信号与系统-SGW-第四章-1.pdf

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University信号与系统信号与系统生物医学工程学院生物医学工程学院王索刚王索刚王索刚王索刚天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University2第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析域分析天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University34.1简介简介天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University44.1简介简介天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University54.1简介简介天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University64.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University74.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换傅立叶变换表示式傅立叶变换表示式若若f(t)为因果信号，即当为因果信号，即当t0时，时，f(t)=0则上式可以表示为则上式可以表示为傅立叶变换存在的充分条件是绝对可积，即或傅立叶变换存在的充分条件是绝对可积，即或 tetfFtjd d21tjeFtf 0dtetfFtj d21tjeFtfdttf)(0)(limtft天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University84.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University94.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University104.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University114.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域二、拉普拉斯变换的物理意义二、拉普拉斯变换的物理意义指数形式傅立叶级数的物理意义该式表明，指数形式傅立叶级数的物理意义该式表明，满足狄利克雷条件的任何周期信号满足狄利克雷条件的任何周期信号f(t)都可以分解为一系列指数分量都可以分解为一系列指数分量 ejn t，一对（，一对（n）的指数项合起来构成一谐波分量。分量的频率为）的指数项合起来构成一谐波分量。分量的频率为n 1，幅度为，幅度为2|Fn|。110101010)cos(2Re2Re2)(11111nnnntjnjnntjnntjnnntjnnntjnntnFFeeFFeFFeFeFFeFtfn天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University124.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域傅立叶变换的物理意义傅立叶变换的物理意义该式表明，满足狄利克雷条件的任何非周期信号该式表明，满足狄利克雷条件的任何非周期信号f(t)都可以分解为一系列指数分量都可以分解为一系列指数分量 ej t，同样是一对（，同样是一对（）的指数项合起来构成一谐波分量。分量的频率为）的指数项合起来构成一谐波分量。分量的频率为，幅度为，幅度为d|Fn|/。dtFdtFdeeFdeFtftjjtj)(cos)(1)(cos)(21)(21)(21)(0)(天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University134.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的物理意义由以上讨论知道拉普拉斯逆变换的定义式为式中，或拉普拉斯变换的物理意义由以上讨论知道拉普拉斯逆变换的定义式为式中，或s=j 则则jjstdsesFjtf)(21)(jsteeeeettjtjststcos2)()(天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University144.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域由此可以把拉普拉斯变换的物理意义概括如下：由此可以把拉普拉斯变换的物理意义概括如下：函数函数f(t)同样可以分解为一系列的复指数分量同样可以分解为一系列的复指数分量est，同样是一对，同样是一对s的复指数项合起来构成一正弦谐波分量，分量的频率连续分布在无限的频带内，分量的幅度是随时间按指数规律变化的。复变量的复指数项合起来构成一正弦谐波分量，分量的频率连续分布在无限的频带内，分量的幅度是随时间按指数规律变化的。复变量s=+j 称为复频率，其虚部称为复频率，其虚部 表示分量振荡的频率，实部表示分量振荡的频率，实部 表示分量的幅度随时间变化的速率。从傅立叶变换到拉普拉斯变换，从数学看，是引入了一个衰减因子，使满足绝对可积条件，而从物理角度看，是把表示分量的幅度随时间变化的速率。从傅立叶变换到拉普拉斯变换，从数学看，是引入了一个衰减因子，使满足绝对可积条件，而从物理角度看，是把f(t)从时域变换到复频域。从时域变换到复频域。天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University154.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域注：注：以上讨论仅限于以上讨论仅限于f(t)为因果信号，积分限为为因果信号，积分限为0+，称为单边拉普拉斯变换。特殊情况，如，称为单边拉普拉斯变换。特殊情况，如f(t)在在t=0点发生跳变点发生跳变如如f(t)=(t)，积分限选为，积分限选为0-+。一般情况下，本课程讨论拉普拉斯变换仅限于单边拉普拉斯变换，有关双边拉普拉斯变换的问题，将再后面专门讨论。一般情况下，本课程讨论拉普拉斯变换仅限于单边拉普拉斯变换，有关双边拉普拉斯变换的问题，将再后面专门讨论。天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University164.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域三、拉普拉斯变换与傅立叶变换的区别与联系三、拉普拉斯变换与傅立叶变换的区别与联系拉普拉斯变换与傅立叶变换的联系：当拉普拉斯变换与傅立叶变换的联系：当=0时，时，s=j，这时拉普拉斯变换就等于傅立叶变换，也就是说，傅立叶变换只是拉普拉斯变换的一种特例。，这时拉普拉斯变换就等于傅立叶变换，也就是说，傅立叶变换只是拉普拉斯变换的一种特例。