2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）卷）文科数学文科数学 一、选择题 1已知集合 Ax|x1，Bx|x1x|x2x|1x2 2设 zi(2i)，则 等于()A12i B12i C12i D12i 答案D 解析zi(2i)12i，12i.3已知向量 a(2,3)，b(3,2)，则|ab|等于()A.B2 C5 D50 22答案A 解析ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为()A.B.C.D.23352515答案B 解析设 5 只兔子中测量过某项指标的 3 只为 a1，a2，a3，未测量过这项指标的 2 只为 b1，b2，则从 5 只兔子中随机取出 3 只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共 10 种可能其中恰有 2 只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共 6 种可能 故恰有 2 只测量过该指标的概率为 .5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 答案A 解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙 6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x0 时，f(x)等于()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1 答案D 解析当 x0，当 x0 时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.7设，为两个平面，则 的充要条件是()A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 答案B 解析对于 A，内有无数条直线与 平行，当这无数条直线互相平行时，与 可能相交，所以 A 不正确；对于 B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确，对于 C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正确；对于 D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以 D 不正确，综上可知选 B.8若 x1，x2是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则 等于()3蟺4A2 B.C1 D.3212答案A 解析由题意及函数 ysin x 的图象与性质可知，T，T，2.9若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆 41 的一个焦点，则 p 等于()232A2 B3 C4 D8 答案D 解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得 p8，故选D.10曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210 C2xy210 Dxy10 答案C 解析设 yf(x)2sin xcos x，则 f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为 y(1)2(x)，即 2xy210.11已知，2sin 2cos 21，则 sin 等于()A.B.C.D.155533255答案B 解析由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12sin21，即 2sin cos 1sin2.因为，所以 cos，所以 2sin 1sin2，解得 sin，故选 B.12设 F 为双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于2222P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.B.C2 D.235答案A 解析如图，由题意知，以 OF 为直径的圆的方程为2y2，将 x2y2a2记为式，得 x，则以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2的相交弦所在直线的方程为 x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得 2c，整理得 c44a2c24a40，即 e44e240，解得 e，故选 A.二、填空题 13若变量 x，y 满足约束条件则 z3xy 的最大值是_ 答案9 解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大 由解得 即 C 点坐标为(3,0)，故 zmax3309.14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 答案0.98 解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin Aacos B0，则 B_.答案 解析bsin Aacos B0，由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1，又 B(0，)，B.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_ 答案261 2解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有 26 个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为 x，则xxx1，解得 x1，故题中的半正多面体的棱长为1.三、解答题 17.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积(1)证明由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面 EB1C1，所以 BE平面 EB1C1.(2)解由(1)知BEB190.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故 AEAB3，AA12AE6.如图，作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EFAB3.所以四棱锥 EBB1C1C 的体积 V 36318.18已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 解(1)设an的公比为 q，由题设得 2q24q16，即 q22q80，解得 q2(舍去)或 q4.因此an的通项公式为 an24n122n1.(2)由(1)得 bnlog222n1(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和为 132n1n2.19某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(精确到0.01)附：8.602.74解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为0.21.产值负增长的企业频率为0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%.(2)(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30，s2i(yi)2(0.40)22(0.20)22402530.202140.4027 0.029 6，s0.020.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30,0.17.20已知 F1，F2是椭圆 C：1(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点 2222(1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；(2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围 解(1)连接 PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是 2a|PF1|PF2|(1)c，故 C 的离心率为 e 1.(2)由题意可知，若满足条件的点 P(x，y)存在，则|y|2c16，1，即 c|y|16，x2y2c2，又1.由及 a2b2c2得 y2.又由知 y2，故 b4.由及 a2b2c2得 x2(c2b2)，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故 a4.当 b4，a4时，存在满足条件的点 P.所以 b4，a 的取值范围为4，)21已知函数 f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 证明(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x(x0)因为 yln x 在(0，)上单调递增，y 在(0，)上单调递减，所以 f(x)在(0，)上单调递增 又 f(1)10，ln4-12故存在唯一 x0(1,2)，使得 f(x0)0.又当 0 xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知 f(x0)0，所以 f(x)0 在(x0，)内存在唯一根 x.由 1x0 得 0 10)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 0 时，求 0及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 解(1)因为 M(0，0)在 C 上，当 0 时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设 Q(，)为 l 上除 P 的任意一点，连接 OQ，在 RtOPQ 中，cos|OP|2.经检验，点 P在曲线 cos2 上 所以，l 的极坐标方程为 cos2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4cos，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，故 的取值范围是.所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos，.23选修 45：不等式选讲 已知 f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x(，1)时，f(x)0，求 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2(x1)20；当 x1 时，f(x)0.所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1.当 a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a 的取值范围是1，)