傅里叶变换原理.pptx

1第二部分第二部分 积分变换积分变换傅立叶积分变换傅立叶积分变换 （傅氏变换）（傅氏变换）拉普拉斯积分变换拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）（拉氏变换）2 积分变换简介积分变换简介1、何为积分变换？、何为积分变换？所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另一个函数的一种变换个函数变成另一个函数的一种变换.32、积分变换的产生、积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解到原问题的解.原原 问问 题题原问题的解原问题的解直直接接求求解解困困难难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换4 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；商运算化为较简单的和、差运算；再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在：其主要体现在：数学上：数学上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具；能实现卷积与能实现卷积与普通乘积之间的互相转化普通乘积之间的互相转化.工程上：工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具的重要工具.5第八章第八章 傅立叶变换傅立叶变换主要内容：主要内容：1、傅立叶积分公式傅立叶积分公式2、傅立叶变换及其性质、傅立叶变换及其性质 3、卷积、卷积61 1 傅立叶级数与积分傅立叶级数与积分1 1、傅立叶级数的指数形式、傅立叶级数的指数形式在在高等数学高等数学中有下列定理：中有下列定理：定理定理1 1（1 1）连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点；（2 2）只有有限个极值点）只有有限个极值点.则在则在连续点连续点处，有处，有78注意：注意：于是于是9则则（2 2）式称为傅立叶级数的）式称为傅立叶级数的复指数形式，复指数形式，具有明显具有明显的物理意义的物理意义.102 2、傅立叶积分、傅立叶积分 任何一个非周期函数任何一个非周期函数 f(t),都可看成是由某个周都可看成是由某个周期函数期函数 fT(t)当当T T+时转化而来的时转化而来的.11O w1 w2 w3 wn-1wnw于是于是12从而按照积分的定义，（从而按照积分的定义，（4 4）可以写为：）可以写为：或者或者13公式（公式（5 5）称为函数）称为函数 f(t)的的傅氏积分公式傅氏积分公式.定理定理2 2 若若 f(t)在在(-(-,+,+)上满足条件上满足条件:(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)f(t)在无限区间在无限区间(-(-,+,+)上绝对可积上绝对可积,即即则（则（5 5）在）在 f(t)的的连续点连续点成立成立.上述定理称为上述定理称为傅氏积分定理傅氏积分定理.14事实上事实上,根据欧拉公式根据欧拉公式,有有15所以由所以由(7),(7),得到得到于是于是(6)成立成立.162 2 傅立叶变换傅立叶变换1、傅立叶变换的概念傅立叶变换的概念 上一节介绍了：当上一节介绍了：当 f(t)满足一定条件（？）时，满足一定条件（？）时，在在 f(t)的连续点处有：的连续点处有：17简称简称傅氏变换傅氏变换,记为记为F F简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换,记为记为F F还可以将还可以将 f(t)和和 F(w w)用箭头连接用箭头连接:f(t)F(w w).18tf(t)o19解解:根据定义根据定义,有有这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的傅氏变换傅氏变换.20根据积分表达式的定义根据积分表达式的定义,有有注意到注意到化简化简整理整理21-钟形脉冲函数钟形脉冲函数.解解:根据定义根据定义,有有22化简化简整理整理如何计算？如何计算？这里利用了以下这里利用了以下 结果：结果：232 2、傅立叶变换的物理意义、傅立叶变换的物理意义 如果仔细分析如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式表达式24由此引出以下术语：由此引出以下术语：在频谱分析中在频谱分析中,傅氏变换傅氏变换F(w w)又称为又称为 f(t)的的频频谱谱函数函数,而它的模而它的模|F(w w)|称为称为f(t)的的振幅频谱振幅频谱(亦简亦简称为频谱称为频谱).).由于由于w w是连续变化的是连续变化的,我们称之为连续我们称之为连续频谱频谱,对一个时间函数作傅氏变换对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个就是求这个时间函数的频谱时间函数的频谱.显然，振幅函数显然，振幅函数|F(w)|是角频率是角频率w的的偶函数偶函数,即即25显然显然 相角频谱相角频谱argF(w w)是是w w的的奇函数奇函数.26例例3 3 求单个矩形脉冲函数求单个矩形脉冲函数的频谱图的频谱图.解：解：27请画出其频谱图请画出其频谱图.频谱为频谱为 以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！细介绍！28本讲小结：本讲小结：1.掌握傅氏积分定理的条件和结论；掌握傅氏积分定理的条件和结论；2.掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；3.了解傅氏变换的物理意义了解傅氏变换的物理意义.293 3 单位脉冲函数单位脉冲函数2 2、单位脉冲函数单位脉冲函数1 1、单位脉动函数单位脉动函数de(t)1/eeOt 在物理和工程技术中在物理和工程技术中,有许多物理现象具有脉冲性质有许多物理现象具有脉冲性质.例如断电以后的突然来电等例如断电以后的突然来电等;在力学中在力学中,机械系统受冲击力机械系统受冲击力作用后的运动情况等作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用程技术中被广泛地采用.30 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中,某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进进入一单位电量的脉冲入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t).