2洛伦兹方程.pptx

第二章第二章 分岔与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子第三节第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程流体不稳定性与洛伦兹方程 1.1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性2.2.洛伦兹方程解的分岔洛伦兹方程解的分岔 1900年，法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验对流实验。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性 在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案。这是现代用硅油做实验拍摄的照片。照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉，在二者之间较明亮的环状区域里液块作水平运动。当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?贝耐特对流实验贝耐特对流实验 理想理想装置：装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。现现象象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流湍流状态。分析：分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定稳定到不稳定再到新的稳定态新的稳定态的分岔过程。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性瑞利数瑞利数 1916年，英国学者瑞利瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R(瑞利数瑞利数)：g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R 超过RC时，流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性贝纳德不稳定性。临界值RC为：其中k是 x 方向环流波数。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性倍周期分岔的实验检验倍周期分岔的实验检验 从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分分岔岔现现象象。带着这样观点利利布布沙沙伯伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝耐特对流实验。实实验验装装置置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其长度、宽度与高度分别为3mm、1.5mm与1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往分流沿腔壁下降形成两个对流圈。对流引起温度变化，从温度计输出信号变化中分析出对流产生过程与变化规律。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性 由于检测到的信号受噪声干扰很大，很难从中分析出有用的信息。利布沙伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息。开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现 f/4、f/8等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象分岔现象。倍周期分岔的实验检验倍周期分岔的实验检验1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性倍周期分岔普遍性倍周期分岔普遍性 实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。受利布沙伯成功检测到倍周期分岔的启发，许多学者在不同类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象。倍周期分岔现象在 LCR 振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都相继得到了证实，说明了倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。1.流体中的不稳定性流体中的不稳定性洛伦兹的设想洛伦兹的设想2.洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹的设想洛伦兹的设想 60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。x-对流的翻动速率，y-比例于上流与下流液体之间的温差，z-是垂直方向的温度梯度，s-s-无量纲因子,称为 Prandtl 数;b-速度阻尼常数：;r-相对瑞利数 r=R/RC。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 其中xz与 xy 是非线性项，求导对无量纲时间 t 进行的:洛伦兹方程的耗散性质洛伦兹方程的耗散性质证明证明：在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。曲面所包围的体积V 随时间的变化与其中代表点的运动有如下关系：应用于洛伦兹方程，得：于是有：为初始相空间的体积。参数 与 ，可见洛伦兹方程的相空间体积是随时间收缩的。初始时的有限相体积 随时间收缩到一点，这点应是坐标的原点 。耗散系统耗散系统意味着系统存在吸引子。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 洛伦兹方程解的分岔洛伦兹方程解的分岔 即洛伦兹方程有三个平衡点即洛伦兹方程有三个平衡点 若 ，只存在一个平衡点 。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。洛伦兹方程的平衡点随瑞瑞利利数数 r r 的的增增加加而而发发生生分分裂裂，原原来来稳稳定定的的平平衡衡点变为不平衡状态点变为不平衡状态。洛伦兹方程2.洛伦兹方程洛伦兹方程 原点的稳定性的稳定性 r 1，于是分支出两个新的平衡点 C1与 C2 。说明在 r=1 时系统将发生一次分岔，跨越 r=1 意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性。这时在坐标原点出现一维不稳定的流形。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 C1与与 C2的稳定性的稳定性稳定性证明：洛伦兹方程可写成行列式：对原点 x=y=z=0 附近作线性化处理，即在原点附近有：特征方程：其解：在在 0 r 1 范围内，所有根范围内，所有根 l l1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点，如图所示。C1、C2 坐标为：现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 C1与与 C2的稳定性的稳定性 稳定性证明：对C1与 C2 附近作线性化处理，即在附近有：式中：特征方程特征方程有一实根和一对共轭复根，其中实根说明坐标原点为鞍点。共共轭轭复复根根的的实实部部为为负负，说说明明两两个个新新平平衡衡点点与与是是稳稳定定的的焦焦点点，它它们们是是与与邻邻域域螺螺旋旋线线的的吸吸引引点点。