2009年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.pdf

20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷山东卷)理理 科科 数数 学学 本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。4填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。参考公式：参考公式：柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。锥体的体积公式 V=，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。13Sh如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)P(B).事件 A 在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件 A pn恰好发生次的概率:.k()(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn 第卷第卷(共共 6060 分分)一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。（1）集合,若,则的值为 0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB a（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（2）复数等于 31ii（A）B）C）D）i 211 2i2i2i（3）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 sin2yx4（A）（B）cos2yx22cosyx（C）（D）)42sin(1xy22sinyx（4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）（B）22 342 3（C）（D）2 3232 343 （5）已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“”是“”的 m（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）函数的图像大致为 xxxxeeyee (7）设 P 是ABC 所在平面内的一点，则 2BCBABP (A）(B）0PAPB 0PCPA 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A B C P 第 7 题图 (C）(D）0PBPC 0PAPBPC (）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100),100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于98 克并且小于 104 克的产品的个数是(A）90 (B）75 (C）60 (D）45(9）设双曲线的一条渐近线与抛物线 y=x+1 只12222byax2有一个公共点，则双曲线的离心率为(A）(B）5 (C）(D）45255(10）定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=x)=，则f（2009）的值为 0),2()1(0),1(log2xxfxfxx(A）-1 (B）0 (C）1 (D）2（11）在区间-1，1上随机取一个数 x，的值介于 0 到之间的概率为().cos2x21（A）（B）（C）（D）3122132（12）设 x，y 满足约束条件0,002063yxyxyx ，若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的是最大值为12，则的最小值为().23ab（A）（B）（C）（D）4 62538311 第卷（共第卷（共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分。分。（13）不等式的解集为 .0212xx（14）若函数 f(x)=a-x-a(a0 且 a1)有两个零x点，则实数 a 的取值范围是 .（15）执 行 右 边 的 程 序 框 图，输 入 的T=.（16）已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，满 足)(xf,且在区间0,2上是增函数,若方(4)()f xf x 程f(x)=m(m0)在 区 间上 有 四 个 不 同 的 根8,8,则1234,x x x x1234_.xxxx 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 分，共分，共 7474 分。分。（17）(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+3)+sinx.2(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设 A,B,C 为ABC 的三个内角，若 cosB=，f()=，且 C 为锐角，求 sinA.313C41 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第 8 题图 x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 （18）（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E111111、F 分别是棱 AD、AA、AB 的中点。1（1）证明：直线 EE/平面 FCC；11（2）求二面角 B-FC-C 的余弦值。1 (19)(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q 为 0.25，在1B 处的命中率为 q，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总2分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求 q 的值；2（2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。（20）（本小题满分 12 分）等比数列的前 n 项和为，已知对任意的，点，均在函数且均nanSnN(,)nn S(0 xybr b1,bb r为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记 22(log1)()nnbanN证明：对任意的，不等式成立 nN12121111nnbbbnbbb （21）（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（I）将 y 表示成 x 的函数；（）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （22）（本小题满分 14 分）设椭圆 E:（a,b0）过 M（2，），N(,1)两点，O 为坐标原点，22221xyab26（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且？