3)排列数公式
A＝
(4)全排列数公式
A＝ (叫做n的阶乘)．
2．组合
(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．
(3)组合数公式
C＝ (n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
(4) 组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.
3．二项式定理
（1）(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的
其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫 ．
式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr.
（2）．二项展开式形式上的特点
①项数为 .
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 .
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
(3)．二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 即
②增减性与最大值：
二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；
当n是偶数时，中间一项 取得最大值；
当n是奇数时，中间两项 取得最大值．
③各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ .

【基础自测】
1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(　　)．
A．360种 B．4 320种
C．720种 D．2 160种
2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有(　　)．
A．200个 B．190个
C．185个 D．180个
3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)．
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有(　　)．
1
2
3
3
1
2
2
3
1

A．6种 B．12种
C．24种 D．48种
5． 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．
6.(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)．
A．80 B．40 C．20 D．10
7.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)．
A．45 B．55 C．70 D．80
8.(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)．
A．9 B．8 C．7 D．6
9．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9

【例题分析】
考向一　排列问题
【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；
(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；
(6)甲、乙、丙三人顺序已定．

【巩固练习1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．

考向二　组合问题
【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

【巩固练习2】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？

考向三　排列、组合的综合应用
【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
(2)计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组；
(3)计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组．

【巩固练习3】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．

【巩固练习4】► 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？

【巩固练习5】 在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？

考向四　二项展开式中的特定项或特定项的系数
【例4】►已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．

【训练6】 (2011·山东)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

考向五　二项式定理中的赋值
【例7】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．

【训练7】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

考向六　二项式的和与积
【例8】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．

【训练8】 (2011·广东)x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．

【巩固作业】
一、选择题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （　　）
A．243 B．252 C．261 D．279
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足,且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为 （　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
3．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得 （　　）
A． B． C． D．
4．（2013年高考四川卷（理））从这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,共可得到的不同值的个数是 （　　）
A． B． C． D．
5 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 （　　）
A．-20 B．20 C．-15 D．15
6．（2013年高考江西卷（理））(x2-)5展开式中的常数项为 （　　）
A．80 B．-80 C．40 D．-40

二、填空题
7．（2013年上海市春季高考数学试卷(）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以36的所有正约数之和为参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________
8．（2013年高考四川卷（理））二项式的展开式中,含的项的系数是_________.(用数字作答)

9．（2013年上海市春季高考数学试卷(）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).
10．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)
11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从名骨科.名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)
12．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题） 的二项展开式中的常数项为______.

第二讲 离散型随机变量及其分布列

【知识梳理】
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
(3)分布列
设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
(4)分布列的两个性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_.
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为

X
1
0
P
p
q
其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．
3．超几何分布列
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列
X
0
1
…
m
P

…

为超几何分布列．
【基础自测】
1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为(　　)．
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
2．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是(　　)．
A．X取每个可能值的概率是非负实数
B．X取所有可能值的概率之和为1
C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于（ ）
A. B. C. D.
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为(　　)．
A．25 B．10 C．7 D．6
5．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．

考点一　由统计数据求离散型随机变量的分布列
【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学
(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；
(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．

投资成功
投资失败
192次
8次
【练习1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

则该公司一年后可获收益的分布列是________．
考点二　由古典概型求离散型随机变量的分布列
【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．
(1) 求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．

【练习2】 (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．

考点三　由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列
【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.

【练习3】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．

【练习4】►(本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列．

【练习5】 某射手进行射击练习，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．
(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；
(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；
(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．

【】

【巩固作业】w。w-w*k&s%5￥u
1、如果是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取所有可能值的概率之和为1；
C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；②在区间内随机的取一个数；③某超市一天中的顾客量 其中的是离散型随机变量的是（ ）
A．①；　　B．②；　　C．③；　　D．①③
3、设离散型随机变量的概率分布如下，则的值为（ ）
X
1
2
3
4
P[来源:学+科+网]

A．　　B．　　C．　　D．
4、设随机变量的分布列为，则的值为（ ）
A．1；　　 B．；　　 C．；　　 D．
5．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（　D　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
6、设随机变量等可能取1、2、3...值，如果,则值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定
7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机实验结果是（ ）
A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点
C. 两枚都是4点 D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
9.(2007年湖北卷第1题) 如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A.3 B.5 C.6 D.10
10.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则的概率是
A. B. C. D.
11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A．1440种 B.960种
C．720种 D.480种
12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种
13 、下列表中能成为随机变量的分布列的是　　 （把全部正确的答案序号填上）

-1
0
1

0.3
0.4
0.4

1
2
3

0.4
0.7
-0.1

5
0
-5

0.3
0.6
0.1

①
②
③

④
⑤

14、已知为离散型随机变量，的取值为，则的取值为
15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数可能取值为
16. (2007年重庆卷第4题)若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为_____
18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．

19.(2007年重庆卷第6题) 从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率

20. (2007年辽宁卷) 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少

21、 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂次终止的概率是(=1,2,3,…)．记为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求.

22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．

高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案

一、选择题：
1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 6、C 7、D 8、C 9、B 10、C 11、B 12、B
二、填空题：
13、 ③④ 14、 15、
16、 20
三、解答题：
17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
18、解：设黄球的个数为，由题意知[来源:学+科+网]
　　绿球个数为，红球个数为，盒中的总数为．
　∴　，，．
　　　　所以从该盒中随机取出一球所得分数的分布列为

1
0
－1

19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即
C+C（种）.
所以，所求概率为
20解P（A）=.

21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目的分布列为
[来源:学*科*网Z*X*X*K]

2
4
8
16
．．．

．．．

．．．

．．．
∴ ．
22. [解析]　(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝＝.
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝＝.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝＝.所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝，X的分布列为：
X
1
2
P

第三讲 随机变量的数字特征
【基础梳理】
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝
(2)条件概率具有的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
② 如果B和C是两互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ ，
P(AB)＝
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是 的．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ ，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

三种分布
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(2)X～B(n，p)，则
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(3)若X服从超几何分布，
则E(X)＝n.
期望和方差性质
(1)E(C)＝C(C为常数)
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)
(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2
(4)D(aX＋b)＝a2·D(X)
【基础自测】
1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)．
A. B. C. D．2
2．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9
3．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
该随机变量ξ的均值是________．
4．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)．
A. B. C. D.
5．如果X～B，则使P(X＝k)取最大值的k值为(　　)．
A．3 B．4 C．5 D．3或4
6．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)．
A. B. C. D.
考点一　离散型随机变量的均值和方差
【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1和B1

A2和B2

A3和B3

现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
(1) 求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．

【练习1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

考点二　均值与方差性质的应用
【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，.

【练习2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．

考点三　均值与方差的实际应用
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3　5　3　3　8　5　5　6　3　4
6　3　4　7　5　3　4　8　5　3
8　3　4　3　4　4　7　5　6　7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：(1)产品的“性价比”＝；
(2) “性价比”大的产品更具可购买性．

【练习3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)；
(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

考点四　条件概率
【例4】►(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)．
A. B. C. D.

【练习4】 (2011·湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.

考点五　独立事件的概率
【例5】►(2011·全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

【练习5】 (2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

考点六　独立重复试验与二项分布
【例6】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

【练习6】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．

【巩固作业】
1．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)．
A. B．4 C．－1 D．1
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(　　)．
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
3．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)．
A. B. C. D.
4．(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正