与稳定焦点的出现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。2.洛伦兹方程洛伦兹方程 当 r 继续增加直到 r=13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起。当特征方程的第2与第3项之积等于常数项时共共轭轭复复根根的的实部为零，成为纯虚数，实部为零，成为纯虚数，有：时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。时共轭复根的实部为正值，与成了不稳定的焦点。定态对流失稳，失稳，是不稳定的。这时将出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子奇怪吸引子。2.2.洛伦兹方程洛伦兹方程 C1与与 C2的稳定性的稳定性 时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。时，这时将出现一次霍夫分岔，平衡点C1与C2发展成奇怪吸引子奇怪吸引子。洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子第四节第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子李雅普诺夫指数与奇怪吸引子1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数2.埃侬映射与埃侬吸引子埃侬映射与埃侬吸引子3.洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子 4.巴克尔变换与罗斯勒吸引子巴克尔变换与罗斯勒吸引子 1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子吸引子吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t 时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。奇怪吸引子奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。1.1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子 考察平方映射的两个迭代运算 N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6050.9560.167Yn0.3800.9420.2170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999 取m=4，并取有一点微小的差别的两个初始值 x0=0.370 与 y0=0.380。运算结果如表所列，经经过过前前第第四四次次迭迭代代,两两个个运运算算结结果果还还没有显出太大差别没有显出太大差别，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著第五次开始迭代结果的差别就非常显著了。奇怪吸引子奇怪吸引子1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数奇怪吸引子奇怪吸引子 取m=2.1，并取有较大差别的三个初始值 x01=0.08，x02=0.12,x03=0.16。运算结果如左图，经经过过五五次次迭迭代代,三三个个运运算算结结果果趋趋于于一一致致，045.取m=3.7，取差别很小两个初始值 x01=0.04，x02=0.05。运算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。但随后又快速分离开来。1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数两个系统：设其初始值微小误差 ，经过一次迭代以后有：式中：由第二次迭代得：经过第 n 次迭代得：为多重乘号。李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，它与初始值 x0 有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代：两个系统如初始存在微小误差，随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫李雅普诺夫(Lyapunov)(Lyapunov)指数指数来度量,它为几何平均值的对数：式中xn为第 n 次迭代值。取 ，得李雅普诺夫指数计算公式：李雅普诺夫指数公式李雅普诺夫指数公式每次迭代平每次迭代平均分离值为：均分离值为：1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 利用李雅普诺夫指数l ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：在一维映射中l 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 li，而且沿相空间的不同方向，其 li(i=1,2,)值一般也不同。李雅普诺夫指数应用李雅普诺夫指数应用设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点的距离为：式中指数 li 值可正可负。表示沿该方向扩展，表示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演圆演变为椭圆变为椭圆。1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。系系统统只只要要有有一一个个正正值的就可出现混沌运动值的就可出现混沌运动。判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数吸引子与李雅普诺夫指数 吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超超混混沌沌。推广到高维空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：吸引子类型 维数不动点 D=0极限环D=1二维环面D=2三维环面D=2奇怪吸引子（混沌）D=23（非整数）超混沌D=高于3非整数1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数平方映射的平方映射的 l l 指数指数 利用计算程序可以方便地求得一维映射的。分分 析析：由 图 可 见 平 方 映 射 的 指指 数数随 参 数值 变 化 起 伏 很 大，有 一 个 临 界 值,当 时指数变化但始终处于负值。当 指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。1.00 m m 3.00 周期周期1轨道轨道(不动点不动点)3.00 m m 3.4495 周期周期2轨道轨道3.4495 m m 3.5541 周期周期4轨道轨道3.5541 m m 3.5644 周期周期8轨道轨道3.5644 m m 3.5688 周期周期16轨道轨道1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数2.奇怪吸引子奇怪吸引子-埃侬吸引子埃侬映射埃侬映射 埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离散型映射,它有两个控制参数 m 和 b：埃侬映射所描述的体系随参数 b 的取值不同而不同：当b=1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统；当b 1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。