2007年北京高考理科数学真题及答案.doc

2007年北京高考理科数学真题及答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角2（5分）函数f（x）=3x（0x2）的反函数的定义域为（）A（0，+）B（1，9C（0，1）D9，+）3（5分）平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b4（5分）已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）ABCD5（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A1440种B960种C720种D480种6（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）AB0a1C0a1或D7（5分）如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）Aabc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Babc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Cabc+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一Dabc+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一8（5分）对于函数f（x）=lg（|x2|+1），f（x）=（x2）2，f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数；命题丙：f（x+2）f（x）在（，+）上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）=10（5分）若数列an的前n项和Sn=n210n（n=1，2，3，），则此数列的通项公式为；数列nan中数值最小的项是第项11（5分）在ABC中，若tanA=，C=150，BC=2，则AB=12（5分）已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40若AB=，则实数a的取值范围是13（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于14（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出x123f（x）131x123g（x）321则fg（1）的值为；满足fg（x）gf（x）的x的值是三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）求an的通项公式16（14分）如图，在RtAOB中，斜边AB=4RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角动点D在斜边AB上（）求证：平面COD平面AOB；（）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；（）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小17（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y6=0点T（1，1）在AD边所在直线上（）求AD边所在直线的方程；（）求矩形ABCD外接圆的方程；（）若动圆P过点N（2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程18（13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E19（13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S（）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（）求面积S的最大值20（13分）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|aA，bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P（）检验集合0，1，2，3与1，2，3是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（）对任何具有性质P的集合A，证明：；（）判断m和n的大小关系，并证明你的结论参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角【解答】解：costan=sin0，角是第三或第四象限角，故选C2（5分）函数f（x）=3x（0x2）的反函数的定义域为（）A（0，+）B（1，9C（0，1）D9，+）【解答】解：函数f（x）=3x（0x2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x（0x2）的值域，由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得 1f（x）9，故选 B3（5分）平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b【解答】证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确4（5分）已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）ABCD【解答】解：，D为BC边中点，则，故选：A5（5分）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A1440种B960种C720种D480种【解答】解：可分3步第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法最后，三步方法数相乘，共有20242=960种排法故选B6（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）AB0a1C0a1或D【解答】解：由题意可知：画可行域如图：不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，且当直线x+y=a过直线y=x与直线2x+y=2的交点时，a=所以a的取值范围是：0a1或a故选C7（5分）如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）Aabc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Babc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Cabc+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一Dabc+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一【解答】解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）24ab如果c，d是正数，则根据均值不等式有：； 则a，b，c，d满足a+b=cd=4，2当且仅当a=b=c=d=2时取等号化简即为：abc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一故选A8（5分）对于函数f（x）=lg（|x2|+1），f（x）=（x2）2，f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数；命题丙：f（x+2）f（x）在（，+）上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）ABCD【解答】解：若f（x）=lg（|x2|+1）则：f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；f（x）在（，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数；此时命题乙为真；但f（x+2）f（x）在（，+）上不是单调递增的；此时命题丙为假f（x）=（x2）2则：f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；f（x）在（，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数；此时命题乙为真；但f（x+2）f（x）=4x4在（，+）上是增函数的；此时命题丙为真若f（x）=cos（x+2），则：f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假；f（x）在（，2）上不是减函数，在（2，+）上不是增函数；此时命题乙为假；但f（x+2