若存OAOB 在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。2009 年高考数学山东理科解析年高考数学山东理科解析 一、选择题一、选择题 1【答案】D【解题关键点】因为.所以,选 D.0,1,2,4,16AB4a 2【答案】C【解题关键点】因为，故选 C.iiiiiiii2224)1)(1()1)(3(133【答案】B【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为，)22sin(21)4(2sin21xxy，选 B.xx2cos22cos214【答案】C【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为 2，高为 2，所以圆柱的体积为，正四棱锥的测棱2长为 2，底面正方形的对角线为 2，所以此正四棱锥的体积,为故选 C.332122223125【答案】B【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出；但是，反过来，若且 为平面mmm内的一条直线，则不一定有，还可能有与平面相交但不垂直、.故选 B.mm/mm6【答案】A【解题关键点】排除法：因为当时，函数无意义，故排除,故选 A.0 xxxxxeeeeyDCB,7【答案】B【解题关键点】因为，所以点为的中点，.即有，故选 B.BPBABC2PAC0 PAPC8【答案】A【解题关键点】因为样品中产品净重小于 100 克的个数为 36，所以样本容量为，所 以 样 本 中 产 品 净 重 大 于 或 等 于 98 克 并 且 小 于 104 克 的 个 数 为1201.005.0236）（，故选 A.902125.0215.021.0120）（9【答案】D【解题关键点】由题意知：双曲线的一条渐近线为，由方程组消去 y，得1222byaxxxaby 12xyxaby有唯一解，所以，所以 012xabx04)(2ab，故选 D.5)(1,2222ababaaceab 10【答案】C【解题关键点】由已知得 1)1()0()1(,0)0(,12log)1(2fffff,0)1(1)1()2()3(,1)0()1()2(ffffff ,1)1(0)2()3()4(fff,0)4()5()6(,1)3()4()5(ffffff所以函数的值以 6 为周期重复性出现，所以，故选 C)(xf1)5()2009(ff 11【答案】A【解 题 关 键 点】当时，在 区 间上，只 有或，即212cos0 x1,1322x223x，根据几何概型的计算方法，这个概率值是.)1,32()32,1(x31 12【答案】A【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：当直线过直线与直线)0,0(babyaxz02 yx的交点时，目标函数 063 yx6,4)0,0(babyaxz取最大值 12，即，即，1264 ba632 ba而，当且仅 6252613)(613632)32(32baabbababa当时取等号，故选 A.ba 二、填空题二、填空题 13【答案】），（11【解题关键点】原不等式等价于，两边平方并整理得：，解得.212xx332x11x14【答案】），（1【解题关键点】函数=(且)有两个零点，方程有两个不相等的实)(xfxaxa0a 1a 0axax数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一xay axy10 a个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.1a 15【答案】30【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出 T=30.16【答案】8【解题关键点】因为定义在上的奇函数，满足，所以，所以，由R)()4(xfxf)()4(xfxf)(xf为奇函数，所以函数图像关于直线对称且，由知，所以函2x0)0(f)()4(xfxf)()8(xfxf数是以 8 为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，如)(xf20，)(xf02，下 图 所 示，那 么 方 程在 区 间上 有 四 个 不 同 的 根，不 妨 设)0()(mmxf88，4321,xxxx，由对称性知，4321xxxx，所以.12)4()4(421 xx443 xx84321xxxx三、解答题三、解答题 17【答案】（I）)2cos1(212sin232cos21sin)32cos()(2xxxxxxf，212sin23x当时，函数的最大值为，最小正周期为.12sinx)(xf132（II）=，得到，又为锐角，故，)2(Cf13sin22C413sin2C C3C 322sin31cosBB 故.6322322213123)32sin(sinBA 18【答案】解法一：（I）在在直四棱柱 1111DCBAABCD 中，取的中点，连结，由于 11BA1F1FF11FC，所以平面，因此平面即为平面，连结，由于111/CCBBFF1F1FCC1FCC11CFFCDA11CF，CDC/11/11DFCDA所以四边形为平行四边形，因此，又因为、分别是棱、的中点，所以CDFA11DACF11/E1EAD1AA，所以，又因为平面，平面，所以直线平面.DAEE11/11/CEEF1EE1FCC1CF1FCC/1EE1FCC（II）因为是棱的中点，所以为正三角形，取的中点FCDBCAB,2,4ABBDFCFBCBF,CF，则，又因为直四棱柱中，平面，所以，所以OCFOB 1111DCBAABCD 1CCABCDBOCC 1，过在 平 面内 作，垂 足 为，连 接，则 为二 面 角FCCOB1平面O1FCCFCOP1PBPOPB的一个平面角，在为正三角形中，在中，CFCB1BCF3OBFCCRt1OPFFCC1 11OPOFCCC F，在中，22122222OP OPFRt22114322BPOPOB，所以二面角的余弦值为.272cos7142OPOPBBPC1FC-B77 解法二:（I）因为是棱的中点 FCDBCAB,2,4AB所以，为正三角形，因为为 BDFCFBCBF,ABCD等腰梯形,所以,取的中点,60ABCBACAFM 连接,则,所以，DMABDM CDDM 以为轴,为轴,为轴建立空间直 DMxDCy1DDz角坐标系如图所示,则（0,0,0），DA），（013 F），（013C），（020，所以 1C），（220E），（021231E），（113,设平面的法向量为131(,1)22EE(3,1,0)CF 1(0,0,2)CC 1(3,1,2)FC FCC1(,)nx y z则所以取,则,所以,所100n CFn CC 300 xyz(1,3,0)n 131131 0022n EE 1nEE以直线平面./1EE1FCC（II）,设平面的法向量为,则所以，(0,2,0)FB 1BFC1111(,)nx y z11100n FBn FC 11110320yxyz取，则 1(2,0,3)n，12 130032n n ,，2|1(3)2n 221|20(3)7n 所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的11127cos,7|27n nn nn n C1FC-BC1FC-B余弦值为.77 19【答案】（I）设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,AABBA B25.0)(AP,.