为铅210的衰变常数.pptx

实际问题当中的微分方程模型实际问题当中的微分方程模型对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等（有传统领域，有新的非传统军事、人口、资源等等（有传统领域，有新的非传统领域）。本专题首先归纳出微分方程模型所涉及的领领域）。本专题首先归纳出微分方程模型所涉及的领域以及常见模型类型，然后列举几个领域的典型例子。域以及常见模型类型，然后列举几个领域的典型例子。一、不同领域中的微分方程模型一、不同领域中的微分方程模型1社会及市场经济中的微分方程模型社会及市场经济中的微分方程模型（1）综合国力的微分方程模型）综合国力的微分方程模型（2）诱发投资与加速发展的微分方程模型）诱发投资与加速发展的微分方程模型（3）经济调整的微分方程模型）经济调整的微分方程模型（4）广告的微分方程模型）广告的微分方程模型（5）价格的微分方程模型）价格的微分方程模型 2 战争中的微分方程模型战争中的微分方程模型（1）军备竞赛的微分方程模型）军备竞赛的微分方程模型（2）战争的微分方程模型）战争的微分方程模型（3）战斗中生存可能性的微分方程模型）战斗中生存可能性的微分方程模型（4）战争的预测与评估模型）战争的预测与评估模型3人口与动物世界的微分方程模型人口与动物世界的微分方程模型（1）单种群模型及进行开发的单种群模型）单种群模型及进行开发的单种群模型（2）弱肉强食模型）弱肉强食模型（3）两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型）两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型（4）无管理的鱼类捕捞模型）无管理的鱼类捕捞模型（5）人口预测与控制模型）人口预测与控制模型4疾病的传染与诊断的微分方程模型疾病的传染与诊断的微分方程模型 （1）艾滋病流行的微分方程模型）艾滋病流行的微分方程模型（2）糖尿病诊断的微分方程模型）糖尿病诊断的微分方程模型（3）人体内碘的微分方程模型）人体内碘的微分方程模型（4）药物在体内的分布与排除模型）药物在体内的分布与排除模型5自然科学中的微分方程模型自然科学中的微分方程模型（1）人造卫星运动的微分方程模型）人造卫星运动的微分方程模型（2）航空航天器翻滚控制的微分方程模型）航空航天器翻滚控制的微分方程模型（3）非线性振动的微分方程模型）非线性振动的微分方程模型（4）PLC电路自激振荡的微分方程模型电路自激振荡的微分方程模型（5）盯梢与追击问题的微分方程模型）盯梢与追击问题的微分方程模型 1根据规律列方程根据规律列方程二、建立微分方程模型的一般方法二、建立微分方程模型的一般方法利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。2微元分析法微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。导数应用规律。3模拟近似法模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。三、微分方程的解法三、微分方程的解法求解微分方程有三种方法：求解微分方程有三种方法：1）求精确解；）求精确解；2）求数值解（近似解）；）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。）定性理论方法。四、典型案例分析四、典型案例分析问题：问题：案例一案例一范范.梅格伦（梅格伦（VanMeegren）伪造名画案）伪造名画案第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将曾将17世纪世纪荷兰著名画家荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年年5月月29日以通敌罪逮捕了此人。日以通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造切，在狱中开始伪造Vermeer的画的画耶稣在学者中间耶稣在学者中间。当他的。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。化，以免留下罪证。为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。被判一年徒刑。1947年年11月月30日他在日他在狱中心脏病发作而死去。狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到使怀疑者满意。直到20年后，年后，1967年，卡内基梅隆大学的科年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。学家们用微分方程模型解决了这一问题。著名物理学家卢瑟夫（著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。