F(s)称为象函数称为象函数F()称为频谱函数变量称为频谱函数变量s为复 变量，称为复频率，既给出分量频率，又给出分量幅度随时间变化的速率变量为复 变量，称为复频率，既给出分量频率，又给出分量幅度随时间变化的速率变量 为实变量，称为实频率，只给出分量的频率从时域到复频域从时域到频域拉普拉斯变换傅立叶变换为实变量，称为实频率，只给出分量的频率从时域到复频域从时域到频域拉普拉斯变换傅立叶变换天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University174.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University184.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域s平面是一个复平面，s平面是一个复平面，轴是实轴，虚轴用轴是实轴，虚轴用j来记。平面上不同的点来记。平面上不同的点s，对应着不同的时间信号，对应着不同的时间信号est。tjstee)(tjtee)sin(costjtet信号信号est，表示的是幅度按指数变化的正余弦信号。越远离实轴的点，表示信号变化的频率越高；越远离虚轴的点，表示信号幅度增长或衰减的越快。实轴上的点，表示单调指数变化的信号；虚轴上的点，表示等幅振荡的正余弦信号。，表示的是幅度按指数变化的正余弦信号。越远离实轴的点，表示信号变化的频率越高；越远离虚轴的点，表示信号幅度增长或衰减的越快。实轴上的点，表示单调指数变化的信号；虚轴上的点，表示等幅振荡的正余弦信号。j天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University194.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域四、拉普拉斯变换的收敛四、拉普拉斯变换的收敛以上对单边拉普拉斯变换的讨论，都假定函数以上对单边拉普拉斯变换的讨论，都假定函数f(t)乘以衰减因子乘以衰减因子e-t后，函数后，函数f(t)e-t就满足可积条件。实际是否满足可积条件还要根据两方面的情况具体分析：函数就满足可积条件。实际是否满足可积条件还要根据两方面的情况具体分析：函数f(t)本身性质 取值大小本身性质 取值大小天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University204.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域1、收敛条件、收敛条件当当 0时，若时，若称称 0为收敛条件。为收敛条件。称称 0为收敛坐标。为收敛坐标。称称 s=0+j 为收敛轴。为收敛轴。称称s平面收敛轴右边的区域为收敛区。平面收敛轴右边的区域为收敛区。0)(limttetfj0收敛坐标收敛轴收敛区收敛坐标收敛轴收敛区天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University214.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域2、指数阶信号与非指数阶信号、指数阶信号与非指数阶信号指数阶信号：指数阶信号：当当 0时，若即时，若即f(t)e-t满足可积条件，则函数满足可积条件，则函数f(t)称为指数阶信号。例：称为指数阶信号。例：有界信号：有界信号：收敛条件为 收敛条件为-，收敛区为整个，收敛区为整个s平面。平面。周期信号：周期信号：收敛条件为 收敛条件为 0，收敛区为，收敛区为s平面的右半平面。平面的右半平面。线性增长信号：线性增长信号：收敛条件也为 收敛条件也为 0，收敛区也是，收敛区也是s平面的右半平面。平面的右半平面。与与tn成比例增长信号（成比例增长信号（n为常数）：为常数）：收敛条件也为 收敛条件也为 0，收敛区也是，收敛区也是s平面的右半平面。平面的右半平面。指数信号：指数信号：如如f(t)=eat，收敛条件为，收敛条件为 a，收敛轴为，收敛轴为 s=a+j，收敛区为，收敛区为s平面收敛轴右边的区域。平面收敛轴右边的区域。0)(limttetf天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University224.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域非指数阶信号：有些信号增长速率比指数信号增长的还快，不满足这类信号称为非指数阶信号。例如：或注：非指数阶信号：有些信号增长速率比指数信号增长的还快，不满足这类信号称为非指数阶信号。例如：或注：非指数阶信号不满足绝对可积条件，不能进行拉普拉斯变换，可用拉普拉斯变换研究它的截断信号。在拉普拉斯变换中，指数因子非指数阶信号不满足绝对可积条件，不能进行拉普拉斯变换，可用拉普拉斯变换研究它的截断信号。在拉普拉斯变换中，指数因子e-t不一定是指数衰减因子，要根据收敛坐标的大小判断指数因子是衰减因子还是增长因子，所以只称指数因子。不一定是指数衰减因子，要根据收敛坐标的大小判断指数因子是衰减因子还是增长因子，所以只称指数因子。0)(limttetf2)(tetf2)(ttetf天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University234.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域 0d1)(tetuLst1.阶跃函数2.指数函数 0dteeeLstttsesst101 0sets s 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1d0 tettLst0000dststetettttL 3.单位冲激信号三一些常用函数的拉氏变换三一些常用函数的拉氏变换天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University244.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域44t tn nu u(t t)0dtettLst21011sessst 0dtettLstnn 01dtetsnstn 0d1stets 0d01teetsstst2 n 3222122ssstLstL3 n 43236233ssstLstL 1 nntLsntL0 stnest 01dtetsnstn 1!nnsntL 1 n天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University254.