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分块矩阵及其应用

徐健,数学计算机科学学院

摘 要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.
关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩

On Block Matrixes and its Applications

Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science

Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.
Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

1 引言
我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.
定义1.1 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把矩阵分割为如下形式的矩阵：

特别地，对于单位矩阵分块：

显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.
依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.
2 分块矩阵
2.1矩阵的相关概念
在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.
定义2.1.1 级行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，这一定义又可写成:
.
定义2.1.2 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.
定义2.1.3 级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得（这里是级单位矩阵），那么就称为的逆矩阵，记为.
定义2.1.4对分块矩阵施行下列三种初等变换：
(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；
(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；
(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，
分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.
定义2.1.5 对阶单位矩阵作分块，即=，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：
(1) 分块初等对换阵；
(2) 分块初等倍乘阵，；
(3) 分块初等倍加阵，；
其中,分别是阶和阶可逆方阵，且，为非零阵.

2.2矩阵的运算性质
矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：
定义2.2.1 矩阵加法：设， 是两个同型矩阵，则矩阵=称为和的和，记为.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，可简单记为,对于矩阵、，有:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
定义2.2.2 矩阵乘法：设，是两个不同型矩阵，那么矩阵，称为矩阵与的乘积，其中：

在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.
特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：
(1)
(2)
(3)
定义2.2.3 矩阵数乘：称为矩阵与数k的数量乘积，记为，有以下性质：
(1) ；
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .

2.3分块矩阵的初等变换性质
我们对于分块矩阵，也有其运算性质：
设、是矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：
加法：.
乘法：, 其中：
.
数乘：.

总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：
定义2.3.1 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：
(1) 互换矩阵的行与行的位置;
(2) 用数域中的非零数乘的行;
(3) 把矩阵的行的倍加到行.
定义2.3.2 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:
(1) 对调两块同阶的块所在的行或列;
(2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;
(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).
如：我们对分块矩阵进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对 应分块矩阵：
=
=
=

2.4矩阵的分块技巧
对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法：
(1) 列向量分法，即，其中为的列向量.
(2) 行向量分法，即，其中为的行向量.
(3) 分两块，即,其中,分别为的各若干列作成.或，其中，分别为的若干行作成.
(4) 分四块，即.
我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.

2.5常见的矩阵块
我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：
（1）单位矩阵：对角线元素都为，其余元素为的阶方阵.
（2）对角矩阵：对角线之外的元素都为的阶方阵.
（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为的阶方阵.
（4）对称矩阵：满足矩阵的转置和相等.
（5）若尔丹（Jordan）块：形如

（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：

在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.

3分块矩阵及其应用
3.1行列式计算的应用
定理3.1.1拉普拉斯（Laplace）定理:设在行列式中任意取定了个行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 .
事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.
例3.1.1：（爪形行列式）计算行列式：
,其中.
解:设,其中
，，.
因为，所以 是可逆矩阵.
又易知: .
根据分块矩阵乘法：
则：
故：原行列式=.

例3.1.2：(对角行列式)计算行列式：
.
解：令

，，，
为阶方阵. 由于,故为可逆方阵.
又易知：
故.
例3.1.3：设、、、都是阶矩阵，证明当时，可逆时，有
证明：若可逆，,
故：.
注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.

3.2线性方程组的应用
对于线性方程组，我们有以下四种表述：
（1）标准型：
;
（2）矩阵型：令，，
方程组可以表述为：;
（3）列向量型：令
，，，
则方程组又可以表述为：;
（4）行向量型： .
可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.
例3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：

解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：

，基础解系含个.
而方程又满足：
,
相应的可以取：

有通解：，其中，.

例3.2.2：（非齐次线性方程组）求解方程组：

解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：
，而, 故. 从而方程组无解.
事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵进行行列变换，都不能把最后一列变成,所以该方程组无解.
例3.2.3：证明：阶方阵的秩为，则
首先证明此例需要利用的一个引理：
引理：，，，，则
证明：对矩阵进行列向量的分块，,
则有：，是的解. 而基础解系有个解.
故：
再证明本例：
因为，则，至少有一个级子式不为零,
.
而：.
利用引理得：，故.
得证.

3.3求矩阵逆的应用
我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.
例3.3.1：设、是阶方阵，若与可逆，试证明：
可逆，并求其逆矩阵.
解：令，由假设知,.那么：
.
即可逆. 再令, 由，即：

可得：

将第一行和第二行相加、相减，得：

解之得：
,
类似地：,.
所以：
.

例3.3.2：已知分块形矩阵可逆，其中为块，为块，求证：与都可逆，并求.
解：由，则：,,即证、都可逆.
这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆：

故：.
备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:
例3.3.3：求矩阵的逆矩阵.
解：构造矩阵：

.
所以;
.
此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.

3.4矩阵秩基本不等式
矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：
（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设、均为矩阵，则：.
（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设是矩阵 ,是矩
阵，则：.
（3）.
（4）.
再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式
例3.4.1：（薛尔弗斯特不等式）设，，证明：

证明：由分块矩阵的乘积

知：
.
但,
.
故：

得证.

备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：
(1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造;
(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造或者.
具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.
例3.4.2：（Frobenius不等式）设、、是任意个矩阵，乘积有意义，证明：

证明：设是矩阵，
那么存在阶可逆阵，阶可逆阵，使
.
把、适当分块：,, 由上式有：
.
故：

.
得证.

3.5矩阵秩不等式证明的应用
矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：
例3.5.1：设为矩阵，为矩阵，则证明：

证明：先证明右边的不等式，由：
;
,
可得：
;
.
再证左边的不等式.注意到下列事实：

则：

于是：

从而: .

这里也是用到构造矩阵的方法.
例3.5.2：设阶矩阵、可交换，证明：

解：利用分块初等变换，有：
,
因为，所以：
.
于是，有：

.
即：.
得证.
例3.5.3：设是阶方阵，且,证明：对任意自然数,有
证：构造分块矩阵，由Frobenius不等式：
.
由：
所以，.
故：.
由此可推得：.
故：对任意自然数, 有：.

3.6综合应用
在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.
例3.6.1：（特征多项式的降阶定理）设是矩阵，是矩阵. 证明:的特征多项式与的特征多项式有如下的关系：
.
证：先要把上式改写为：
.
用构造法，设，令：.
对两边取行列式得：
.
再对两边取行列式得：
.
故：
.
上述等式是假设了，但是两边均为的次多项式，有无穷多个值使它们成立，从而一定是恒等式，即证.
这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester）公式. 以下例题是定理的应用.
例3.6.2：设为矩阵，为矩阵，证明：与有相同的非零特征值.
证：由定理：.
设,
其中，即有个非零特征值：, 由上面两式,那么有：

即证也只有个非零特征值：.
例3.6.3：设、分别是和矩阵，证明：
.
解：由上例知，若

其中.
则的全部特征值为
,
且：
.
即的全部特征值为:
.
从而 .
可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.

结论
本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.

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