()0.75P A 2)(qBP2()1P Bq 根据分布列知:=0 时=0.03,所以,.22()()()()0.75(1)P ABBP A P B P Bq210.2q8.02q（II）当=2 时,=1P)()()(BBAPBBAPBBABBAP，()，)()()()()()(BPBPAPBPBPAP75.02q21 q5.12()2q21 q24.0当=3 时,=；2P22()()()()0.25(1)P ABBP A P B P Bq01.0当=4 时,=；3P22()()()()0.75P ABBP A P B P Bq48.0当=5 时,=4P()()()P ABBABP ABBP AB 222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P BP A P Bqqq24.0所以随机变量的分布列为 随机变量的数学期望.0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.63E （III）该同学选择都在处投篮得分超过 3 分的概率为 B()P BBBBBBBB；()()()P BBBP BBBP BB222222(1)0.896q qq该同学选择（I）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过 3BAB分的概率.20【答案】（I）由题意知：.当时，nnSbr2n，由于且，所以当时，是以1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb0b1b2n nab为公比的等比数列，又，即，解得.11aSbr)1(2bbabaa12brbbb)1(1r （II）当时，12 nnS2n 1112)12()12(nnnnnnSSa又当时，适合上式，1n 112111 Sa12nna 1222(log1)2(log 21)2nnnban，12121113 5 7212 4 62nnbbbnbbbn下面有数学归纳法来证明不等式：12121113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbn证明：（1）当时，左边右边，不等式成立.1n 24923（2）假设当时，不等式成立，即*)(Nkkn，当时，左边12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbk1nk，11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkkbbbbkk所 以 当时,2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 1nk不等式也成立.由（1）、（2）可得当时，不等式恒成立，所以对任意的，不nN1321212753nnnn）（nN等式成立.12121111nnbbbnbbb 21 【答案】（I）如右图,由题意知,BCAC 22400BCx224(020)400kyxxx当 垃 圾 处 理 厂 建 在 弧的 中 点 时，垃 圾 处 理 厂 到、的 距 离 都 相 等，且 为，所 以 有ABkm210，22)210()210(4065.0k解得，9k 2249(020)400yxxx（II）,2249400yxx42232232289(2)188(400)(400)(400)xxxyxxxx 令，得，解得，即，0y 012800064024xx1602x104x又因为，所以函数在上是减函数，在上是增函数，200 x2249400yxx），（1040 x），（20104x当时，y 取得最小值，4 10 x 所以在弧上存在一点，且此点到城市的距离为，使建在此处的垃圾 Akm104处理厂对城市、的总影响度最小.AB【解题关键点】【结束】22【答案】（I）椭圆:过（2，），(,1)两点，E22221xyab)0,(baM2N6，解得，所以椭圆的方程为.2222421611abab4,822baE22184xy（II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为，则当直线的斜率存在时，设该圆的切线方程为)4(222rryxAB，解方程组得 ykxm22184xyykxm,即,222()8xkxm222(12)4280kxkmxm则,即 222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm22840km,12221224122812kmxxkmx xk 要使22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkkOAOB ,需使,即,所以,12120 x xy y2222228801212mmkkk223880mk所以又,所以,所以,即或，因为直线223808mk22840km22238mm283m 2 63m 2 63m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为,ykxm21mrk222228381318mmrmk,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不2 63r 2283xyykxm2 63m 2 63m 存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,2 63x 22184xy2 62 6(,)332 62 6(,)33OAOB 2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk，422424232 45132134413441kkkkkkk当时,，0k 4 6|3AB 当时，0k 22321|11344ABkk因为所以,故 221448kk221101844kk321289364AB当 AB 的斜率不存在时,.36431148142mAB综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且的取值2283xyEA BAB范围是.32,364