正比于现存物质的原子数。问题的分析：问题的分析：问题的分析：问题的分析：设设t 时刻的原子数为时刻的原子数为N(t)，则有，则有其中其中为物质的衰变常数，初始条件为为物质的衰变常数，初始条件为这是一阶常微分方程初值问题，其解为这是一阶常微分方程初值问题，其解为从中解得从中解得半衰期公式为半衰期公式为,而碳而碳-14、镭、镭-226、铀、铀-238、铅、铅-210等等的半衰期的半衰期T分别为分别为5568年、年、1600年、年、45亿年、亿年、22年，年，N(t)可以测可以测定出，只要知道定出，只要知道就可算出断代。这正是问题的难处，下面是就可算出断代。这正是问题的难处，下面是间接确定间接确定的方法。的方法。油画中的放射性物质油画中的放射性物质白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭和更少量的镭(Ra226)。白。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量与少量的镭再度处于放射平衡，这时的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。补足的为止。下图是铀裂变示意图下图是铀裂变示意图（放射性）（无放射性）铀238镭226铅210钋210铅206（1）镭的半衰期为）镭的半衰期为1600年，我们只对年，我们只对17世纪的油画感兴趣，世纪的油画感兴趣，时经时经300多年，白铅中镭至少还有原量的多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用r表示。表示。建模：建模：（2）钋的半衰期为）钋的半衰期为138天容易测定，铅天容易测定，铅210的半衰期为的半衰期为22年，年，对要鉴别的对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅变数与铅210的衰变数可视为相等。的衰变数可视为相等。模型假设：模型假设：设设t时刻每克白铅中含铅时刻每克白铅中含铅210的数量为的数量为y(t)，为制造时刻为制造时刻每克白铅中含铅每克白铅中含铅210的数量。的数量。为铅为铅210的衰变常数。则的衰变常数。则油画中铅油画中铅210含量为含量为模型求解：模型求解：这是一个一阶线性微分方程的初值问题，由常数变易法这是一个一阶线性微分方程的初值问题，由常数变易法得其解为得其解为 变形为变形为均可测出，可算出白铅中铅的衰变率均可测出，可算出白铅中铅的衰变率，再与，再与当时的矿物比较，以鉴别真伪。当时的矿物比较，以鉴别真伪。测定分析与结论：测定分析与结论：测定结果如图所示测定结果如图所示 画名画名铅铅210衰变原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数衰变原子数Emmaus的信徒们的信徒们8.50.82洗足洗足12.60.26读乐谱的妇人读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人做花边的人1.51.4欢笑的女孩欢笑的女孩5.26.0对第一幅画，各已知量为对第一幅画，各已知量为 可见铅可见铅210每分钟每克衰变不合理，故为赝品。同理可检验每分钟每克衰变不合理，故为赝品。同理可检验第第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。注：注：类似于上例，在考古、地质学等方面专家常用碳定年代类似于上例，在考古、地质学等方面专家常用碳定年代法（也是依靠放射性物质的性质）来估计文物或化石的年代。法（也是依靠放射性物质的性质）来估计文物或化石的年代。代入代入计算得计算得而矿石中铀的最大含量为而矿石中铀的最大含量为23%，若白铅中铅，若白铅中铅210每分钟衰变超每分钟衰变超过过3万个原子，则矿石中含铀量超过万个原子，则矿石中含铀量超过4%。问题：问题：案例二放射性废料的处理问题案例二放射性废料的处理问题美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料时美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料时,一直采用一直采用把它们装入密封的圆桶里扔到水深约为把它们装入密封的圆桶里扔到水深约为91米海底的方法。对此，米海底的方法。对此，科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞发生破裂而科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞发生破裂而造成核污染。原子能委员会分辩说不会发生这种情况。为此，工造成核污染。原子能委员会分辩说不会发生这种情况。为此，工程师们进行了碰撞试验，发现当圆桶下沉速度超过程师们进行了碰撞试验，发现当圆桶下沉速度超过12.2米米/秒与海秒与海底碰撞时，圆桶就可能发生破裂。这样，为避免圆桶碰裂，需要底碰撞时，圆桶就可能发生破裂。