准确把握概念核心.pptx

准确把握概念核心准确把握概念核心 设计自然教学过程设计自然教学过程努力提高教学质量努力提高教学质量 人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室 李海东李海东当前数学教学中存在的问题当前数学教学中存在的问题提高研究教材的水平提高研究教材的水平重视核心概念教学重视核心概念教学 重视思想方法的教学重视思想方法的教学 基于概念核心、数学思想方法的教学设计基于概念核心、数学思想方法的教学设计设计自然的教学过程，提高课堂教学效益设计自然的教学过程，提高课堂教学效益国际数学课程改革的大背景国际数学课程改革的大背景新数运动新数运动（20世纪世纪50、60年代）年代）回到基础回到基础（20世纪世纪70年代）年代）问题解决问题解决（20世纪世纪80年代）年代）标准运动标准运动（20世纪世纪90年代至今）年代至今）求变求变革新革新反思反思批判批判回归回归 一、当前数学教学中存在的问题一、当前数学教学中存在的问题新世纪我国基础教育课程改革新世纪我国基础教育课程改革上世纪的数学教育改革上世纪的数学教育改革20012001义教数学课程标准义教数学课程标准 20052005全部使用全部使用20042004普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准 20122012全部使用全部使用义教数学课程标准修订义教数学课程标准修订 20052005开始开始 20072007征求意见稿征求意见稿 20102010修改稿修改稿 20112011年颁布年颁布 20122012使用新教材使用新教材学习理念学习理念 冷静思考冷静思考探索创新探索创新 实践提高实践提高教师反映的问题教师反映的问题 新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等等。改革与考试评价制度的改革不配套；等等。“新课改后中学数学教材特点的比较研究新课改后中学数学教材特点的比较研究”课题的调查结课题的调查结论论认可教材的主要变化，但实际教学效果不明显。认可教材的主要变化，但实际教学效果不明显。教材的主要变化教材的主要变化 1.1.更更重重视视数数学学知知识识的的学学习习过过程程，加加强强教教材材的的启启发发性性、探探究究性性、发发展展性；性；2.2.更重视数学知识与更重视数学知识与实际问题实际问题的联系，加强教材对实际背景与实际的联系，加强教材对实际背景与实际应用的反映。应用的反映。本次课程改革，各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进，本次课程改革，各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进，教材中都设计了一些引导学生思维的栏目，注意留给学生探索与交教材中都设计了一些引导学生思维的栏目，注意留给学生探索与交流的空间，选材注重与学生现实生活的联系等等。从统计结果来看，流的空间，选材注重与学生现实生活的联系等等。从统计结果来看，教师对教材的这些处理还是比较认可的。但是，尽管教师认可教材教师对教材的这些处理还是比较认可的。但是，尽管教师认可教材的呈现方式，学生的学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高，的呈现方式，学生的学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高，这应当引起我们的注意。这应当引起我们的注意。课标教材中设置的引导课标教材中设置的引导思维的栏目（如思维的栏目（如“想一想一想想”“探究探究”等）对学等）对学生掌握相关内容生掌握相关内容对于课标教材中设置的对于课标教材中设置的引导学生思维的栏目数引导学生思维的栏目数量，您认为量，您认为课标教材给学生探课标教材给学生探索和交流的空间索和交流的空间课标教材联系生课标教材联系生活实际的问题活实际的问题课标教材的教学中，课标教材的教学中，学生的学习兴趣学生的学习兴趣课标教材的教学中，课标教材的教学中，学生学习的自主性学生学习的自主性能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。对于学生对基础知识和基本技能的掌握，教师的态度比较对于学生对基础知识和基本技能的掌握，教师的态度比较中性。对于传统的中性。对于传统的“三大能力三大能力”中的运算能力和逻辑思维中的运算能力和逻辑思维能力，教师的评价是负面的。对于同是能力，教师的评价是负面的。对于同是“三大能力三大能力”的空的空间想象能力，教师的评价是正面的。另外，本次课程改革，间想象能力，教师的评价是正面的。另外，本次课程改革，从课程标准到各个版本的教材，都注意加强了对学生解决从课程标准到各个版本的教材，都注意加强了对学生解决实际问题能力、探究能力、数学表达与交流能力的培养。实际问题能力、探究能力、数学表达与交流能力的培养。但从调查结果来看，教师的选择出现了分化，三个问题的但从调查结果来看，教师的选择出现了分化，三个问题的回答，选择回答，选择“提高提高”“差不多差不多”“降低降低”的比例大致相同，的比例大致相同，并没有得到我们预期并没有得到我们预期“提高提高”的结果。的结果。使用课标教材后，使用课标教材后，学生的运算能力与学生的运算能力与您的预期相比您的预期相比使用课标教材后，使用课标教材后，学生的逻辑思维能学生的逻辑思维能力与您的预期相比力与您的预期相比使用课标教材后，使用课标教材后，学生的解决实际学生的解决实际问题的能力与您问题的能力与您的预期相比的预期相比使用课标教材后，使用课标教材后，学生的自主探究能学生的自主探究能力与您的预期相比力与您的预期相比客观原因客观原因 影响教材实验及其效果的因素是复杂的。