以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数,则则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即即 所以所以,当当t 0时时,i(t)=0,由于由于q(t)不连续不连续,从而在普从而在普通导数意义下通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.31如果我们如果我们形式形式地计算这个导数地计算这个导数,得得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度数能够表示这样的电流强度.为此为此,引进一称为狄拉引进一称为狄拉克克(Dirac)(Dirac)的函数的函数.有了这种函数有了这种函数,对于许多集中于对于许多集中于一点或一瞬时的量一点或一瞬时的量,例如点电荷，点源例如点电荷，点源,集中于一点集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处就能够象处理连续分布的量那样理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决.广义函数，广义函数，没有普通意义没有普通意义下的函数值下的函数值.322.1 单位脉冲函数的定义单位脉冲函数的定义定义定义对于任何一个对于任何一个无穷次可微无穷次可微的函数的函数 f(t),称满足称满足2.2 单位脉冲函数的性质单位脉冲函数的性质(1)积分性质积分性质证明：证明：33 一些工程书中，一些工程书中，-函数常用一个长度等于函数常用一个长度等于1 1的有向线段来表示的有向线段来表示.tOd(t)1(2)筛选性质筛选性质对于无穷次可微的函数对于无穷次可微的函数 f(t)，有，有一般地一般地34 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用的应用.例例例例1 1 求求单位脉冲函数的傅氏变换单位脉冲函数的傅氏变换.解：解：可见可见,单位脉冲函数单位脉冲函数d(t)与常数与常数1 1构成了一构成了一傅傅氏变换对氏变换对；同理同理,d(t-t0)和和 亦构成了一个亦构成了一个傅氏变傅氏变换对换对.35 需要指出的是，此处的广义积分是按需要指出的是，此处的广义积分是按(1)(1)式计算式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换变换为广义的傅氏变换.根据傅氏积分公式，函数根据傅氏积分公式，函数f f(t t)能取傅立叶积能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即 实际上这个条件非常强，它要求实际上这个条件非常强，它要求f f(t t)条件较条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如如36 如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制用受到限制.为克服这一缺陷，我们把单位脉冲为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.实际运算时，我实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证们通常用傅氏逆变换来推证.比较典型的有比较典型的有：u(t)（单位阶跃函数单位阶跃函数）,sin t,cost.同样可以说同样可以说,象函数象函数F(w)和象原函数和象原函数 f(t)亦构成亦构成一个傅氏变换对一个傅氏变换对.37例例例例2 2称为单位跃阶函数称为单位跃阶函数.证：证：证：证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察我们用考察逆变换逆变换的方法证明的方法证明.38由于由于所以所以当当 t0 时，有时，有综上所述，根据综上所述，根据(*),有有证毕证毕.40解：由定义，有解：由定义，有例例3 求求的傅氏逆变换的傅氏逆变换.特别地特别地故故故故 得到得到41于是，有于是，有于是，有于是，有例例4 4 求正弦函数求正弦函数 f(t)=sinw w0 t 的傅氏变换的傅氏变换.解：解：42同理，可得同理，可得即即注：我们介绍注：我们介绍-函数，主要是提供一个应函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性用工具，而不去追求数学上的严谨性.434 4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握.为了叙述方便起见为了叙述方便起见,假定在这些性质中假定在这些性质中,凡凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件的条件,在证明这些性质时在证明这些性质时,不再重述这些条件不再重述这些条件.1、线性性质线性性质F FF F则则F F逆变换逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质也具有类似的性质，请写出相应的性质.442、位移性质位移性质证明：根据定义，得证明：根据定义，得45 显而易见，显而易见，位移公式的作用位移公式的作用是：知道了一个函数是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！的变换，便可由此求出其位移函数的变换！同理可得同理可得推论推论提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明.463 3、微分性质、微分性质证明证明：根据定义，得根据定义，得 如果如果 f(t)在在(-,+)上连续或只有有限个可去间上连续或只有有限个可去间断断点点,且当且当|t|+时时,f(t)0,则则47类似地可推得象函数的导数公式：类似地可推得象函数的导数公式：一般地，如果一般地，如果 在在(-,+)上连续或只有上连续或只有有限个可去间断点有限个可去间断点,且当且当|t t|+时时,有有则则48例如，设例如，设思考题：思考题：494、积分性质、积分性质证明：证明：50例例1 1 求解微分积分方程求解微分积分方程其中其中 t+,a,b,c均为常数均为常数.解：设解：设则则从而从而51 运用傅氏变换的线性性质运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积微分性质以及积分性质分性质,可以把线性常系数微（积）分方程转化可以把线性常系数微（积）分方程转化为代数方程为代数方程,通过解代数方程与求傅氏逆变换通过解代数方程与求傅氏逆变换,就可以得到原方程的解就可以得到原方程的解.另外另外,傅氏变换还可以傅氏变换还可以用来求解一些数学物理方程用来求解一些数学物理方程.5、对称性质、对称性质证明：证明：根据定义，有根据定义，有52特别地，若特别地，若特别地，若特别地，若 f f(t t)偶函数，则偶函数，则偶函数，则偶函数，则思考题：思考题：6、相似性质、相似性质特别地，若特别地，若特别地，若特别地，若 -翻转性质翻转性质.53本讲小结本讲小结1、掌握单位脉冲函数的定义、掌握单位脉冲函数的定义 2、了解单位脉冲函数的性质了解单位脉冲函数的性质3 3、熟悉傅氏变换的性质、熟悉傅氏变换的性质、熟悉傅氏变换的性质、熟悉傅氏变换的性质 4 4、会求常见函数的傅氏变换和逆变换、会求常见函数的傅氏变换和逆变换