这样，为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶下沉到海底时速度是多少。已知圆桶重量为计算一下圆桶下沉到海底时速度是多少。已知圆桶重量为239.456千克，体积为千克，体积为0.208立方米，海水浮力为立方米，海水浮力为1025.94千克千克/立方立方米。于是，如果圆桶下沉速度小于米。于是，如果圆桶下沉速度小于12.2米米/秒，说明原处理放射性秒，说明原处理放射性废料的方法是安全可靠的，否则，应该禁用原方法处理放射性废废料的方法是安全可靠的，否则，应该禁用原方法处理放射性废料。大量试验表明圆桶下沉时的阻力与圆桶的方位大致无关，而料。大量试验表明圆桶下沉时的阻力与圆桶的方位大致无关，而与下沉的速度成正比，比例系数为与下沉的速度成正比，比例系数为0.12。你能判断美国原子能委。你能判断美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料方法是否合理吗？员会以往处理浓缩的放射性废料方法是否合理吗？符号说明：符号说明：w:圆桶重量，这里为圆桶重量，这里为239.456千克千克V:圆桶体积，这里为圆桶体积，这里为0.208立方米立方米B:海水浮力，这里为海水浮力，这里为1025.94V=213.396千克千克k:圆桶下沉时的阻力系数，这里为圆桶下沉时的阻力系数，这里为0.12v:圆桶下沉时的速度圆桶下沉时的速度D:圆桶下沉时的阻力，这里为圆桶下沉时的阻力，这里为kvt:圆桶离开海平面下沉的时间，单位为秒圆桶离开海平面下沉的时间，单位为秒y(t)：圆桶在：圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米时刻下沉的深度，单位为米问题分析与求解：问题分析与求解：因为圆桶下沉满足牛顿第二定律：运动物体受到的力等于因为圆桶下沉满足牛顿第二定律：运动物体受到的力等于该物体的质量与其运动加速度的乘积，即该物体的质量与其运动加速度的乘积，即F=ma。在本问题中。在本问题中有有，F=W-B-D=W-B-kv，y(0)=0，v(0)=0，于是可以得到如下微分方程：于是可以得到如下微分方程：(1)重力浮力阻力求解问题（），求解问题（），Matlab命令为命令为用用Matlab软件求解。软件求解。求解出函数求解出函数y(t)后，求出圆桶下落到水深为后，求出圆桶下落到水深为91米海底的时间，即米海底的时间，即求满足求满足y(t)=91的时间的时间t1,然后求出在时间然后求出在时间t1的速度即可以得到问题的速度即可以得到问题的解答。这里的速度关系由直接求函数的解答。这里的速度关系由直接求函数y(t)对对t的导数得到。的导数得到。symst;symsy;y=dsolve(m*D2y+k*Dy-w+b=0,y(0)=0,Dy(0)=0)运行结果为运行结果为y=-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2即即运行结果如图运行结果如图b=1025.94*0.208;k=0.12;w=239.456;m=w/9.8;%这里重力加速度取为这里重力加速度取为9.8米米/秒秒2t=0:0.1:20;y=-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2-91;plot(t,y)求解方程求解方程y(t)=91，先画出图形，命令为，先画出图形，命令为可见方程的根在可见方程的根在t=13附近，附近，为求解方程，建立为求解方程，建立M文件：文件：functiony=my0(t)b=1025.94*0.208;k=0.12;w=239.456;m=w/9.8;y=-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2-91;结果为结果为t=13.204223061992241t=fsolve(my0,13)用如下的命令求解：用如下的命令求解：求求y(x)的导数，的导数，Matlab代码为代码为b=1025.94*0.208;k=0.12;w=239.456;m=w/9.8;symst;y1=diff(-m/k2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k2-91)运行结果为运行结果为y1=-3190720108293556007631/14692224126156800000*exp(-21/4276*t)+81439/375即即计计算算结结果果表表明明圆圆桶桶下下沉沉到到水水深深约约为为91米米海海底底时时的的速速度度约约为为13.6361米米/秒秒，这这个个速速度度大大于于12.2米米/秒秒的的速速度度，因因此此，计计算算结结果果说说明明美美国国原原子子能能委委员员会会以以往往处处理理浓浓缩缩的的放放射射性性废废料料方方法法是是不安全的。不安全的。