比如，影响教材实验及其效果的因素是复杂的。比如，由于班额普遍偏大（初中班额在由于班额普遍偏大（初中班额在50人以上的占人以上的占77%强，在强，在60人以上占人以上占41.82；高中班额在；高中班额在50人人以上的占以上的占76.44%，在，在60人以上的占人以上的占38.12），以），以及受升学、考试等的影响，尽管教师认可教材重及受升学、考试等的影响，尽管教师认可教材重视数学知识的学习过程、加强启发性及探究性等视数学知识的学习过程、加强启发性及探究性等处理方式，但这些措施在实际教学中往往难以到处理方式，但这些措施在实际教学中往往难以到落实。落实。反思我们自己的问题反思我们自己的问题教学层面的问题教学层面的问题 数学教学数学教学“不自然不自然”，强加于人；，强加于人；缺乏问题意识；缺乏问题意识；重结果轻过程，重结果轻过程，“掐头去尾烧中段掐头去尾烧中段”；重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；高；“重逻辑而轻思想重逻辑而轻思想”。强调细枝末节多关注基本概念、核。强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。利于创新精神的培养。教师层面的问题教师层面的问题 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。创建解决教学问题的新方法。例例 对概率的频率定义的错误理解对概率的频率定义的错误理解频率的稳定值就是概率的估计值。频率的稳定值就是概率的估计值。随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。率。用频率估计概率，一定要大量重复试验。用频率估计概率，一定要大量重复试验。必然事件与概率为必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率等价，不可能事件与概率为为0等价，随机事件的概率大于等价，随机事件的概率大于0而小于而小于1。例例 平方差公式的教学中的思想方法平方差公式的教学中的思想方法 公式教学的基本过程：公式教学的基本过程：归纳公式（归纳公式（“举三反一举三反一”，概括其本质属性），概括其本质属性）表示公式（文字、符号语表示公式（文字、符号语言表示）言表示）辨析公式（明确其结构特征）辨析公式（明确其结构特征）应用应用公式（公式（“举一反三举一反三”）。）。例例 如何阐述教学目标如何阐述教学目标目标：目标：理解正数与负数的概念理解正数与负数的概念目标解析：目标解析：了解：通过实际例子，感受引入负数的必要性，了解：通过实际例子，感受引入负数的必要性，会用正、负数表示一对具有相反意义的量；进而会用正、负数表示一对具有相反意义的量；进而初步获得正数、负数的抽象概念。初步获得正数、负数的抽象概念。理解：能用正负数表示实际问题中的数量，并理解：能用正负数表示实际问题中的数量，并随着绝对值、相反数等概念的学习，逐渐熟练地随着绝对值、相反数等概念的学习，逐渐熟练地进行正、负数的运算。进行正、负数的运算。例例.努力改进教学方式努力改进教学方式 讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法 启发式启发式在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者先行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。教学方式教学方式教师主导取教师主导取向的接受式向的接受式学生自主取学生自主取向的活动式向的活动式主动被动有意义有意义（启发式）（启发式）机械机械 （注入式）（注入式）有意义有意义（理解、探究）（理解、探究）机械机械（死记硬背）（死记硬背）二、提高研究教材的水平二、提高研究教材的水平 仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。是经过精挑细选的。内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。的时候要想清楚理由。例例 负数的引入负数的引入例例 一元一次方程的整体安排一元一次方程的整体安排例例 等腰三角形在轴对称之后研究等腰三角形在轴对称之后研究关于核心概念关于核心概念 基基础础性性在在相相应应领领域域具具有有基基础础地地位位，并并能能形形成成联联系系通通畅畅的结构的结构 发发展展性性具具有有自自我我生生长长的的活活力力，容容易易在在新新情情境境中中引引发发新新思想和新方法思想和新方法 可可行行性性与与学学生生的的思思维维发发展展水水平平和和数数学学学学习习方方式式保保持持一一致，是可学、能学的致，是可学、能学的 例例如如：代代数数中中的的运运算算律律（分分配配律律）就就比比因因式式分分解解的的一一些些具具体方法和技巧（十字相乘法）有更高的理论和实践价值体方法和技巧（十字相乘法）有更高的理论和实践价值三、重视核心概念的教学三、重视核心概念的教学 推广推广 类比类比 当前内容当前内容 联系联系 特殊化特殊化例例 有理数及其运算有理数及其运算 在数与代数领域，有理数及其运算是一切运在数与代数领域，有理数及其运算是一切运算系统的基础。将其他运算的对象和数作类比，算系统的基础。