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域e天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University26 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University27 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University28 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University29 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质电感元件的s域模型电感元件的s域模型 )()(),()(sVtvLsItiLLLLLttiLtvLLd)(d)()0()()(LLLLLisIsLdtdiLLsV)(tiL )(tvLL sILLs 0LLi sVL 电感元件的电感元件的s模型模型应用原函数微分性质设应用原函数微分性质设天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University30 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University31 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质电容元件的电容元件的s域模型域模型 )()(),()(sVtvLsItiLCCCC设设 tcCiCtvd)(1)(sissICsVCCC)0()(1)()1()0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCsC1 01Cvs sIC sVC电容元件的电容元件的s模型模型)0(d)(1)0(10)1(CCCviCiC天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University32 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质四延时（时域平移）四延时（时域平移）0e)()()()()(00stsFttuttfLsFtfL，则若，则若 00000de)()()()(tttuttfttuttfLst 0de)(0tsttttf，令令0tt 代入上式则有代入上式则有,dd,0ttt 000dee)()()(0fttuttfLsst0e)(stsF 证明：证明：天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University33 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质例1，已知例2例1，已知例2天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University34 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质五五s s域平移域平移)(e)()()(sFtfLsFtfLt，则若，则若)(dee)(e)(0sFttftfLsttt 证明：证明：天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University35 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质例3例3天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University36 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质时移和标度变换都有时:时移和标度变换都有时:0 1)(),()(aasFaatfLsFtfL则若则若0,0 e1)()(baasFabatubatfLabs若若 0de)()(tatfatfLst，则令，则令at 0de)()(afatfLas 0de)(1faasasFa1证明：证明：六尺度变换六尺度变换天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University37 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)(lim)0()(lim ),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst 则可以进行拉氏变换，且及若则可以进行拉氏变换，且及若七初值七初值天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University38 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University39 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质终值存在的条件终值存在的条件:，则的拉氏变换存在，若设，则的拉氏变换存在，若设)()(d)(d),(sFtfLttftf)(lim)(lim0ssFtfst 上无极点上无极点。原点除外轴在右半平面和原点除外轴在右半平面和)(j ssFtttffssFstded)(d0)(0 tttffssFstssded)(dlim0)(lim000 0)(lim0ftfft证明：根据初值定理证明时得到的公式证明：根据初值定理证明时得到的公式)(limtft 八终值八终值天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University40 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质)()()()(2121sFsFtftfL)()(j21)()(2121sFsFtftfL 则为有始信号则为有始信号，若，若)(),()()()()(212211tftfsFtfLsFtfL证明：证明：ttutfuftftfLstded200121 交换积分次序交换积分次序 ttutfftftfLstdde0021210,同积分区间：令同积分区间：令xttx xxfftftfLsxsddee002121)()(21sFsF 九卷积九卷积天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University41 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质ssFttfLd)(d)(常用形式：常用形式：取正整数，则若取正整数，则若nssFtftLsFtfLnnnnd)(d)1()()()(十对s微分十对s微分天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering,Tianjin Medical University42 4.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 ttfsFstde)()(两边对两边对s积分：积分：sstssttfssFdde)(d)(交换积分次序交换积分次序:tstfstsdde)(sssFttfLsFtfLd)()()()(，则若，则若tttfstsde1)(tttftsde)(证明：证明：十一对s积分十一对s积分