故故t=13.204223061992241时的速度为时的速度为v=13.636101129315506问题：问题：案例三案例三弱肉强食微分方程模型弱肉强食微分方程模型生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况？态平衡。如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况？变量说明：变量说明：模型各项意义模型各项意义其中其中a,b,c,d 均为正常数。均为正常数。（）（）x(t)t时刻兔子数目时刻兔子数目y(t)t时刻狐狸数目时刻狐狸数目数学模型：数学模型：ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比；表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比；-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比；比；dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。度。这这是是意意大大利利著著名名物物理理学学著著名名生生物物数数学学家家Volterra建建立立的的微微分分方方程模型，这是达尔文主义的数学表达，称为程模型，这是达尔文主义的数学表达，称为Volterra-Lotka模型。模型。（）（）设该问题的初始条件为设该问题的初始条件为令令模型求解与分析模型求解与分析:得系统的两个稳定点（奇点）为得系统的两个稳定点（奇点）为和和取取x(t)=0，求解问题（）与（），得其解为，求解问题（）与（），得其解为取取y(t)=0，求解问题（）与（），得其解为，求解问题（）与（），得其解为说说明明x轴轴和和y轴轴都都是是方方程程组组（）的的轨轨线线，它它们们的的实实际际意意义义是是：如如果果没没有有兔兔子子，狐狐狸狸因因为为没没有有食食物物将将趋趋于于死死亡亡；而而如如果果没没有有狐狐狸，兔子将无限制增长。狸，兔子将无限制增长。当当x,y 0时，方程组（）等价于时，方程组（）等价于这是一个可分离变量的方程，积分得通解这是一个可分离变量的方程，积分得通解两边取指数得两边取指数得（）（）令令证证明明：当当初初值值时时，方方程程（）确确定定了了xoy面上位于第一象限的一族封闭曲线。面上位于第一象限的一族封闭曲线。，由于，由于易证易证f(y)在在处取得极大值处取得极大值；同理同理g(x)在在处取得极大值处取得极大值；所以当所以当时，方程无时，方程无x0,y0的解；的解；当当时，方程有唯一解；时，方程有唯一解；当当时时，令令F(x,y)=g(x)f(y)，则则F(x,y)在在第第一一象象限限内内连连续续，从从而而对对第第一一象象限限内内任任意意一一条条连连接接原原点点O与与点点S的的连连续续曲曲线线L，由于，由于根据连续函数的介值定理，在曲线根据连续函数的介值定理，在曲线L上必有一点上必有一点,使得使得，即曲线，即曲线F(x,y)=C与与L相交。由相交。由L的任意性知，当的任意性知，当时，曲线（）是封闭的。时，曲线（）是封闭的。由由于于这这些些封封闭闭曲曲线线都都不不经经过过奇奇点点S，可可见见任任何何从从x(0)0,y(0)0出发的轨线都具有周期性，即函数出发的轨线都具有周期性，即函数x(t),y(t)满足满足而而这这说说明明若若初初始始时时既既有有兔兔子子又又有有狐狐狸狸，则则随随着着时时间间的的增增加加，狐狐兔数量呈周期性变化，无休止的形成动态的生态平衡。兔数量呈周期性变化，无休止的形成动态的生态平衡。此此外外，当当时时，由由（）式式知知，即即y随随着着时时间间递递增增，从而从而(xt),y(t)沿曲线逆向运动。沿曲线逆向运动。对对于于模模型型（），可可用用定定积积分分计计算算的的平平均均值值。记记平平均均值值为为，则，则由于由于，故，故同理可得同理可得结结果果表表明明，当当开开始始时时，既既有有兔兔子子又又有有狐狐狸狸，则则随随着着时时间间的的推移，狐兔数目均呈现周期变化，处于动态平衡。推移，狐兔数目均呈现周期变化，处于动态平衡。从而从而，即，即。（）（）但但人人类类对对自自然然界界的的生生物物群群体体要要进进行行干干涉涉，例例如如人人类类既既猎猎取取狐狸又滥杀兔子，于是可以建立下面的数学模型：狐狸又滥杀兔子，于是可以建立下面的数学模型：其中其中表示捕捉率。表示捕捉率同同理理分分析析可可知知，当当时时修修正正模模型型（）的的解解也也是是周期函数，并且平均值为周期函数，并且平均值为（5）（）式式表表明明：当当，即即捕捕捉捉率率不不超超过过兔兔子子的的繁繁殖殖率率a时时，平平均均而而言言，兔兔子子数数量量有有所所增增加加，狐狐狸狸的的数数量量减减少少；若若降降低低捕捕捉捉率率，则则会会增增加加狐狐狸狸的的数数目目而而减减少少兔兔子子的的数数目目。因因同同时时捕捕杀杀狐狐狸狸，故故仍仍能能保保持持动动态态平平衡衡。当当，即即捕捕捉捉率率超超过过兔兔子子的的繁繁殖殖率率时时，不不论论开开始始时时狐狐兔兔数数量量如如何何，随随着着时时间间的的推推移移，狐狐兔兔均均因滥捕滥杀而灭绝。因滥捕滥杀而灭绝。