将其他运算的对象和数作类比，可以使我们得到很多研究方法方面的启示。可以使我们得到很多研究方法方面的启示。数数运算（加、乘、指数运算）和逆运算运算（加、乘、指数运算）和逆运算运算律运算律 大小关系大小关系式式运算（加、乘、指数运算）和逆运算运算（加、乘、指数运算）和逆运算运算律运算律 大小关系大小关系解代数方程解代数方程有系统地运用运算律（特别是分配律）去有系统地运用运算律（特别是分配律）去简化所给的代数方程，并最终化归为简化所给的代数方程，并最终化归为x=a的形式。的形式。向量向量运算运算运算律运算律向量法向量法 向量法实际上是利用向量表示空间基本元素，将空间的向量法实际上是利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的转化成为向量运算律的系统运用。基本性质和基本定理的转化成为向量运算律的系统运用。数式通性数式通性整式整式 数式通性数式通性分式分式 数式通性数式通性二次根式二次根式 加强概念教学加强概念教学概念教学的核心概念教学的核心概括概括（同类事物的共同本质特征）（同类事物的共同本质特征）概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。“举三反一举三反一”与与“举一反三举一反三”举三反一举三反一分化分化用典型、丰富的具体事例，分析、用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性；综合、比较而概括出共同本质属性；举一反三举一反三类化类化把共同本质属性推广到同类事物中；把共同本质属性推广到同类事物中；对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。系的能力是很重要的。概念教学的基本环节概念教学的基本环节概念的引入概念的引入从数学概念体系的发展过程或解决实际问从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；题的需要引入概念；概念的形成概念的形成提供提供典型丰富的具体例证，进行属性的分典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示概念的明确与表示下定义，给出准确的数学语言描述下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；（文字的、符号的）；概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；用反例）；概念的巩固应用概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，形成用概用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；念作判断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”纳入概念系统，建立与相关概念的联纳入概念系统，建立与相关概念的联系。系。例例 反比例函数概念的教学反比例函数概念的教学匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义下定义给出反比例函数的文字和符号描述；给出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数使用，如让学生思考函数y=1/xy=1/x2 2是不是反比例函数；是不是反比例函数；例题例题用概念作判断的用概念作判断的“操作步骤操作步骤”，强调，强调“自变量自变量x x与相应的函数值与相应的函数值y y是否成反比例关系是否成反比例关系”，可以用反例让学，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确生分析，使学生进一步明确“求反比例函数求反比例函数”的含义；的含义；通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了确反比例函数反映了“一类事物一类事物”的变化规律，使学生逐的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。关于概念教学的一些要求关于概念教学的一些要求（1 1）采取）采取“归纳式归纳式”进行概念教学，让学生经历概进行概念教学，让学生经历概 念的概括过程；念的概括过程；（2 2）正确、充分地提供概念的变式；）正确、充分地提供概念的变式；（3 3）适当应用反例；）适当应用反例；（4 4）在概念的系统中学习概念，建立概念的）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元多元 联系表示联系表示”；（5 5）精心设计练习。）精心设计练习。四、重视思想方法的教学四、重视思想方法的教学什么是数学思想方法？什么是数学思想方法？数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。二者有很强的联系性。通途径、方式、手段、策略等。二者有很强的联系性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时称数学方法。具体操作过程时称数学方法。数学思想方法的层次性数学思想方法的层次性 （1）解题术）解题术与某些特殊问题联系在一起的方法，在与某些特殊问题联系在一起的方法，在特定环境中发挥作用，具有较固定的操作程序。特定环境中发挥作用，具有较固定的操作程序。