当b=0时退化为一维映射：当xn与xn+1的取值0，1时，则参数 m 的取值0，2。这个一维映射与平方映射有相同的复杂动力学性质。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-埃侬吸引子埃侬映射 在数学上，为了解释埃侬吸引子的图形通常取 b=1埃侬映射，并作用于一个椭圆于是产生出种种变化:a.原形 椭圆 ；b.保面积弯曲 ;c.x方向压缩；d.旋转 90。埃侬吸引子埃侬吸引子小方块是放大20倍后的局部图形 取参数 m 1.4，b0.3（即 b 1 的耗散体系），进行计算，结果显示在(x,y)相平面上：开始时，计算出得点在平面上随机地出现，随着计算继续，计算得的点开始显现成某种图形，程序运行越久图形中显现出越多的细节，形成如香蕉形状，具有无穷层次。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-埃侬吸引子埃侬吸引子的埃侬吸引子的 l l 指数指数 当轨道间距离很小时，迭代产生的间距变化认为是指数的，如初始间距为d0，经过若干次迭代后间距为：为在这局部区域内的指数。随着间距增加，李氏指数会起变化，需要再次在第一条轨道附近另寻找相距为d0 的点作新起始点，如此可得指数 ，如此重复可得一系列指数1,2,3 。对整个轨道平均得全局李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数 l l。埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 描述，其中一个指数为正值时，就存在奇怪吸引子。二维映射l计算方法：在在吸吸引引子子吸吸引引域域内内任任取取一一点点作作一一条条轨轨道道起起始始点点，在在该该点点邻邻近近选选一一点点作作另另一一条条轨轨道道的的起起始始点点，考考察两条轨道间距离随迭代产生的变化察两条轨道间距离随迭代产生的变化。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-埃侬吸引子 指数指数 l l 随参数随参数 m m 的的变化变化 1.在 时始终为负值；2.在 附近由负值转为正值，并随 m 增加出现一些规则运动的窗口。3.当 时轨道变得不再稳定，因此曲线也在此终止。4.在 处计算得:埃侬吸引子的埃侬吸引子的 l l 指数指数b0.3 的最大李氏指数 l 随 m 的变化曲线2.奇怪吸引子奇怪吸引子-埃侬吸引子埃侬吸引子的埃侬吸引子的 l l 指数指数 埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 描述，上述已计算出正值指数 ，现在求第二个负值指数 。对于二维映射，迭代使相空间圆变为椭圆。设初始圆直径为 d0，椭圆长轴为 ，短轴 ，面积 。迭代的产生面积变化为:由此有 2.奇怪吸引子奇怪吸引子-埃侬吸引子洛伦兹方程的解洛伦兹方程的解 r 1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点。=24.7368）C1与 C2成了不稳定的焦点。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子 在洛伦兹方程中，取参数 s =10，b=8/3，随参数 r 增加，出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。取 r=28 时计算的结果如下。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-洛伦兹吸引子洛伦兹吸引子的洛伦兹吸引子的 l l 指数指数 根据李雅普诺夫指数的含义，描述洛伦兹吸引子需 、三个指数，且三个指数 之和为：取参数 s =10，b=8/3，r=28 得：三个指数之和为负值说明相体积是收缩的，洛伦兹系统是耗散系统。采用计算二维映射的最大 l 指数方法，可用数值计算方法算得洛伦兹吸引子的 l 指数。在上述参数下，具体计算可得正值：ll=0.906。另外对于三维相空间内的相流必需有一个指数为0，于是可以计算出指数 l3 为：于是：2.奇怪吸引子奇怪吸引子-洛伦兹吸引子2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子巴克尔变换巴克尔变换 奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。巴克尔变换巴克尔变换描写了这种变换：图a-保面积变换(保守系统)将单位正方块(x,y)通过拉伸与压缩变换成长方形。再将长方形进行折叠，把其右半部分折叠到左半部分的上部。图b-的非保面积（耗散系统）变换。巴克尔变换巴克尔变换两种映射的巴克尔变换示意图。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子(1)在在 x 方向上方向上:考虑初始值 及其邻域 ，则一次迭代后它们的距离是：则作 n 次迭代后的距离是 即：比照线性常微分方程，则得：式中 n 代替了连续时间 t。巴克尔变换的 l指数2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子 利用李氏指数计算公式，得在 x 方向上李雅普诺夫指数：该式说明在 x 方向上的对初始条件非常敏感(2)在在y方向上方向上 由巴克尔变换第二式可知在 y 方向的李氏指数，可见，巴克尔变换使 x 方向上的相空间伸长，y 方向上的压缩。x 方向上拉伸与 y 方向上压缩的结果使体积减小，说明这是耗散系统耗散系统。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子巴克尔变换的 l指数 根据相空间的伸展与折叠思想，罗斯勒()在简化的洛伦茨方程的基础上，于1976年设计了一个新的吸引子方程组，称为罗斯勒方程组罗斯勒方程组：在平衡点处有：罗斯勒方程组罗斯勒方程组罗罗斯斯勒勒方方程程组组洛洛伦伦兹兹方方程程组组2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子罗斯勒吸引子 取参数 a=b=0.2，c=5.7时计算得罗斯勒吸引子图象。不稳定的平衡点在(x,y)平面内。相轨线先在(x,y)平面内绕平衡点从内向外绕，绕了若干圈在离开平衡点有一定距离后，离开平面(x,y)进入z方向空间转动，达到一定高度后突然折回进离平衡点较近平面内。相点沿相轨线从空间折回进平面时，与准确平衡点总有某些差距，由于平衡点是不稳定的，相点又继续按上述方式运动，不断重复进行。2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子c=2.6c=3.5c=4.1c=4.18c=4.21c=4.6 罗斯勒系统是三维的，考察它的相轨线在平面内的投影。取方程中参数：a=b=0.2得不同c值下的相轨线及它们的功率谱罗斯勒罗斯勒吸引子吸引子在平面的投影2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子 参数：a=b=0.2。当c=2.6时，相轨线是简单单周期的极限环，其功率谱为系统的基频f（16Hz）及其谐波；当c=3.5时，得二周期运动相轨线，其功率谱为f/2、f及其谐波；当c=4.1时，为四周期的极限环，功率谱为f/4、f/2、f及其谐波；当c=4.18时，为八周期的极限环，功率谱为f/8、f/4、f/2、f及谐波。可见随 c 增加，存在一系列时倍周期分岔，直到倍周期积累点 。过积累点后，随 c 增加，轨线展宽开来，相近相轨线合并形成宽阔相轨道。在c=4.21时，相轨线仍是八周期极限环，在功率谱上除f/8、f/4、f/2、f及其谐波外，还有 f/16 的弱峰。在c=4.6时，相轨线成了一条粗大的环线，表明运动已无任何周期，功率谱是在很高的噪声背景谱上存在着频率 f 及其谐波的尖峰。后者奇怪吸引子功率谱的特征奇怪吸引子功率谱的特征。罗斯勒吸引子在平面的投影2.奇怪吸引子奇怪吸引子-罗斯勒吸引子