2017年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.docx

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
一、选择题
1．(2017·山东理，1)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B等于(　　)
A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D ．[－2,1)
2．(2017·山东理，2)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a等于(　　)
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
3．(2017·山东理，3)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧綈q
C. 綈p∧q D. 綈p∧綈q
4．(2017·山东理，4)已知x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是(　　)
A．0 B．2 C．5 D．6
5．(2017·山东理，5)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)
A．160 B．163 C．166 D．170
6．(2017·山东理，6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)

A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
7．(2017·山东理，7)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋＜＜log2(a＋b) B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜ D．log2(a＋b)＜a＋＜
8．(2017·山东理，8)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)
A． B． C． D．
9．(2017·山东理，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　)
A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A
10．(2017·山东理，10)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
二、填空题
11．(2017·山东理，11)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.
12．(2017·山东理，12)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
13．(2017·山东理，13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．

14．(2017·山东理，14)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
15．(2017·山东理，15)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.
三、解答题
16．(2017·山东理，16)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

17．(2017·山东理，17)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．

(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E—AG—C的大小．

18．(2017·山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

19．(2017·山东理，19)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

20．(2017·山东理，20)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝
2.718 28…是自然对数的底数．
(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；
(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

21．(2017·山东理，21)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

参考答案
一、选择题
1．【答案】D
【解析】∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．
∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)．∴A∩B＝[－2,1)，故选D.
2．【答案】A
【解析】∵z·＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.
∵z＝a＋i，∴|z|＝＝2，∴a＝±1.
故选A.
3．【答案】B
【解析】∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．
∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2＜b2，
∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，綈p∧q为假命题，綈 p∧綈q为假命题．
故选B.
4．【答案】C
【解析】如图所示，先画出可行域，

作出直线l：x＋2y＝0.
由
解得
∴A(－3,4)．
由图可知，平移直线l至过点A时，z取得最大值，
zmax＝－3＋2×4＝5.
故选C.
5．【答案】C
【解析】∵xi＝225，∴＝xi＝22.5.
∵yi＝1 600，∴＝yi＝160.
又 ＝4，∴ ＝－ ＝160－4×22.5＝70.
∴回归直线方程为 ＝4x＋70.
将x＝24代入上式，得 ＝4×24＋70＝166.故选C.
6．【答案】D
【解析】当x＝7时，
∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.
又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.
当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.
又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.
∴输出a＝0.
故选D.
7．【答案】B
【解析】方法一　∵a＞b＞0，ab＝1，
∴log2(a＋b)＞log2(2)＝1.
∵＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，
又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1.
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2
＝－a－2·2－a(1＋aln 2)＜0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(a)＜f(1)，即＜.
∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
方法二　∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
8．【答案】C
【解析】方法一　∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝，
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.
故选C.
方法二　依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.
故选C.
9．【答案】A
【解析】∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C)
＝sin Acos C＋sin B，
等式左边＝sin B＋2sin Bcos C，
∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B.
由cos C＞0，得sin A＝2sin B.
根据正弦定理，得a＝2b.
故选A.
10．【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
故选B.
二、填空题
11．【答案】4
【解析】(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r.令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意得9C＝54，解得n＝4.
12．【答案】
【解析】由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.
13．【答案】2＋
【解析】该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
14．【答案】y＝±x
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15．【答案】①④
【解析】设g(x)＝exf(x)．
对于①，g(x)＝ex2－x(x∈R)，
g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln 2＝(1－ln 2)·ex·2－x＞0，
∴函数g(x)在R上单调递增，故①中f(x)具有M性质；
对于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln 3＝(1－ln 3)·ex·3－x＜0，
∴函数g(x)在R上单调递减，故②中f(x)不具有M性质；
对于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)，
g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2，
当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故③中f(x)不具有M性质；
对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，
g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex
＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0，
∴函数g(x)在R上单调递增，故④中f(x)具有M性质．
综上，具有M性质的函数的序号为①④.
三、解答题
16．解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z，
故ω＝6k＋2，k∈Z.又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
17．解　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，
AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，
所以BE⊥平面ABP.
又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，
所以∠CBP＝30°.
(2)方法一　取的中点H，连接EH，GH，CH.
因为∠EBC＝120°，
所以四边形BEHC为菱形，
所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝.
取AG的中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
所以∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2.
在△BEC中，由于∠EBC＝120°，
由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，
所以EC＝2，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°.

方法二　在平面EBC内，作EB⊥BP交于点P.以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)，
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因此所求的角为60°.
18．解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

所以X的数学期望
EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
19．解　(1)设数列{xn}的公比为q.
由题意得
所以3q2－5q－2＝0，
由已知得q＞0，
所以q＝2，x1＝1.
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
20．解　(1)由题意知f(π)＝π2－2.
又f′(x)＝2x－2sin x，
所以f′(π)＝2π.
所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为
y－(π2－2)＝2π(x－π)．
即y＝2πx－π2－2.
(2)由题意得h(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，
因为h′(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)
＝2ex(x－sin x)－2a(x－sin x)
＝2(ex－a)(x－sin x)．
令m(x)＝x－sin x，
则m′(x)＝1－cos x≥0，
所以m(x)在R上单调递增．
因为m(0)＝0，
所以当x＞0时，m(x)＞0；
当x＜0时，m(x)＜0.
①当a≤0时，ex－a＞0，
当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；
当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以当x＝0时，h(x)取到极小值，
极小值是h(0)＝－2a－1.
②当a＞0时，h′(x)＝2(ex－eln a)(x－sin x)，
由h′(x)＝0，得x1＝ln a，x2＝0.
(i)当0＜a＜1时，ln a＜0，
当x∈(－∞，ln a)时，
ex－eln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；
当x∈(ln a,0)时，
ex－eln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，
ex－eln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
所以当x＝ln a时，h(x)取到极大值，
极大值为h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．
当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；
(ii)当a＝1时，ln a＝0，
所以当x∈(－∞，＋∞)时，h′(x)≥0，
函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
(iii)当a＞1时，ln a＞0，
所以当x∈(－∞，0)时，ex－eln a＜0，h′(x)＞0，
h(x)单调递增；
当x∈(0，ln a)时，ex－eln a＜0，h′(x)＜0，
h(x)单调递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，ex－eln a＞0，h′(x)＞0，
h(x)单调递增．
所以当x＝0时，h(x)取到极大值，
极大值是h(0)＝－2a－1；
当x＝ln a时，h(x)取到极小值，
极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．
综上所述，
当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；
当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，
极小值是h(0)＝－2a－1；
当a＝1时，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a＞1时，函数h(x)在(－∞，0)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)＝－2a－1，极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．
21．解　(1)由题意知e＝＝，2c＝2，所以c＝1，
所以a＝，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.
由题意知Δ＞0，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝|x1－x2|＝ .
由题意可知，圆M的半径r为
r＝|AB|＝·，
由题设知k1k2＝，
所以k2＝，
因此直线OC的方程为y＝x.
联立方程
得x2＝，y2＝，
因此|OC|＝＝.
由题意可知，sin＝＝.
而＝
＝·，
令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，
因此＝·＝·＝·≥1，
当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，
所以sin ≤，因此≤，
所以∠SOT的最大值为.
综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.