求差法求差法 （2）解题通法）解题通法解决一类问题时可以采用的共同方法，解决一类问题时可以采用的共同方法，操作程序不是很具体，但适用范围比较广泛。操作程序不是很具体，但适用范围比较广泛。换元法换元法 配配方法方法 数学归纳法数学归纳法 （3）数学思想）数学思想对数学及其对象，对数学的概念、命对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，程序性弱，题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，程序性弱，功能性强。功能性强。分类思想分类思想 化归思想化归思想 函数思想函数思想 数形结合数形结合 极限极限思想思想 统计思想统计思想 （4）数学观念）数学观念数学思想方法的最高境界，认识客观数学思想方法的最高境界，认识客观世界的哲学思想。世界的哲学思想。例：二元一次方程组解法中的数学思想方法例：二元一次方程组解法中的数学思想方法 化归化归消元消元代入（加减）代入（加减）恒等变换（整体代换）恒等变换（整体代换）新课标中的新课标中的“基本思想基本思想”获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知基础知识、基识、基 本技能、基本思想、基本活动经验。本技能、基本思想、基本活动经验。抽象：抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；把与数学有关的知识引入数学内部；推理：推理：促进数学内部的发展；促进数学内部的发展；模型：模型：沟通数学与外部世界的桥梁。沟通数学与外部世界的桥梁。例：一元二次方程中的基本思想例：一元二次方程中的基本思想数学思想方法教学的层次性数学思想方法教学的层次性 渗透。渗透。在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与觉。例如，集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。程序化的思想方法等。介绍。介绍。把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、例如，符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。概率统计、分类、化归的思想方法等。突出。突出。在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。化归的思想方法等。加强数学思想方法的教学加强数学思想方法的教学 数数学学思思想想方方法法具具有有过过程程性性的的特特点点，数数学学概概念念和和原原理理的的形形成成过过程程是是进进行行数数学学思思想想方方法法教教学学的的载载体体；数数学学思思想想方方法法还还具具有有活活动动性性的的特特点点，学学生生头头脑脑中中的的数数学学思思想想方方法法也也是是在在数数学学学学习习活活动动中中逐逐步步形形成成的的。这这就就要要求求我我们们精精心心设设计计教教学学过过程程，从从问问题题的的提提出出、情情景景的的创创设设，到到教教学学方方法法的的选选择择，整整个个教教学学过过程程都都要要精精心心设设计计安安排排，有有意意识识有有目目的的地地进进行行数学思想方法的教学。数学思想方法的教学。1 1引引入入过过程程重重视视“先先行行组组织织者者”的的使使用用，加加强强研研究究方方法法的的指导。指导。例：反比例函数的图象与性质例：反比例函数的图象与性质通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？要研究那些问题？研究的方法是什么？2 2设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程。设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程。例：二元一次方程组的解法例：二元一次方程组的解法新问题是什么？学习过什么老问题？将新问题转化为老问新问题是什么？学习过什么老问题？将新问题转化为老问题就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化题就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。困难为容易的化归思想。怎样将新问题转化为老问题？这种怎样将新问题转化为老问题？这种“将未知数的个数由多将未知数的个数由多化少、逐一解决化少、逐一解决”的思想就是消元思想。的思想就是消元思想。怎样消元？也就产生了代入与加减两种消元的方法。怎样消元？也就产生了代入与加减两种消元的方法。如何如何“代入代入”与与“加减加减”？需要具体的代数的恒等变换的？需要具体的代数的恒等变换的方法。方法。3 3发挥小结的作用，让学生学习的思想方法也纳入认知系发挥小结的作用，让学生学习的思想方法也纳入认知系统。统。例：代入消元法的框图例：代入消元法的框图3.3.加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想加强研究方法的引导，提高课堂教学的思想性。性。不要把数学教学蜕化为不要把数学教学蜕化为“解题教学解题教学”，进一步蜕化为，进一步蜕化为 “刺激刺激反应反应”训练。训练。提高思想性的做法提高思想性的做法加强加强“先行组织者先行组织者”的使用的使用,加强研究方法的指导加强研究方法的指导.过程与结果并重，加强过程性过程与结果并重，加强过程性没有过程等于没有没有过程等于没有思想。