）f（x）在（，+）上不是单调递增的；此时命题丙为假故选D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）=i【解答】解：=故答案为：i10（5分）若数列an的前n项和Sn=n210n（n=1，2，3，），则此数列的通项公式为2n11；数列nan中数值最小的项是第3项【解答】解：由题意可知：数列an的前n项和Sn=n210n（n=1，2，3，），当n=1时，a1=s1=110=9；当n1时，an=snsn1=n210n（n1）2+10（n1）=2n11；综上可知：数列的通项公式为an=2n11，nN*数列nan的通项公式为：，所以当n为3时数列nan中数值最小故答案为：an=2n11，nN*、311（5分）在ABC中，若tanA=，C=150，BC=2，则AB=【解答】解：tanA=sinA=根据正弦定理可得：AB=故答案为：12（5分）已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x+40若AB=，则实数a的取值范围是（2，3）【解答】解：集合A=x|xa|1=x|a1xa+1，B=x|x25x+40=x|x4或x1又AB=，解得2a3，即实数a的取值范围是（2，3）故应填（2，3）13（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于【解答】解：大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为15cos5sin=1，cossin=两边平方得：1sin2=，sin2=是直角三角形中较小的锐角，0cos2=故答案为：14（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出x123f（x）131x123g（x）321则fg（1）的值为1；满足fg（x）gf（x）的x的值是2【解答】解：fg（1）=f（3）=1当x=1时fg（1）=1，gf（1）=g（1）=3不满足fg（x）gf（x）当x=2时，fg（2）=f（2）=3，gf（2）=g（3）=1满足fg（x）gf（x）当x=3时fg（3）=f（1）=1，gf（3）=g（1）=3不满足fg（x）gf（x）故满足fg（x）gf（x）的x的值是2故答案为1；2三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）求an的通项公式【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2（2）当n2时，由于a2a1=c，a3a2=2c，anan1=（n1）c，所以又a1=2，c=2，故an=2+n（n1）=n2n+2（n=2，3，）当n=1时，上式也成立，所以an=n2n+2（n=1，2，）16（14分）如图，在RtAOB中，斜边AB=4RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角动点D在斜边AB上（）求证：平面COD平面AOB；（）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；（）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小【解答】解：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，又二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBO=O，CO平面AOB，又CO平面COD，平面COD平面AOB（4分）（II）解法一：作DEOB，垂足为E，连接CE（如图），则DEAO，CDE是异面直线AO与CD所成的角在 RtCOE中，CO=BO=2，又在RtCDE中，异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为（9分）解法二：建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O（0，0，0），C（2，0，0），=异面直线AO与CD所成角的余弦值为（9分）（III）由（I）知，CO平面AOB，CDO是CD与平面AOB所成的角，且当OD最小时，CDO最大，这时，ODAB，垂足为D，CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为（14分）17（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y6=0点T（1，1）在AD边所在直线上（）求AD边所在直线的方程；（）求矩形ABCD外接圆的方程；（）若动圆P过点N（2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程【解答】解：（I）因为AB边所在直线的方程为x3y6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3又因为点T（1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y1=3（x+1）3x+y+2=0（II）由解得点A的坐标为（0，2），因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又从而矩形ABCD外接圆的方程为（x2）2+y2=8（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2，即|PM|PN|=2故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支因为实半轴长a=，半焦距c=2所以虚半轴长b=从而动圆P的圆心的轨迹方程为18（13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E【解答】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为P0=（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C易知P（=1）=P（A）+P（B）=+=；P（=2）=P（C）=；的分布列：的数学期望：E=0+1+2=19（13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S（）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（）求面积S的最大值【解答】解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程，解得=，其定义域为x|0xr（II）记f（x）=4（x+r）2（r2x2），（0xr），则f（x）=8（x+r）2（r2x）令f（x）=0，得因为当时，f（x）0；当时，f（x）0，所以是f（x）的最大值因此，当时，S也取得最大值，最大值为即梯形面积S的最大值为20（13分）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|aA，bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P（）检验集合0，1，2，3与1，2，3是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（）对任何具有性质P的集合A，证明：；（）判断m和n的大小关系，并证明你的结论【解答】（I）解：集合0，1，2，3不具有性质P集合1，2，3具有性质P，其相应的集合S和T是S=（1，3），（3，1），T=（2，1），（2，3）（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个因为0A，所以（ai，ai）T（i=1，2，k）；又因为当aA时，aA时，aA，所以当（ai，aj）T时，（aj，ai）T（i，j=1，2，k）从而，集合T中元素的个数最多为，即（III）解：m=n，证明如下：（1）对于（a，b）S，根据定义，aA，bA，且a+bA，从而（a+b，b）T如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即mn，（2）对于（a，b）T，根据定义，aA，bA，且abA，从而（ab，b）S如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而ab=cd与b=d中也至少有一个不成立，故（ab，b）与（cd，d）也是S的不同元素可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即nm，由（1）（2）可知，m=n参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；caoqz；xintrl；xize；涨停；wu_qian；豫汝王世崇；ying_0011；wsj1012；sllwyn；wdnah；zlzhan；lily2011；wodeqing；yhx01248；danbo7801（排名不分先后）菁优网2017年5月26日