思想。例例 如和研究研究四边形如和研究研究四边形研究的问题研究的问题 一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊边的特殊平行四边形：性质和判定；平行四边形：性质和判定；“性质性质”研研究的是在究的是在“平行四边形平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；等；“判定判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；边形；其他度量问题；角的特殊角的特殊矩形，边的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。正方形，都要研究性质和判定。研究的方法研究的方法 化归为三角形、平行线等已有知识。化归为三角形、平行线等已有知识。特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形。等腰三角形。例例 研究方法的联系研究方法的联系函数性质的讨论函数性质的讨论 （正比例函数（正比例函数一次函数一次函数反比例函数反比例函数 二次函数）二次函数）研究内容：自变量取值范围、函数的图象、研究内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性函数的增减性 研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。三步曲三步曲 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大 于零或小于零等。于零或小于零等。对对”与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系”的处理的处理 24.2.1 24.2.1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 24.2.2 24.2.2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 24.2.3 24.2.3 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 研究的对象研究的对象-两个图形间的位置关系两个图形间的位置关系 研究的方法研究的方法-将两个图形间的位置关系分类，从几何、将两个图形间的位置关系分类，从几何、代数两方面分析特性代数两方面分析特性 关注的问题关注的问题-（1 1）几何特性（交点个数及区域分布）几何特性（交点个数及区域分布）（2 2）代数特性（）代数特性（“两图形间的距离两图形间的距离”与半径的比较）与半径的比较）数形结合两方面讨论数形结合两方面讨论 教学设计的基本线索教学设计的基本线索 内容和内容解析；内容和内容解析；目标和目标解析；目标和目标解析；教学问题诊断分析；教学问题诊断分析；教学支持条件分析教学支持条件分析 教学过程设计；教学过程设计；目标检测的设计。目标检测的设计。五、基于概念核心、思想方法的教学设计五、基于概念核心、思想方法的教学设计1 1内容和内容解析内容和内容解析内容：针对内容：针对“核心概念核心概念”内涵和外延的准确表达；内涵和外延的准确表达；内容解析：内容解析：重点是在揭示概念内涵的基础上，说重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念在中学数学中明概念的核心之所在，并要对概念在中学数学中的地位进行分析，其中隐含的思想方法要做出明的地位进行分析，其中隐含的思想方法要做出明确表述。在此基础上阐明教学重点。确表述。在此基础上阐明教学重点。例例“函数函数”概念的核心概念的核心函数概念的发展历史函数概念的发展历史函数的产生来自研究变量的需要。函数的产生来自研究变量的需要。1717世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个变世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的关注。关注。1818世纪，函数被认为是由变量世纪，函数被认为是由变量x x和常量构成的式子。约翰和常量构成的式子。约翰 贝努利：贝努利：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”欧拉这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运欧拉这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。算种类区分为代数函数和超越函数。1919世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用用“集合集合”之间的之间的“对应对应”给出了近代函数定义，使得函给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。2020世纪后，现代函数概念世纪后，现代函数概念“集合之间的映射集合之间的映射”方式定方式定义形成，即义形成，即“若存在若存在集合集合M到到N的一个映射的一个映射f，则称在集合，则称在集合M上定义一个函数，记为上定义一个函数，记为y=f(x)，其中，其中x 是是M的任一元素，的任一元素，y是是x在在N中的像中的像。”初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量变量”来描述来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念画函数的概念初中阶段的初中阶段的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量变量x和和y，并且对于，并且对于x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y都有唯一确定都有唯一确定的值与它对应，则称的值与它对应，则称x为自变量，为自变量，y为为x的函数的函数分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的它强调了近代函数定义中的“对应对应”，并且明确了是，并且明确了是“单单值对应值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对，这又是吸收了现代函数概念中对“映射映射”的要的要求求 ，但是没有从，但是没有从“集合集合”角度描述函数，因而未明确涉角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域及定义域及值域初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为中的对应关系，并且明确其为“单值对应单值对应”关系。关系。这包括两个方面的含义：这包括两个方面的含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。量的值确定后，函数的值是唯一确定的。函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。例例“三线八角三线八角”概念的核心概念的核心“两条直线两条直线”被被“第三条直线所截第三条直线所截”，得到八个，得到八个角。角。对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系；一对角的位置关系；关键：根据结构特征进行分类。关键：根据结构特征进行分类。2 2目标和目标解析目标和目标解析目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。现的教学结果，是衡量教学质量的标准。目标：用目标：用“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及相应的行为动以及相应的行为动词词“经历经历”“”“体验体验”“”“探究探究”等表述目标；阐明经过教等表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。目标解析：对目标解析：对“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及以及“经历经历”“”“体验体验”“”“探究探究”的含义进行解析，一般地，核心概的含义进行解析，一般地，核心概念的教学目标都应进行适当分解。念的教学目标都应进行适当分解。要强调把能力、态度等要强调把能力、态度等“隐性目标隐性目标”融合到知识、技能融合到知识、技能等等“显性目标显性目标”中，以避免空洞阐述中，以避免空洞阐述“隐性目标隐性目标”，使，使目标对教学具有有效的定向作用。目标对教学具有有效的定向作用。例例“变量与函数变量与函数”的教学目标的教学目标目标：目标：了解常量、变量、函数的概念了解常量、变量、函数的概念目标解析：目标解析：结合具体实例，体会常量与变量的特征，能指出具体问题结合具体实例，体会常量与变量的特征，能指出具体问题中的常量、变量中的常量、变量结合具体实例，理解具有函数关系的问题中两个变量之间结合具体实例，理解具有函数关系的问题中两个变量之间的单值对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，的单值对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，能举出函数的实例。能举出函数的实例。结合函数概念的形成过程结合函数概念的形成过程,体会变化与对应的数学思想，感体会变化与对应的数学思想，感知现实世界中变量之间的相互联系并不断运动变化；体会知现实世界中变量之间的相互联系并不断运动变化；体会从具体的生活实例中抽象概括出数学知识的方法，从具体的生活实例中抽象概括出数学知识的方法，例例“三线八角三线八角”的教学目标的教学目标目标：目标：识别同位角、内错角、同旁内角（课标）。识别同位角、内错角、同旁内角（课标）。目标解析：目标解析：正确地分析图形的结构特征，从中找到正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线两条直线”和和“第三条直线第三条直线”，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。角）。以以“结构特征结构特征”为依据，对角进行分类，确定角的特定关为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。系的思想方法。3 3教学问题诊断分析教学问题诊断分析教师应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系教师应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上